高中數學概念教學中學生數學抽象思維的培養研究

蔡軍

[摘? 要] 在高中數學教學中，對學生思維能力的培養逐漸從具象思維轉換為抽象思維，特別是對舊知識的回顧和新知識概念的構建. 如何順利完善在概念知識的教學中，對學生抽象思維的培養，一直以來都是高中數學教學的重點，也是難點. 文章借助實踐教學經驗，主要從“類比與歸納”“函數與方程”“數形結合”“從特殊到一般”“化歸與轉化”五個思想方面探討在數學概念構建過程中培養學生抽象思維的重要因素以及實施方法和注意點.

[關鍵詞] 數學概念;抽象思維;因素;實施程度

在高中階段，初始的概念知識構建，始終離不開“類比與歸納”“函數與方程”“數形結合”“從特殊到一般”“化歸與轉化”這五個重要的數學思想和方法，抓住這五個思想和方法的運用特點，從其本質入手，連接各階段學生的學情，凸顯它們各自對培養學生抽象思維的重要影響因素. 了解這些因素，教師將在概念教學中確定大致的培養走向;另外，在對思想和方法的使用過程中，教師要避免它們在學生抽象思維的發展過程中容易起到的負效應.

[?]利用“類比與歸納思想”培養抽象思維

“類比與歸納”應該是人類最為常用的一種獲得猜想的數學思想和方法，它們屬于探測性方法，重點體現在對事物某些現象的猜想，通過猜想證明獲得一般性的結論. 因此，類比與歸納最顯著的一個特點是對事物個性里的共性的猜想表達與猜想證明. 在概念教學中，在獲取新概念知識之前，通過類比與歸納學生已掌握的數學圖形、數學概念、數學定理等，完成對新概念的“猜想”，并“證明猜想或否定猜想”，最終形成新概念知識的構建，這是課堂上讓學生了解概念知識的一種常用途徑，也是培養學生抽象思維的重要方法.

類比與歸納可通過學生對舊概念的理解，使得新概念的難點分散化、簡潔化，從而提高學生對新概念的理解程度和效率，這在新概念教學中可以提高學生抽象思維的發展速度;而且教師可根據學生的知識基礎和智力水平，不需要嚴格要求學生的邏輯證明，讓學生能大膽地說出自己的想法，激發學生的發散思維，這在概念的構建過程中，可以幫助學生更好地理解某些抽象概念，培養其抽象思維. 但是抽象并不是胡思亂想，是以學生對舊知識的掌握程度為基礎的，是需要以知識為支撐的，這是教師在使用類比與歸納教學新概念時需要把握的重要的學情. 另外，在使用程度上要控制學生思維分散過度，避免出現概念混淆、重點紛亂、脫離基礎等現象.

[?]利用“函數與方程思想”培養抽象思維

函數與方程雖是不同的兩個概念，但是它們之間存在著密切的關系. 在高中，函數思想主要表達的是運動變化、集合、對應，方程思想主要表達的是變量之間的等量關系，即運動變化的等量關系. 從“函數與方程思想”的角度來看，構建部分抽象概念的過程，可以理解為教師幫助學生將現實運動變化的事物抽象成有關系的數學模型，并對數學模型進行解釋的過程. 在這個過程中，“變化”和“關系”是培養學生抽象思維的聯系點，當概念教學涉及“函數與方程思想”時讓學生了解到“變化”和“關系”的本質，就能聯通現實運動變化的事物抽象成數學模型的缺口，在概念教學中發揮其作為中學數學貫穿各重要知識點的主線作用，如數列、三角函數、不等式、圓錐曲線等共同體現出的“函數與方程思想”，有利于學生深入了解抽象的新概念模型.

“函數與方程思想”一直以來都是高考的重點，自然是受到教師和學生高度重視的，但在概念教學中對其適度的把控（長度、廣度）是學生初次構建新概念得以發展抽象思維的嚴格要求. 從長度來看，“函數與方程思想”作為教學重點，首先要夯實函數與方程的基礎（抽象思維的起跑線），其次是培養學生使用“函數與方程思想”的意識（抽象思維的速度），長度的建立是貫穿各概念知識，發展抽象思維連接線的保障. 從廣度來看，“函數與方程思想”以各概念知識為載體，散播著函數的“動態”和方程的“靜態”，牽引著學生抽象思維的擴展，最終形成有關系的思維網絡.

