“樣本點、樣本空間和隨機事件的表達”教學設計

邱瑤

摘? 要：按照“情境問題—實例探究—抽象表征—建立概念—刻畫深構(gòu)—遷移應用”的模式展開，在每個環(huán)節(jié)充分暴露學生的思維，在理解上注重升華引領(lǐng)，在落實上注重規(guī)范表達，在問題探究上注重過程性.

關(guān)鍵詞：有限樣本空間;隨機事件;抽象表征

一、教學內(nèi)容解析

概率與統(tǒng)計是高中數(shù)學課程的四條主線之一. 概率為人們從不確定性的角度認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法. 本節(jié)課作為高中概率的起始課，承載著“緒論”與“預備”的雙重任務.

“緒論”即教材的章引言部分，主要介紹概率的研究對象. 概率是各類學科中唯一一門專門研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的學科. 研究對象的特殊性決定了思維方法的特殊性，特別是如何看待和處理隨機規(guī)律性，是其他學科中沒有的.

“預備知識”包括樣本點、樣本空間、隨機事件的概念. 這是概率論中最基本且重要的概念，新教材將其引入高中數(shù)學課程，使得學生能夠更加準確、理性地認識隨機現(xiàn)象. 例如，當給定一個試驗時，其所有可能的基本結(jié)果（樣本點）構(gòu)成樣本空間，各種隨機事件都可以看成是樣本空間的子集，概率也可以看成樣本空間映射到實數(shù)集的一個“集函數(shù)”.

因此，本節(jié)課是在初中概率學習的基礎(chǔ)上，進一步研究如何用數(shù)學語言準確刻畫隨機現(xiàn)象和隨機事件. 引入樣本點、樣本空間的概念，將隨機事件看成樣本空間的子集，是利用集合語言對試驗結(jié)果進行準確描述，相當于建立隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型，為后續(xù)類比集合的關(guān)系與運算理解事件的關(guān)系與運算，以及類比函數(shù)的研究路徑研究概率奠定了基礎(chǔ).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點是：理解樣本點、樣本空間和隨機事件的概念，會用集合語言表示一個試驗的樣本空間與隨機事件.

二、教學目標設置

本節(jié)課教學目標設置如下.

（1）了解隨機現(xiàn)象、隨機試驗的特征.

（2）理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點、樣本空間的關(guān)系.

（3）能夠準確、規(guī)范地寫出實際情境中的樣本空間、隨機事件，提高抽象表征能力.

達成上述教學目標的標志如下.

達成目標（1）的標志：結(jié)合情境，感受到客觀世界的不確定性，歸納概括出隨機現(xiàn)象、隨機試驗的特征. 能夠舉出生活中隨機現(xiàn)象的例子，初步運用隨機的觀念看待周圍的事物，體會隨機思想.

達成目標（2）的標志：經(jīng)歷隨機現(xiàn)象數(shù)學化的過程，借助集合的語言和工具，抽象出樣本點、樣本空間的概念. 結(jié)合具體實例，用集合語言表示隨機事件，結(jié)合事件發(fā)生的含義建構(gòu)出隨機事件的概念.

達成目標（3）的標志：能夠結(jié)合樹狀圖、列表，用適當?shù)姆枩蚀_寫出常見隨機試驗的樣本空間.

三、學生學情分析

學生已有的認知基礎(chǔ)包括初中的“概率初步”和上一章的“統(tǒng)計”，但是概率統(tǒng)計研究的是不確定性數(shù)學，其思想方法與確定性數(shù)學存在巨大差異. 要想建立起科學的概率統(tǒng)計思維，還需要經(jīng)過長期學習.

本節(jié)課的樣本點、樣本空間、用集合定義隨機事件是學生首次接觸. 那么，為什么要用集合語言刻畫隨機現(xiàn)象和隨機事件呢？學生對此可能會有疑問. 換言之，從初中描述性的概念到高中準確的數(shù)學表達，學生在理解上可能會有困難. 而起始概念的建立需要扎實到位，才能有利于后續(xù)的學習.

