立足統計學科本質積累數據分析經驗

張唯一

摘? 要：統計是中學數學普遍存在的教學疑難內容.“總體百分位數的估計”一節課為我們提供了統計教學的有益啟示：結合案例學習統計的概念和方法，經歷統計概念和方法的形成過程，通過生活實例體現概念和方法的應用性，合理利用信息技術.

關鍵詞：百分位數;數字特征;統計

“總體百分位數的估計”是《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）新增的內容，中國教育學會中學數學教學專業委員會“2020年高中青年數學教師課例展示與培訓活動”把它作為指定課題. 從知識領域來看，本節課屬于統計內容，隨著大數據時代的到來，百分位數概念的重要性變得越來越突出. 統計與函數、代數與幾何、概率等在學科邏輯上存在很大不同，如立論基礎、推理方法、判斷原則等，這決定了統計的教學方式應該有別于其他數學內容. 當教師的統計學科素養不夠，不能根據統計的學科特點進行教學設計時，統計的教學就會變得比較困難. 而本節課執教教師的教學整體比較流暢、自然，而且比較有“統計味道”，這與整個教學的設計較好地抓住了統計學科的特點有關. 本節課還有很多可圈可點的地方，但就統計的教學而言，筆者認為至少在以下幾個方面可以為我們的教學提供啟示.

一、結合案例學習統計的概念和方法

通過案例體現概念引入的必要性. 統計是一門應用性很強的學科，它的概念和方法的產生往往具有很強的現實背景. 通過合適的案例體現概念和方法引入的必要性，符合統計的學科特點. 因此，在統計教學中，選擇合適的案例就變得非常關鍵，除了要體現概念和方法的必要性外，案例的問題還要有現實意義，而且案例的背景最好貼近學生的生活. 本節課通過確定居民用戶月均用水量標準的問題，體現引入百分位數這個數字特征的必要性. 這是對教材上一節居民用戶月均用水量的總體取值規律估計的繼續研究. 在回顧總體取值規律估計內容的基礎上提出問題，使得問題的解決具有連續性，符合教材用一個案例貫穿相關內容的編寫意圖. 用同一個案例背景，通過不同現實意義的統計問題，引入不同的統計概念和方法，有利于通過不同概念和方法的比較，更好地理解各自的統計含義及特點.

結合案例學習統計的概念和方法. 與建立在概念和定義基礎上，通過演繹方式進行研究的數學其他分支不同，統計是建立在數據的基礎上，通過歸納方式研究隨機現象的，需要通過數據分析解決問題. 因此，統計的學習應結合具體案例，以案例為載體學習統計的概念和方法，避免抽象地定義概念和討論方法，并在問題的解決中體會數據的隨機性，積累數據分析的經驗. 本節課結合居民用戶月均用水量標準問題，“使80%的居民用戶生活用水支出不受影響”，在問題的解決中了解第80百分位數的統計含義. 在感性認識的基礎上，類比中位數的定義，得到一般的第[p]百分位數的定義.

二、經歷統計概念和方法的形成過程

不同的數字特征刻畫了數據的不同統計特征. 在建立數字特征概念時，應先結合案例明確希望刻畫數據哪方面的統計特征，再尋找合適的數學工具進行刻畫，這是從統計直觀到數學表達的過程. 經歷這個數學化的過程，不僅有助于理解數字特征定義的合理性，而且有助于理解數字特征的統計含義，也是積累數據分析經驗的需要. 如果只是直接告訴學生數字特征定義的形式和計算的方法，那么統計的學習就變成純粹的畫圖列表、公式計算等程序性操作，偏離統計學習的重點.

百分位數直觀上比較容易理解，就是把一組按大小排序的數據分成100等份后，每一分點處的數據，即每個百分位數把這組數據分成相應百分比的兩部分，但不是每組數據都能恰好被分成100等份. 為了使得每組數據都存在任意的百分位數，教材中把百分位數定義為“一組數據的第[p]百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有[p%]的數據小于或等于這個值，且至少有[100-p%]的數據大于或等于這個值”. 定義中包含有“至少”“小于或等于”“大于或等于”等表述的多個不等關系，使得百分位數定義及計算過程不易理解.

