雙絕對值一次函數的作圖及應用

甘肅省白銀市平川中學(730700)李映林

“不等式選講”是部分省份高考數學選考的內容之一,近幾年考查的重點是絕對值不等式的解法與最值,以及不等式的證明.

而在絕對值不等式的解法及最值中,雙絕對值一次函數f(x)=k1|x-x1|+k2|x-x2|頻頻“登場”,是當之無愧的不等式選考命題的“網紅”.

一般地,關于解f(x)=k1|x-x1|+k2|x-x2|≥(≤)C(其中C為常數)型不等式的通法是零點分段法; 求函數f(x)=k1|x-x1|+k2|x-x2|最值的方法主要由兩種,其一仍然是零點分段法;其二是絕對值(三角)不等式法.

我們若能從整體上掌控函數f(x)=k1|x-x1|+k2|x-x2|的圖象, 然后再靈活地綜合上述方法, 數形結合,就可以達到事半功倍的效果.

一、函數f(x)=k1|x-x1|+k2|x-x2|圖象總述

為了行文方便,在函數f(x)=k1|x-x1|+k2|x-x2|中,我們不妨設k1/=k2,x1＜x2.

口訣粗分三類詳為八,系和為零臺階型,系和為正是V型,系和為負是Λ 型.

說明1口訣中的“系和”是指k1+k2.

圖1

說明2這里V 型和Λ 型是對函數單調性的形象表述.

說明38 個圖像中左折點(x1,f(x1))與右折點(x2,f(x2))的高低問題.規律是: 系數大的折點, 位置低;系數相等,折點高度相同.可總結為: 系大點低等同高.

筆者認為: 實際操作時, 通過比較f(x1)與f(x2)的大小,來判定兩個折點位置的高低,比采用上述規律的方法更加方便簡捷.

二、函數f(x)= k1|x-x1|+k2|x-x2|圖象的畫法——四點三線法

由零點分段法可得

從而函數f(x)的圖象是由三段直線型的折線構成的.所以有如下畫法——四點三線法

第一步: 描出四個關鍵點.

圖2

第一個點是左折 點A1(x1,f(x1));第二個點是右折點A2(x2,f(x2)); 第三個點是左輔助點A3(x3,f(x3)),該點必須在左折點A1的左側,只需x3＜x1即可.第四個點是右輔助點A4(x4,f(x4)),該點必須在右折點A2的右側,只需x2＜x4即可.

第二步: 連成三段線.

從左到右,依次連接射線A1A3,線段A1A2,射線A2A4,即可成圖.

例1(2020年高考全國Ⅰ卷理科第23 題第一問)已知函數f(x)=|3x+1|-2|x-1|.

(1)畫出y=f(x)的圖像

分析(1)因系數和k1+k2= 3-2＞0, 故圖像是V型;(2)易得左折點右折點A2(1,4); 左輔助點不妨取A3(-1,-2), 右輔助點不妨取A4(2,5);依次連接射線A1A3,線段A1A2,射線A2A4成圖.

解因f(x)=作出圖象,如圖3 所示.

圖3

例2(2016年高考全國Ⅰ卷理科第24 題第一問)已知函數f(x)=|x+1|-|2x-3|.

(1)畫出y=f(x)的圖像.

分析(1)因系數和k1+k2= 1-2＜0,故圖像是Λ型.(2)易得左折點A1(-1,-5);右折點左輔助點不妨取A3(-2,-6),右輔助點不妨取A4(2,2).依次連接射線A1A3,線段A1A2,射線A2A4成圖.

解因f(x)=作出圖象,如圖4 所示.

圖4

三、圖象的應用

在處理與雙絕對值一次函數函數f(x)相關的不等式、最值等問題時,借助其的圖像,使代數問題幾何化,即直觀簡潔,又通俗易懂,具有“一目了然”的優勢,不失為是一種較好的方法.

例3(2017年高考全國Ⅲ卷理科第23 題第一問)已知函數f(x)=|x+1|-|x-2|.

(1)求不等式f(x)≥1 的解集;

分析(1)因系數和k1+k2= 0,故圖像是臺階型.(2)易得左折點A1(-1,-3); 右折點A2(2,3),左輔助點不妨取A3(-2,-3),右輔助點不妨取A4(3,3),然后依次連線成圖.

解因f(x)=故函數f(x)的圖像如圖5 所示.故所求解集為[1,+∞).

圖5

例4(2014年高考安徽卷理科第9 題)若函數f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值為3,則實數a的值為

A.5 或8 B.-1 或5 C.-1 或-4 D.-4 或8

解法1該題解法甚多,被大多數考生采用解法是零點分段法,但操作量較大.現抄錄如下:

(ⅰ)當a ＜2 時,f(x)=易得f(x)在(-∞,-上單調遞減, 在,+∞)上單調遞增, 故f(x)mⅰn=f(-1|= 3,a=-4 或a=8(舍)

(ⅱ)當a=2 時,f(x)=3|x+1|≥0,與題意不符,舍去.

(ⅲ)當a ＞2 時,f(x)=易得f(x)在上單調遞減, 在上單調遞增, 故f(x)mⅰn=f= 3,a= 8 或a=-4(舍).

綜上,a=-4 或a=8.所以選D.

解法2由上述給出的上絕對值一次函數圖像作法——四點三線法, 可知函數f(x)的最值, 來自于左右兩個折點.所以f(x)mⅰn== 3, 從而或解得a ∈?或a=-4 或a= 8.所以選D.

例5(2020年高考全國Ⅰ卷理科第23 題第二問)已知函數f(x)=|3x+1|-2|x-1|.

(2)求不等式f(x)＞f(x+1)的解集.

分析(1)將函數f(x)的圖象(見例1 圖3)向左平移1個單位,可得函數f(x+1)的圖象,如圖5 所示.(2)求出交點由圖6 可得所求解集為

圖6

例6(2018年高考全國Ⅲ卷理科第23 題)設函數f(x)=|2x+1|+|x-1|.

(1)畫出y=f(x)的圖像.

(2)當x ∈[0,+∞)時,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.

分析(1.1)因系數和k1+k2=2+1＞0,故圖像是V型.(1.2)易得左折點右折點A2(1,3),左輔助點不妨取A3(-1,3),右輔助點不妨取A4(2,6),然后依次連線成圖.

解因f(x)=故函數f(x)的圖像如圖7 所示.

圖7

分析(2.1)在圖7 中的右半面,動直線y=ax+b,只需不低于函數f(x)的圖像即可.即動直線y=ax+b的斜率a不小于直線y=3x的斜率3,且其y軸上的截距b不小于2 即可.

解由圖7 可得:a≥3,b≥2,當a= 3,b= 2 時,a+b取最小值為5.

雙絕對值一次函數f(x)=k1|x-x1|+k2|x-x2|,在高考中,命題形式單一、穩定,解題的思路比較固定,對選考不等式選講的同學們而言,是個重要的得分點,所以要加深理解,重點突破.而掌握函數f(x)圖像的總規律,及用四點三線法快速準確地畫出其簡圖,是順利解決問題的關鍵所在.