[?]利用“數形結合思想”培養抽象思維

數形結合的本質即“以數解形”“以形助數”，因此在概念教學中，數形結合有利于學生深刻理解數學概念，比如圓錐曲線，對橢圓、雙曲線、拋物線都可以用“平面上到定點的距離與到定直線的距離之比為常數e”來定義，將圖形數字化，正是培養學生抽象思維的重要途徑之一. 數形結合可以借助數的精確性將形的某些屬性抽象化，也可以借助形的幾何直觀將數之間的某種關系形象化，特別是在新概念教學的時候，數形結合不僅是培養學生抽象思維的方法之一，也是深化學生抽象思維的過程之一. 數形結合在使用過程中輸出的不僅有抽象思維，還有形象思維，它們反復結合、相互轉換，這在概念教學中需要教師體現出來. 為了更好地培養學生的抽象思維，教師在引導學生應用數形結合解決問題時，要著重注意以下幾點：（1）對應用題的選擇，首先要以數和形的契合度為標準，這樣才能加強學生在練習中“以形助數”深入了解復雜的、抽象的數學語言描述，達到抽象思維和形象思維結合后螺旋上升之目的;其次是對應用題的解決，教師要時刻提醒學生數形轉換的等價性和準確性，讓學生明白抽象思維是邏輯思維，需要判斷和推理得出結論，并非隨意猜想. （2）數形結合應用廣泛，是連接代數和幾何的橋梁，在概念教學中就可以逐漸提及數形轉換的重要性，讓學生養成數形結合解題的習慣，這將加強學生的思維發展力. （3）在平時的概念教學中，教師要體現出數形結合思想的重要性，要強調學生利用數形結合這個橋梁，將代數和幾何有關的數學概念連接起來形成完整可導的思維結構，在思維結構中利用具象思維培養抽象思維.

[?]利用“從特殊到一般思想”培養抽象思維

“從特殊到一般思想”的本質集中在兩個詞之上——“特殊”和“一般”，分別代表著思維發展的兩個階段. 在“特殊”階段，教師將抽象的數學新概念具體化，在創設的情境中展現出來，從學生未知到建立初步認識，這個過程中，教師對情境的創設和問題的設計是關鍵，兩者的結合需要牽引學生的最近發展區. 由于這個階段，是由教師對概念的具體化為起點的，這個起點的高度需要教師把控，要讓大部分學生都能夠得上，而且這個高度不能成為深度，浪費大部分課堂時間去重復“攀爬”. 在“一般”階段，教師將引導學生注意到“特殊情形”與“一般情形”的共性，抽象對對象的理解，即在概念教學中，可以讓學生先通過“特殊情形”嘗試自我抽象出一個概念的定義，然后將多個“特殊情形”歸納出共性，表達出“一般情形”. 在這個過程中，需要教師指明方向——從概念的形式推廣到概念的內涵，再推廣到概念的本質.

從特殊到一般，實質也體現了從具象思維到抽象思維的發展過程，經過多年的教學經驗，每位教師應該都有自己的方法去表現，本文中筆者不再闡述. 但筆者認為，這個過程中需要注意避免傳統的數學教學使用“從特殊到一般思想”的兩個缺陷發生：其一，抽象思維的培養是學生發展智慧的必由之路，這是多數教師的共識，但對培養抽象思維的時效、把控程度和方向，每位教師是各有不同的，每位學生的知識接受能力也是不一樣的，因此這里對“特殊”與“一般”呈現的時效、程度和方向，要避免完全模仿和“一刀切”的現象發生. 其二，“從特殊到一般思想”所表達的是通過特殊探索一般，再用一般去研究特殊. “通過特殊探索一般”這是容易表現出來的，而“從一般再去研究特殊”卻容易被忽略，這樣使得學生依據結論探究成因的能力無法培養，斷絕了抽象思維進一步上升之路. 筆者認為，避免以上兩個缺陷的發生，才是完整的“從特殊到一般思想”的應用標識.

[?]利用“化歸與轉化思想”培養抽象思維

當一個問題無法解決時，我們常常會想到換一個方法、換一個角度或換一個觀點去考慮、觀察、分析，將生疏、復雜、難解的原問題轉化為熟悉、簡易、已了解的另一個問題，這是化歸與轉化思想的本質. 可以說，數學中的一切問題的解決都是離不開“化歸與轉化思想”的，包括本文前面闡述的四種思想和方法，多多少少都體現了“化歸與轉化思想”，其應用范圍非常廣泛. 在概念教學中，利用“化歸與轉化思想”對學生抽象思維的培養手段主要有換元法、待定系數法、構造法、類比法、參數法、等價轉化法等，助力學生將抽象的問題具體化，滲透著邏輯體系、抽象的思維形式，在學生理解抽象概念的過程中伴隨著角色演變——尋求有利于理解概念的方法、角度、觀點. 從“化歸與轉化思想”的本質出發，筆者總結到使用其培養抽象思維主要有三大策略：（1）熟悉化策略，即利用聯想和回憶將未知概念或陌生概念轉移到已知概念理解，需要教師的情境導引和問題導引;（2）簡單化策略，即將復雜的抽象問題轉化成學生能夠理解的多個簡單的問題，它是熟悉化的補充;（3）數形結合策略，即利用“數”“形”等價轉化的關系，將抽象的問題直觀化，加強學生的理解.

總之，本文所介紹的幾個思想和方法對學生在概念教學中培養抽象思維都有重要作用，但并不止于這幾個思想和方法，而且它們之間也不是孤立的，而是相互串聯融合的，文中的闡述只是針對它們各自的獨特方式和作用，希望能由此為一線的教育者提供分析建議，起一個拋磚引玉的作用.