數學中分類討論思想的滲透

高艷

【摘要】含參數函數的單調性是高考的高頻考點，而分類討論多貫穿在研究函數的單調性的解答題中。如2019年全國Ⅲ卷第20題，2017年全國Ⅰ卷第21題都考查了利用分類討論研究函數的單調性。確定參數的分類討論的標準是解決問題的關鍵。本文主要從函數的導數為一次型函數或二次型函數的系數為參數或者導數的零點是否在定義域或給定區間進行分類討論。

【關鍵詞 】 分類討論 ?參數 ?單調性

一、基礎知識

1.利用導數求含參數函數單調區間的步驟。利用導數已知函數單調區間的

大致步驟可應用到求含參數函數的單調區間。即（1）確定定義域，（2）求出導數，（3）令（或），解出相應的的范圍，（4）當時，在相應區間上是增加的，當時，在相應區間上是減少的。

2.求含參數函數單調區間的實質是解含參不等式，而定義域有限制時有時會化簡含參不等式的求解。

3.求單調區間首先確定定義域，并根據定義域將導數不等式中恒正恒負的項處理掉，從而簡化討論的不等式。

（1）分類時機：并不是所有含參問題均需要分類討論，例如解不等式，其解集為，中間并沒有進行分類討論。思考：為什么？因為無論參數為何值，均是將移到不等號右側出結果，所以不需要分類討論，再例如解不等式，第一步移項得，但第二步不等式兩邊開方時發現的不同取值會導致不同結果。顯然是負數時，不等式恒成立。而是正數時，需要求對應方程的根，進而寫出解集，分類討論由此開始。簡而言之，當參數的不同取值對下一步的影響不相同時，就是分類討論開始的時機。

（2）分界點的確定：要想找好分界點，首先要明確參數在問題中所扮演的角色是被開方數，故能否開方是進行下一步的關鍵，那自然想到按的符號進行分類。

（3）當參數扮演多個角色時，則其中一個為目標進行分類，在每一大類下再考慮其他角色的情況以及是否要進一步的分類。

二、分類討論研究含參數函數的單調性的歸類

（一）依據一次型函數的系數分類討論

方法點津 如果導函數解析式中的二次三項式中一次項系數含有參數，則需要討論圖像的對稱軸的位置和方程的根是否在定義域內。

三、總結

通過前面的研究，可以歸納出求含參數的函數的單調區間的基本步驟如下

1.先求函數的定義域;

2.求導函數（化為乘除分解式，便于討論正負）;

3.確定分類標準，正確進行合理分類;

4.對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果。先討論只有一種單調區間的情況（導數同號的），再討論有增有減的情況（導數有正有負，以其零點分界），注意函數的斷點;

5.進行歸納總結，綜合得出結論。

參考文獻

[1].關于含參數單調性問題導數解法的研究[J].陳小祥.中學數學月刊2014（04）

[2].利用導數求解含參數函數單調性問題的策略[J].嚴厚飛.高考2018（35）

[3]. 分類討論“界點”的確定[J].杜志建. 試題調研2019（08）