此外，面對一個實際情境，學生未必能夠很好地表示出試驗的樣本空間、隨機事件，主要表現(xiàn)在不知道選用什么樣的符號和形式來表達樣本點，這需要經(jīng)過一定的訓練和指導.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點是：用適當?shù)姆枺ㄈ鐢?shù)對、數(shù)串等）表達樣本點;理解隨機事件是樣本空間的子集.

四、教學策略分析

通過創(chuàng)設情境、直觀感知、抽象概括的過程，建構(gòu)概念，并進行規(guī)范的表達，具體如下.

（1）結(jié)合豐富、典型的實例，加強學生對隨機現(xiàn)象的隨機性及隨機性中表現(xiàn)出來的統(tǒng)計規(guī)律性的直觀感知. 選擇貼近學生實際生活的案例和概率論中的部分經(jīng)典案例，分析其中的不確定性，以及隨著觀測次數(shù)的增加隨機現(xiàn)象呈現(xiàn)出來的規(guī)律性.

（2）在抽象樣本點的概念之前，先設計合適的試驗（試驗結(jié)果分別采用文字、字母、數(shù)字表示），讓學生嘗試表達試驗結(jié)果. 得到概念后，再次強化文字、字母、數(shù)字三種形式的相互轉(zhuǎn)化. 再借助例1（二維樣本點）、例2（三維樣本點）的訓練，指導學生分析實際問題、選用恰當?shù)姆栃问?，?guī)范表達樣本點、樣本空間與隨機事件，提高數(shù)學表征能力.

（3）注重知識的內(nèi)在邏輯，從“隨機現(xiàn)象、隨機試驗”到“樣本點、樣本空間”，再到“隨機事件”，都做到過渡自然、銜接連貫，搭建清晰的知識網(wǎng)絡. 按照“情境問題—實例探究—抽象表征—建立概念—刻畫深構(gòu)—遷移應用”的模式展開教學，設置問題串引導學生思考，讓學生體會用集合語言表達隨機事件更加準確、嚴謹、抽象，是將隨機現(xiàn)象數(shù)學化的關(guān)鍵步驟，是后續(xù)研究的基礎(chǔ).

五、教學過程設計

1. 呈現(xiàn)問題情境，體驗隨機現(xiàn)象

問題1：從今天開始，我們學習“概率”，那么概率的研究對象是什么呢？

我們先來看幾個例子.

（1）播放籃球比賽視頻，讓學生決策把球傳給哪位球員. 出示該球員的投籃命中率. 引導學生認識到：一次投籃能否投中無法預知，但通過大量的統(tǒng)計分析可以大致估計進球的可能性.

（2）展示教師早上6：30左右從家去學校的路線圖，學生預測教師從家去學校的路上需要的時間. 出示最近三周的統(tǒng)計表和直方圖. 引導學生發(fā)現(xiàn)：教師每天上班所需時間無法提前預知，但通過大量的統(tǒng)計分析可以發(fā)現(xiàn)一定的分布規(guī)律.

（3）計算機模擬試驗（圖1）：用抽簽法從全班隨機抽取5名學生，誰會被抽到？如果大量重復抽取，會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（4）現(xiàn)場摸球試驗：讓學生從裝有一些紅球和黑球的箱子中隨機摸出一個，觀察摸出的球的顏色. 指導學生思考：如何在不打開箱子的情況下，估計箱子中紅球和黑球的比例？進行計算機模擬試驗（圖2）：有放回摸球多次，讓學生觀察規(guī)律.

（5）計算機模擬試驗（圖3）：拋擲一枚骰子，會擲出幾點？如果大量重復拋擲，會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

追問1：這些現(xiàn)象的共同特征是什么？

學生歸納概括. 就一次觀測而言，出現(xiàn)哪種結(jié)果具有偶然性;但在大量重復觀測下，各個結(jié)果出現(xiàn)的頻率卻具有穩(wěn)定性. 教師指出，這類現(xiàn)象叫做隨機現(xiàn)象.