教材上是先讓學生經歷居民用水量標準問題的完整解決過程，了解100個數據的第80百分位數的直觀含義和計算方法，再在此基礎上引入一般的第[p]百分位數定義及計算步驟，這是從統計直觀到數學化的過程，但教學中可能需要增加對百分位數定義合理性的解釋. 為了使概念和方法的產生過程顯得自然，本節課執教教師對百分位數的定義和計算步驟都采用了歸納的方法. 對于百分位數的定義，先讓學生結合居民用水量標準案例理解中位數的百分位數的位置，在此基礎上引出第80百分位數，歸納得到第[p]百分位數的初步定義，再通過舉例“1，2，2，4，5”進一步完善定義，明確定義中“至少”的合理性. 對于百分位數的計算，先類比中位數的求解過程，求解100個數據的第80百分位數，以及99個數據的第80百分位數，在感性認識的基礎上，歸納得到百分位數的一般計算步驟. 這樣的安排，把百分位數的定義和計算分開，從教學環節上看相對比較清楚，但居民用水量標準案例的解決過程會顯得不太連貫.

三、通過生活實例體現概念和方法的應用性

統計具有很強的應用性，與我們生活的聯系也非常緊密. 通過生活中統計知識應用的實例，不僅可以讓學生了解統計知識的廣泛應用性，體現所學概念和方法的重要性，而且還有助于學生進一步理解概念和方法的統計含義.

本節課執教教師為了讓學生體會到統計與生活的聯系，在課前布置任務，讓學生親自調查百分位數在實際生活中的應用案例，并在課堂上分享交流得到的案例，不僅有利于學生體會百分數應用的廣泛性，也是在引導學生用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界. 在此基礎上，本節課執教教師展示中國成人人體尺寸的案例，因為人體尺寸的各種百分位數對于設計各種生活用品尺寸（如服裝、家具等）具有重要意義，所以學生從生活經驗中能切身感知到中國成人人體尺寸的案例是一個可以很好地體現百分位數重要性的實例.

四、合理利用信息技術

信息技術不僅是統計教學的有效輔助手段，也是現代統計的重要組成部分. 在教學中合理使用信息技術，可以把學生從機械、煩瑣的數據處理中解放出來，把更多精力集中在對統計概念和方法的理解上. 在用統計方法解決實際問題時，數據處理的工作量太大甚至難以實現，常常成為使用統計方法的障礙. 因此，讓學生初步學會使用信息技術工具處理數據非常有必要. 只有學生會用信息技術處理數據，數據處理不再是困難，學生才會更積極主動地使用統計方法去解決實際問題.《標準》對信息技術在統計中的使用也提出了明確的要求. 在百分位數的教學內容中，數據的處理主要來自百分位數的求解. 求解百分位數的過程并不復雜，先對數據進行排序，然后確定百分位數的位置，再確定百分位數的具體數值. 當數據不多時，百分位數的求解并不困難，但是當數據較多時，數據的排序就是一個很大的工程. 因此，在百分位數教學中融入信息技術的教學就非常有必要. 對于百分位數的計算，本節課執教教師先設置例1（27個數據），通過人工排序和計算的方法，鞏固百分位數計算的步驟;再設置練習1（200個數據），借助Excel軟件計算百分位數，教師先展示計算75%分位數，然后由學生實際操作計算95%分位數. 通過這樣的安排，學生既了解了百分位數算法的原理與步驟，又學會了用信息技術工具求解百分位數，為正確利用百分位數解決實際問題打下了基礎.

參考文獻：

[1]史寧中. 數形結合與數學模型：高中數學教學中的核心問題[M]. 北京：高等教育出版社，2018.