三角形在初中數學教學中的應用

程紅

摘要：三角形是構成很多數學知識點的基礎，尤其在初中階段，三角形的重要性更是顯得尤為明顯。本文將從三角形的相關定理以及幾何圖形等相關應用進行深入的探究。

關鍵詞：數學，初中，三角形

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A 文章編號：（2021）-5-315

引言：從三角形的邊長，角之間的關系，到面積，周長等的計算，在初中數學中無處不在體現著三角形知識點的重要性。但是，僅僅只是教授知識點，套用公式是遠遠不夠的，沒有透過現象看到本質，則在實際生活中不能做到靈活應用。老師在教學三角形模塊的知識時，應當通過多舉例，讓學生思考相關知識點的內在聯系，循序漸進，提高學生的數學素養。

1.勾股定理的應用

1.1 用于判定三角形類型

勾股定理與邊長的關系緊密聯系，只要已知兩條邊的長，通過計算公式就能得出第三條邊的長度。同時，通過勾股定理也能判定一個三角形是直角，鈍角還是銳角三角形。

例如：令一個三角形的三邊分別為m，n，q，當m2+n2=q2，則此三角形是直角三角形，當m2+n2<q2時，則是鈍角三角形，當m2+n2>q2時，則是銳角三角形。

1.2 勾股數

在實際解題中，為了加快做題的效率，經常會要求學生記住較為常見的勾股數。例如，5，12，13;3，4，5等，通常所說的勾三股四弦五就是這樣的由來。

2.三角形面積法的應用

在初中幾何問題的解決中，利用三角形面積法是一個簡單高效的方法。通過仔細分析不難發現，很多多邊形的面積公式都是在三角形的基礎上演變而成的。老師應當帶領學生多探究三角形面積與邊長，角度的關系，從多方面來充分掌握三角形的知識。

例如：通過圖1可以得出三角形的面積公式為：S=1/2BC*h;通過圖2，圖3，可得四邊形ABCD的面積為AB*AD或者S△ADB+S△CDB;通過圖4可得：梯形的面積為S=1/2（CD+AB）*h，也可轉化成是求三角形的面積，再來求梯形的面積。可見，多邊形的面積與三角形是息息相關的，要強化學生數形結合的思想來求解知識。

3.全等三角形的應用

全等的兩個三角形對應的邊和角也相等。可以通過平移，旋轉得到的三角形均為全等三角形。證明兩個三角形全等的方法有很多，包括有三邊相等，三角相等，兩條邊以及一個角相等的方式。全等三角形在實際生活中的用途也很廣泛，常用于測量距離，測量瓶子內口的直徑等。

3.1 測量不能達到的兩點之間的距離

例如：如下圖所示：小明想要知道家中的一個瓶子的直徑，但是因瓶口太小，小明無法直接用直尺伸入到瓶里進行測量。于是，小明靈機一動，找來了兩根一模一樣的，長度相同的木條，將兩個木條的中心點位置用線捆住，并做好標記。兩個木條間的距離能不斷拉長。于是，只要小明能測量出AB之間的距離，就能得出瓶子的直徑，即CD的長度。求解直徑的原理就是應用了全等三角形的定理。求解過程如下：

已知AD=BC，O為中點，即AO=OD=OC=OB，且∠AOB=∠COD，所以△AOB≌△COD。

所以AB=CD，小明只需要用直尺測量AB之間的距離即可。

3.2 證明某條線是角平分線

例如：如下圖所示，AE是一條射線，已知AB=AC，BD=DC，求解AE是角平分線。

解：因為由題意可知，AB=AC，BD=DC，AD=AD，則△ADB≌△ADC。

所以∠ADB=∠ADC，則∠BDE=∠CDE，故AE為角平分線。

4. 相似三角形的應用

相似三角形，即對應的邊成比例，對應的角相等的兩個三角形。證明兩個三角形相似的方法有很多，包括有兩邊成比例，其對應的夾角相等;兩個角相等法以及三條對應的邊成比例等方法。

4.1 利用相似三角形來測量物體的高度

測量的原理在于在實際生活中，當要測量的物體很高時，無法直接測量其高度，這時采用參照物進行測量是最直接高效的方法。

例如：小紅要測量一棟樓的高度，如下圖所示，樓房在太陽的照射下所形成影子長度為18米，在影子的末端A點插上一根高3米的樹枝，測出該樹枝的影子長度CA為6米，則求樓的高度？

在該例題中，已知在同一水平線上的兩個執教三角形，圖中的兩個三角形是相似的。

故可以得出：兩個影長的比值等于旗桿和樓房高度的比值。即3/18=6/樓高，則樓高為36米。

4.2 計算線段的長度

例如：如下圖所示：已知在以O為圓心的圓中，AB和CD分別為兩條弦。已知DM為2，CM為6，AB為15，求AM的長度。

在該題中，已知AC為∠ADC和∠CBA共同對應的弦，則∠ADC=∠CBA

又因為∠CMB=∠AMD，則△CMD∽△AMD。

根據圖所示，則可得AM/CM=DM/MB。

又因為MB=AB-AM=15-AM

則AM/6=2/（15-AM），從而得出AM的值。

4.3 判斷相關線段之間的關系

例如：如圖所示：在△ABC中，AB與AC兩邊相等，AD垂直平分BC，CG‖AB，求證：BE2=EF·EG

根據題干，已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC=∠ACB

因為ED=ED，BD=DC，且△BED和△EDC均為直角三角形，故△BED≌△ECD。

則∠1=∠2。

因為∠1+∠3=∠2+∠4，則∠3=∠4

又因為AB‖CG，則∠3=∠G

所以∠4=∠G

又因為∠GEC=∠FEC

所以△FEC∽△GEC

所以EF/CE=CE/EG

又因為EC=BE

則BE2=EF·EG

結束語：

三角形除了幾何應用，較為常見的還有三角形的射影定理，中位線定理，楊輝三角，三角函數等，只有學生打好基礎，才能進行更深入的探究。老師要幫助學生挖掘相關知識，拓展學生思維。

參考文獻

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