追問2：你還能舉出隨機現(xiàn)象的例子嗎？

學生舉例. 教師指出，大千世界充滿了隨機現(xiàn)象，如果我們能夠掌握其中的規(guī)律，就可以更好地做出選擇和決策. 利用數(shù)學方法研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，就是概率的任務.

【設計意圖】籃球投籃和到校所需時間這兩個例子是受到很多隨機因素干擾的真實的生活情境，既體現(xiàn)出隨機現(xiàn)象的特點，又體現(xiàn)出利用概率進行決策的思想. 抽簽、摸球和擲骰子這三個例子是概率論中的經(jīng)典案例，通過計算機模擬試驗及學生現(xiàn)場參與活動，讓學生的思考更充分. 再通過學生自己舉例，讓學生用隨機的思想看待周圍的事物，感受隨機現(xiàn)象的普遍性. 最后教師指出研究隨機現(xiàn)象的必要性，揭示概率的研究內(nèi)容.

2. 問題探究，抽象表征，形成概念

問題2：如何對隨機現(xiàn)象展開研究？

學生在前面實例的基礎(chǔ)上做出回答. 有一些隨機現(xiàn)象（如上述抽簽、擲骰子的例子），每個可能結(jié)果的概率可以通過理論計算得到;而有一些隨機現(xiàn)象（如上述籃球投籃、到校所需時間、隨機摸球的例子），則需要進行大量重復試驗來統(tǒng)計分析，從而估計每個可能結(jié)果的概率.

教師給出隨機試驗的定義：我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母[E]表示.

追問：隨機試驗具有哪些特點？

教師引導學生結(jié)合前面的例子，歸納出隨機試驗的特點：從結(jié)果上看，試驗具有可知性（所有可能的結(jié)果明確可知）和隨機性（事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果）;從過程上看，試驗具有可重復性（能夠在相同條件下重復進行）.

【設計意圖】在上一個環(huán)節(jié)豐富實例的基礎(chǔ)上，歸納出隨機試驗的特點. 試驗是我們探求未知世界的常用方法.

問題3：我們研究隨機現(xiàn)象，進行隨機試驗，自然就要觀測試驗的所有可能結(jié)果. 那么，就應當先用某種方式對試驗結(jié)果進行表示. 如何表示出下列三個試驗的所有可能結(jié)果？試著多用幾種方式.

[E1]：拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上.

[E2]：隨機選擇一個有新生兒的家庭，觀察嬰兒的性別.

[E3]：拋擲一枚骰子，觀察朝上一面的點數(shù).

將三個試驗的所有可能結(jié)果填入下表.

學生討論交流. 教師投影學生的表示方法，指出常用文字、字母、數(shù)字三種形式表示可能的結(jié)果. 在此基礎(chǔ)上，抽象概括出樣本點、樣本空間的概念：我們把隨機試驗[E]的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間. 一般地，我們用[Ω]表示樣本空間，用[ω]表示樣本點. 現(xiàn)階段只研究有限樣本空間：如果一個隨機試驗有[n]個可能結(jié)果[ω1，ω2，…，ωn]，則稱[Ω=ω1，ω2，…，ωn]為有限樣本空間.

教師指出，利用集合的語言和工具來刻畫試驗的結(jié)果，引入樣本點和樣本空間的概念，實際上相當于建立了隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型，這是我們用數(shù)學方法研究隨機現(xiàn)象的基礎(chǔ).

追問：以上述“[E3]：拋擲一枚骰子，觀察擲出的點數(shù)”為例，你能規(guī)范地寫出試驗的樣本空間嗎？

師生共同總結(jié)、完善三種語言表達形式，規(guī)范書寫格式，特別強調(diào)在用字母和數(shù)字形式表示時，要交代字母和數(shù)字的含義.

