數(shù)學(xué)中分類討論思想的滲透

高艷

【摘要】含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是高考的高頻考點(diǎn)，而分類討論多貫穿在研究函數(shù)的單調(diào)性的解答題中。如2019年全國Ⅲ卷第20題，2017年全國Ⅰ卷第21題都考查了利用分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性。確定參數(shù)的分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是解決問題的關(guān)鍵。本文主要從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為一次型函數(shù)或二次型函數(shù)的系數(shù)為參數(shù)或者導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)是否在定義域或給定區(qū)間進(jìn)行分類討論。

【關(guān)鍵詞 】 分類討論 ?參數(shù) ?單調(diào)性

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1.利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟。利用導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)單調(diào)區(qū)間的

大致步驟可應(yīng)用到求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。即（1）確定定義域，（2）求出導(dǎo)數(shù)，（3）令（或），解出相應(yīng)的的范圍，（4）當(dāng)時(shí)，在相應(yīng)區(qū)間上是增加的，當(dāng)時(shí)，在相應(yīng)區(qū)間上是減少的。

2.求含參數(shù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解含參不等式，而定義域有限制時(shí)有時(shí)會(huì)化簡含參不等式的求解。

3.求單調(diào)區(qū)間首先確定定義域，并根據(jù)定義域?qū)?dǎo)數(shù)不等式中恒正恒負(fù)的項(xiàng)處理掉，從而簡化討論的不等式。

（1）分類時(shí)機(jī)：并不是所有含參問題均需要分類討論，例如解不等式，其解集為，中間并沒有進(jìn)行分類討論。思考：為什么？因?yàn)闊o論參數(shù)為何值，均是將移到不等號(hào)右側(cè)出結(jié)果，所以不需要分類討論，再例如解不等式，第一步移項(xiàng)得，但第二步不等式兩邊開方時(shí)發(fā)現(xiàn)的不同取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果。顯然是負(fù)數(shù)時(shí)，不等式恒成立。而是正數(shù)時(shí)，需要求對(duì)應(yīng)方程的根，進(jìn)而寫出解集，分類討論由此開始。簡而言之，當(dāng)參數(shù)的不同取值對(duì)下一步的影響不相同時(shí)，就是分類討論開始的時(shí)機(jī)。

（2）分界點(diǎn)的確定：要想找好分界點(diǎn)，首先要明確參數(shù)在問題中所扮演的角色是被開方數(shù)，故能否開方是進(jìn)行下一步的關(guān)鍵，那自然想到按的符號(hào)進(jìn)行分類。

（3）當(dāng)參數(shù)扮演多個(gè)角色時(shí)，則其中一個(gè)為目標(biāo)進(jìn)行分類，在每一大類下再考慮其他角色的情況以及是否要進(jìn)一步的分類。

二、分類討論研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的歸類

（一）依據(jù)一次型函數(shù)的系數(shù)分類討論

方法點(diǎn)津 如果導(dǎo)函數(shù)解析式中的二次三項(xiàng)式中一次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則需要討論圖像的對(duì)稱軸的位置和方程的根是否在定義域內(nèi)。

三、總結(jié)

通過前面的研究，可以歸納出求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的基本步驟如下

1.先求函數(shù)的定義域;

2.求導(dǎo)函數(shù)（化為乘除分解式，便于討論正負(fù)）;

3.確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類;

4.對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果。先討論只有一種單調(diào)區(qū)間的情況（導(dǎo)數(shù)同號(hào)的），再討論有增有減的情況（導(dǎo)數(shù)有正有負(fù)，以其零點(diǎn)分界），注意函數(shù)的斷點(diǎn);

5.進(jìn)行歸納總結(jié)，綜合得出結(jié)論。

參考文獻(xiàn)

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