多維探究典型問題 培養學生發散思維

上海市行知中學(201999)范廣哲

不等式作為高中數學重要內容之一, 有著廣泛的應用.不等式的綜合應用對培養學生的數學抽象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養有著重要作用.

多角度探究問題可以培養學生細致的觀察力、豐富的聯想力和創造性的思維能力.在平時的教學過程中,教師應積極引導學生對數學問題進行多角度、多層次、多維度地進行分析,提高學生對知識的遷移和運用能力,有效地培養和發展學生的發散思維和創新思維.

教師在平時教學過程中,應積極引導學生注重解決數學問題的通性通法,培養學生聯系數學基礎知識、洞察數學問題本質的能力,才能更有效地落實數學課程的育人目標與育人價值.筆者在平時教學過程中,發現有一類三元最值問題在大學自招及高中數學競賽中時常出現,本文給出這類典型問題的一般形式及多種解法,希望能給讀者帶來一些思考和啟發.

題目已知x1,x2,x3∈R+, 常數k1,k2,k3,m2,m3∈R+,求S=的最大值.

解以下證明:Smax=當且僅當x1:x2:x3=時等號成立.

解法一(先柯西不等式后基本不等式)由于表達式具有齊次性,設其中k ＞0.

因而S≤當且僅當x1=x2=時等號成立.

解法二(先柯西不等式后三角換元)不妨設k1x21+k2x22+k3x23=k2,其中k ＞0.

令x1=其中θ ∈則

解法三(三角換元法)設其中k ＞0,則設

解法四(球坐標法)設=k2,其中k ＞0,設

當且僅當x1=x3=時等號成立.

解法五(拉格朗日函數法)設k1x21+k2x22+k3x23=k2, 其中k ＞0, 構造拉格朗日函數L(x1,x2,x3,λ)=m2x1x2+m3x1x3+λ(k1x21+k2x22+k3x23-k), 下面對L(x1,x2,x3,λ)分別求關于x1,x2,x3,λ的一階偏導并分別令其等于零,可得

解得

這就是拉格朗日函數的穩定點, 可得此值為函數的最大值,代入可得Smax=

解法六(配方法)由題設:k1x21+k2x22+k3x23=從而

解法七(待定系數法)引入參數λ, 滿足λ ∈(0,k1).設相加得,設

即S≤當且僅當x1:x2:x3=:k1k3m2:k1k2m3時等號成立.

解法八(先基本不等式后柯西不等式)

解法九(判別式法)由題設得到將其視作x1的一元二次方程,方程有實根.因而,Δ = (m2x2+m3x3)2-由柯西不等式可得

一是配套政策和法律制度不健全，當前針對綠色債券的相關法律制度尚未完全形成，缺少財稅優惠政策以及政府為主導的擔保機制和風險補償機制。二是綠色債券產品較為單一，當前我國綠色債券主要以綠色金融債為主，綠色資產證券化、綠色債券指數產品發展較為滯后。三是融資成本偏高，受2017年初債券市場利率走高的影響，市場流動性趨弱，綠色債券融資成本增加。占比最多的AAA級和AA+主體發行利差與同級別普通債券相比多為負，融資成本偏高。

即S≤當且僅當x1:x2:x3=k1k3m2:k1k2m3時等號成立.

推論已知x1,x2,x3∈R+, 常數k1,k2,k3,m2,m3∈R+, 且滿足= 1, 則S=m2x1x2+m3x1x3的最大值為Smax=

以下給出如上結論的應用..

例1(2020年《數學通訊》問題征解第2 期437 問題)已知x,y,z為正數,若不等式4x2+y2+3z2≥λ(2xy+3yz)恒成立,求λ的最大值.

分析由于求最大值,因而考慮正數情況.在結論中令k1=1,k2=4,k3=3,m2=2,m3=3,則即λ的最大值為1.

例2(2019年上海交大自主招生)已知x,y,z不全為0,求的最大值.

分析由于求最大值,因而考慮正數情況.在結論中令k1=k2=k3=1,m2=1,m3=2,則

例3(2016年高聯福建預賽)已知x,y,z ＞0, 求的最大值.

分析在結論中令k1=k2=k3= 1,m2= 4,m3= 1,則

例4(2015年《數學教學》947 問題)已知x2+y2+z2=1,求xy+2xz的最大值.

分析由于求最大值,因而考慮正數情況.在推論中令k1=k2=k3=1,m2=1,m3=2,則Smax=

例5(2012年高聯甘肅預賽)已知x2+y2+z2=1,求xy+yz的最大值.

分析由于求最大值,因而只考慮正數情況.在推論中令k1=k2=k3=m2=m3=1,則Smax=

例6(2009年高聯浙江預賽)已知x2+y2+z2=1,求的最大值.

分析由于求最大值,因而只考慮正數情況.在推論中令

最后,給出其n元推廣形式,有興趣的讀者可自行證明.

變式(n元形式)已知x1,x2,··· ,xn ∈R+, 常數k1,k2,··· ,kn,m2,m3,··· ,mn ∈R+, 其中n≥3,n ∈N,求的最大值.

結論(Sn)max=

注若n= 2 時,(S2)max=其結果與上式亦吻合.