例1? 拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的點數(shù)，寫出試驗的樣本空間.

投影學生的解答過程，師生共同評析：該試驗的樣本點是二維的，可以用數(shù)串或數(shù)對來表示;為了保證不重不漏，可以借助樹狀圖來幫助列舉;對比三種語言表述，從文字到字母再到數(shù)字，抽象化的程度逐步提高（采用0和1表示具有更多的好處，在今后的學習中會有所體會）.

教師出示例1的規(guī)范解答，師生共同總結(jié)書寫格式：首先，要交代樣本點的形式（如二維樣本點可用數(shù)對[x，y]表示）;其次，對[x]和[y]進行“賦值”，如賦值[0]和[1]，交代數(shù)字所代表的意義;最后，規(guī)范寫出樣本空間.

【設計意圖】樣本點、樣本空間的概念是本節(jié)課的重點，也是難點，因此設計了四個步驟來突破：嘗試表示—建構(gòu)概念—規(guī)范表示—強化提高.“嘗試表示”的三個試驗是有考量的，分別預設了文字（正面朝上，反面朝上）、字母（B表示男孩，G表示女孩）、數(shù)字（1，2，3，4，5，6）三種形式. 但實際上學生不一定這樣表示，重要的是讓學生有一個嘗試的過程，也為下一步建構(gòu)概念做鋪墊. 因為從第一步到第二步本身也是從特殊到一般的抽象概括過程. 在有了樣本點、樣本空間的概念之后，再回頭來看剛才寫的試驗結(jié)果，重新進行規(guī)范的表達. 最后通過例1進行強化提高. 經(jīng)過這四步，學生基本能夠掌握樣本點、樣本空間的概念和表示.

3. 集合刻畫，概念深構(gòu)

問題4：仍以上述“[E3]：拋擲一枚骰子，觀察擲出的點數(shù)”為例，思考：

（1）“擲出奇數(shù)點”是隨機事件嗎？

（2）“擲出的點數(shù)為[3]的倍數(shù)”是隨機事件嗎？

（3）如果用集合的形式來表示它們，如何表示？這些集合與樣本空間有什么關(guān)系？

（4）運用樣本點、樣本空間的概念，如何看待和定義隨機事件？

對于前兩個問題，引導學生回憶初中所學隨機事件的定義（在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件），那么上述兩個事件顯然是隨機事件.

對于問題（3），引導學生思考這兩個事件發(fā)生的含義，進行雙向互推：當“擲出奇數(shù)點”時，意味著集合[1，3，5]中的一個樣本點發(fā)生;反之，若集合[1，3，5]中的一個樣本點出現(xiàn)，則意味著事件“擲出奇數(shù)點”發(fā)生. 因此，可以用集合[1，3，5]表示事件“擲出奇數(shù)點”. 第二個例子同理. 從而得出隨機事件與樣本點、樣本空間的關(guān)系.

在以上問題的基礎(chǔ)上，回答問題（4）：我們將樣本空間[Ω]的子集稱為隨機事件，簡稱事件，一般用大寫字母[A，B，C，…]表示. 在每次試驗中，當且僅當事件[A]中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件[A]發(fā)生.

追問：我們在學習數(shù)學概念時，往往要關(guān)注其中的特殊情形. 大家思考，樣本空間的子集中有哪些比較特殊？

學生容易想到空集和樣本空間自身. 教師引導學生，只包含一個樣本點的事件也是比較特殊的，結(jié)合樣本點的含義，這類事件應該叫基本事件. 結(jié)合初中所學，樣本空間自身應該叫做必然事件，空集應該叫做不可能事件. 教師引導學生利用事件發(fā)生的含義進行解釋，并讓學生以擲骰子為例來舉出必然事件和不可能事件，直觀、正確地來理解這兩個概念. 教師指出，必然事件和不可能事件是不具有隨機性的，這里是將它們作為隨機事件的兩個極端情形，以方便統(tǒng)一處理.

