利用變式培養數學思維能力

蔡天平

【內容摘要】如何更有效的發展學生的數學思維能力，在數學教學中是一個非常重要的課題。加強學生思維能力的培養，既能增強學生數學學習的興趣，激發學生學習的主動性，又利于提升學生運用數學知識解決實際問題的能力，從而減輕師生教與學的負擔。本文將結合實例論述培養數學思維能力的一個重要途徑——變式教學，及其對促進思維能力發展所起的重要作用。

【關鍵詞】變式 數學思維

“學生的數學學習活動應當是生動活潑的、主動的和富有個性的過程”。簡單重復的機械訓練，會容易使學生產生厭倦心理，不愛學數學，覺得數學非常枯燥、抽象和復雜。另一方面，初中學生的數學思維能力還不成熟，思考問題容易停留在表面的認知，不能透過表象看本質;或者習慣由因到果的思維方式，缺乏從不同角度去探索問題的途徑;又或者思維定勢，不注重變換思維的方式。如何幫助學生突破上述的數學思維障礙，同時又避免簡單重復的機械訓練，充分調動學生學習的積極性，增強學生學習的興趣和信心呢？“變式教學”就是一個很好的載體，在變式中掌握一類題目的方法，則會以少勝多，以少致精，滿足新課程標準的需要，具有時效性;同時對于學生思維能力的延伸和拓展具有很強的適用性。

一、變式教學與數學思維能力

“變式”——變更原題中的非本質特征。是對教學中的問題進行不同角度，不同層次，不同背景的變式。例如，可以變換問題中的某些條件或結論，或者配置實際應用中各種環境或使背景異化，可以轉換問題的具體內容或表現形式，不過這些變更都要保持概念或問題的本質不變。

不管是表面特征變化的水平變式，亦或是結構變化的垂直變式，都重在關注展現知識發生、發展過程。由于數學問題的結構和演變過程的變化，從而創設出暴露思維障礙的情境，引發解決問題的思維過程，這樣有利于有效訓練和培養學生的思維。

通過一系列的變式來培養能力的關鍵是培養學生良好的思維品質。即通過有意識的引導學生從“變”的表象中發現“不變”的本質，從“不變”中探求規律。從而形成一種思維訓練的有效模式。

二、水平變式

以“重復”源問題來實現表面形式變化的水平變式，主要是讓學生通過“重復”學會模仿，舉一反三，水平變式反映的是量的問題。

1.通過水平變式題的適當“重復”透表求里

例1：如圖等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，則△ABC的邊長為____________

解析：問題的關鍵在于，利用外角性質，∠ADC=∠B+∠BAD，得到∠EDC=∠BAD，從而利用△ABD∽△DCE去求△ABC的邊長。

這兩道題（尤其是變式題），如果從角之間的數量關系出發去求解，就比較復雜，而且易錯。但是如果引導學生作輔助線畫圓，就可以一目了然，化繁為簡。通過已知問題的解決，激活未知問題誕生，通過新舊知識的對比聯系，加深對知識點本質的理解，這樣的水平變式可以引導學生舉一反三、觸類旁通。著名的教學教育家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能附近就有好幾個。”水平變式就是這樣的蘑菇，它有效地降低了問題的難度，增強了學生的學習信心，而且有利于學生梳理知識的內在聯系，總結規律，培養學生運用類比、聯想、特殊化和一般化的思維方法。

三、垂直變式

以“突破”源問題來實現數學結構變化的垂直變式，反映的是質的問題。垂直變式題恰到好處的“突破”，使得學生思維融會貫通，從而進一步螺旋式提升學生分析問題、解決問題的能力。

1.利用反例變式，培養學生思維的嚴謹性和批判性。

教學時，有意識的設置一些陷阱，通過反例變式的訓練去刺激學生，讓其“吃一塹，長一智”。

例3：如圖5，點M是反比例函數y=5x的圖象上一點，過M點作x軸、y軸的平行線，則為S陰影=____________.

（變式）如圖6，直線x=t（t>0）與反比例函數y=2x，y=kx的圖象分別交于B、C兩點，A為y軸上的任意一點，若△ABC的面積為32，則k=____________

解析：學生大多知道過雙曲線上的點作x軸，y軸的垂線段，得到的矩形面積等于︱k︱，但是反過來，如果已知矩形的面積，他們經常錯誤的認為k就是矩形的面積，而忽視k為負數的情形。變式中，學生首先需要尋找△ABC的面積與兩個反比例系數2和k的關系，然后才能確定k的值。這兩個步驟都需要思維的靈活性和嚴謹性，通過這個變式可以暴露學生在這類題型上的思維短視和常見錯誤，從而加深印象。

2.運用逆向變式培養逆向思維能力

數學是思維的體操，思維可以是單向的、多向的。逆向思維是正向思維的反向方式。通過轉換思維方式，可以培養學生另辟蹊徑，拓展思路，探索性地學習。通過多樣性和經常性的正逆雙向思維交替，可以培養學生綜合運用知識的能力，進一步逐步優化學生的思維品質。

例4：如圖7，已知四邊形ABDC中，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E， AB=AC+BD，則AC∥BD嗎？請說明理由。

變式1：如圖7，已知AC∥BD，EA平分∠CAB，CD過點E， AB=AC+BD，EB分別平分∠DBA嗎？請說明理由。

變式2：如圖7，已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由。

當逆命題與原命題同真時，可用于訓練學生的逆向思維。當逆命題與原命題真假性相反時，引導學生舉出反例，促使學生進行雙向辨析，使學生對相關問題理解得更清晰、透徹。教師經常把個別、特殊事物概括為一般原則、方法，讓學生辨析對錯，同時又把一般原則、方法運用到個別、特殊事例，就會使學生領悟個體與整體、特殊與一般的區別與聯系，通過這樣多角度、全方位的思考，可以引導學生找到發現新知識、認識新知識的突破口。

3.利用一題多解培養學生思維的靈活性

著名數學家波利亞曾經說過，掌握數學就意味著要善于解題。因為思考問題的角度不同而得到多種思路，從而對所學知識加以融會貫通，激發思維火花，培養學生思維的靈活性。通過比較各方法之間的關系與優劣，使學生學會分析、比較、概括、總結。這樣的一題多解可以收到“講好一題，帶活一片”的效果。

通過學生討論、交流不同方法，教師點撥鞏固了所學知識，既達到了認知目標，也培養了學生思維的靈活性、變通性和創造性。在教學中教師利用解題過程進行變式訓練，引導學生廣泛建立知識聯系，加深對各章知識的理解，拓寬思路，有利于培養學生的數學素養。

結語

變式訓練，不要“變”得過于簡單，也不能“變”得過難。過于簡單的變式是“機械重復勞動”，不利于培養學生的思維質量;難度“變”得過大，容易挫傷學生的學習積極性，使學生難以獲得成功的喜悅，長此以往，將使學生喪失自信心，所以選題變式時要根據所教內容的不同，所教學生層次的不同，精心的設計水平變式題的“量”和垂直變式題的“度”，同時結合課堂教學進行適當的調整和改變。梯度合適、層次分明，才能使不同層次的學生各有所得，才能激發學生學習的熱情。水平變式題“重復”到一定程度后，自然會“突破”量變，走向質變。因此，在適當的時候，拋出垂直變式題，以達到水到渠成的效果。綜上所述，既能合理安排水平變式的“量”，又能合理安排垂直變式的“度”，才能達到既有量的積累，又有質的飛躍，促進學生在已有的認知水平的基礎上，數學的知識結構和數學能力都能循序漸進，從而達到螺旋上升式的發展。

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（作者單位：廣州市第五中學）