【設計意圖】隨機事件是概率研究的核心概念之一，初中所學的隨機事件的概念是描述性的，而高中階段則用集合語言進行刻畫，這是本節(jié)課的重點和難點. 本環(huán)節(jié)依托初中的知識基礎(chǔ)設置問題串，分析具體實例，歸納出事件發(fā)生的含義，發(fā)現(xiàn)隨機事件與樣本點、樣本空間的關(guān)系，從而重新建構(gòu)隨機事件的概念. 在此過程中，希望學生能夠體會到數(shù)學概念螺旋式上升的過程，就像當初學習函數(shù)的概念一樣. 最后，進一步對特殊情形進行說明. 至此，就完成了隨機事件的數(shù)學表達.

4. 模型構(gòu)建，遷移應用

例2? 如圖4，一個電路中有A，B，C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效. 把這個電路是否為通路看成是一個隨機現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.

（1）寫出試驗的樣本空間;

（2）用集合表示下列事件：

[M]= “恰好兩個元件正?！?

[N]= “電路是通路”;

[T]= “電路是斷路”.

投影學生的解答過程，師生共同評析：面對復雜的實際情境，要先分析試驗的所有可能結(jié)果，然后選擇恰當?shù)姆栃问?，按照?guī)范步驟寫出樣本空間. 例如，該題的試驗結(jié)果可用三維數(shù)組表示，借助樹狀圖可以更加直觀、有序地寫出所有可能結(jié)果. 再分析具體的隨機事件，用集合表示出來.

追問：觀察事件[N]和事件[T]的集合表示，你能發(fā)現(xiàn)什么？

學生容易發(fā)現(xiàn)兩個集合互為補集，教師引導：后面我們將類比集合的關(guān)系與運算研究事件的關(guān)系與運算. 我們還會研究隨機事件的概率，構(gòu)建概率模型，最終解決實際問題.

【設計意圖】考查學生面對復雜的現(xiàn)實情境能否準確寫出試驗的樣本空間和隨機事件，鞏固所學知識，總結(jié)方法. 同時，借助該題的第（2）小題引出后續(xù)研究內(nèi)容，大致構(gòu)建本章的知識結(jié)構(gòu).

5. 回顧總結(jié)，提升能力

以思維導圖的形式，師生一起回顧本節(jié)課所學的主要內(nèi)容. 教師引導學生思考以下問題.

（1）如何得到隨機現(xiàn)象、隨機試驗的特點？

（2）面對一個實際問題，如何準確寫出試驗的樣本空間？

（3）初中已經(jīng)學過隨機事件的概念，為何高中還要學？兩者有何不同？

學生總結(jié)、思考，并回答. 針對問題（1），教師引導學生體會研究數(shù)學對象的一般過程：情境背景—抽象本質(zhì)—建構(gòu)概念—數(shù)學表示—實際應用. 針對問題（2），引導學生回顧方法步驟，注意嚴謹表達. 針對問題（3），引導學生體會集合語言的準確性、嚴謹性、抽象性，并讓學生帶著這個問題繼續(xù)學習后面的概率知識，將會有更深刻的體會.

【設計意圖】對學習內(nèi)容和學習方法進行總結(jié)、反思、升華，促進學生對本節(jié)課所學內(nèi)容和方法的理解和認識.

6. 分層要求，拓寬視野

簡單介紹概率的起源與應用.

布置作業(yè)：完成教材中本小節(jié)的練習題;查閱資料，了解更多概率論的起源與應用.

【設計意圖】介紹概率的起源和應用，主要是為了滲透數(shù)學文化，讓學生體會概率應用的廣泛性，增加學生對這門學科的了解，從而調(diào)動學生對概率的興趣和重視程度. 布置基礎(chǔ)性練習作業(yè)是為了鞏固學生的基礎(chǔ)知識和基本技能.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.