數學關鍵能力的培養

盧會玉

摘 要：2018年高考數學全國卷Ⅰ文科卷第17題和2020年高考數學全國卷Ⅲ理科第17題有很多相像的地方.筆者從復習備考時對2018年高考數學全國卷Ⅰ文科卷第17題的三個改編題入手，分析如何一步步的培養學生的分析、歸納和運算等數學關鍵能力.數學的關鍵能力離不開數學核心素養，兩者是相輔相成的，提高數學關鍵能力首先要提高數學核心素養. 與此同時，數學核心素養提高了，數學關鍵能力相應的也會得到提高. 進而又分析了今年高考題是如何考查數學核心素養的，以期獲得一些教學和學習經驗.

關鍵詞：2020高考;數學關鍵能力;數學核心素養

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0030-03

2020年的高考在經歷了千難萬難后落下帷幕，從看到高考題的那一刻起，腦海中浮現的都是當時和學生一起備考的畫面.尤其是看到2020年高考數學全國卷Ⅲ理科第17題時，更是興奮不已.因為在復習數列專題時，為了培養學生的分析、歸納、推理和計算能力，特意將2018年高考數學全國卷Ⅰ文科卷第17題進行了改編，進行了全方位的備考.

《中國高考評價體系》明確指出：關鍵能力是高考考查的重點內容.但是有教師混淆了關鍵能力和數學技巧的區別，試圖通過不斷的訓練獲得關鍵能力.筆者認為，關鍵能力的考查是在建立在基本技能和基本思想的基礎上進行的綜合能力的考查.

一、一個原題三個改編

例1 （2018年高考數學全國卷Ⅰ文科卷第17題）

已知數列an滿足a1=1，nan+1=2n+1an，設bn=ann.

（1）求b1，b2，b3;

（2）判斷數列bn是否為等比數列，并說明理由;

（3）求an的通項公式.

解析 （1）由條件可得an+1=2n+1nan.

將n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以a2=4.

將n=2代入得，a3=3a2，所以a3=12.

從而b1=1，b2=2，b3=4;

（2）bn是首項為1，公比為2的等比數列.

由條件可得an+1n+1=2ann，即bn+1=2bn，又b1=1，

所以bn是首項為1，公比為2的等比數列;

（3）由（2）可得ann=bn=1×2n-1=2n-1，所以an=n·2n-1.

筆者認為該題更多的是考查學生的運算能力，因為bn=ann在題干中明確的給出，對于學生來說，基本沒有涉及到分析、歸納和推理能力的考查，所以為了提高學生能力，對題目進行改編是有必要的.

例2 （2018年高考數學全國卷Ⅰ文科卷第17題改編題）已知數列an滿足a1=1，nan+1=2n+1an，求an的通項公式.

將題目改編成直接求an的通項公式，對學生關鍵能力的要求就非常高了.學生必須要明確一定有一個新數列產生，從而借助新數列解決an的通項公式.這個過程中，學生必然要進行分析，經過綜合考慮之后進行歸納和推理，進而加以證明，獲得結論.具體解題過程和原題基本一樣.

例3 （2018年高考數學全國卷Ⅰ文科卷第17題改編題）已知數列an滿足a1=1，nan+1=2n+1an.

（1）計算a2，a3，a4，a5;

（2）求an的通項公式.

將題目改編成先計算前五項再求an的通項公式，對學生關鍵能力的要求較高.給學生提供了一種先通過寫出前幾項再進行分析，從而發現結論的思路.考查的是學生的歸納能力和計算能力.具體解題過程和原題基本一樣.

例4 （2018年高考數學全國卷Ⅰ文科卷第17題改編題）

已知數列an滿足a1=1，nan+1=2n+1an，設bn=ann.

（1）判斷數列bn是否為等比數列，并說明理由;

（2）求an的通項公式.

（3）求數列an的前n項和Sn.

改編成如上問題，主要是想考查學生的運算能力，將bn=ann在題干中明確的給出，是為了減少學生分析、歸納和推理的思維量. 學生求出an的通項公式后，發現an=n·2n-1，這對學生來說，是一個比較熟悉的錯位相減法求和問題，對學生運算能力的要求較高.

經過對2018年高考數學全國卷Ⅰ文科卷第17題的改編，重點培養了學生分析問題的能力、歸納問題的能力以及運算能力.令人欣喜的是，果不其然今年的高考題正是考查這方面的知識和能力.

二、一個原題一些思考

（2020年高考數學全國卷Ⅲ理科第17題）

設數列an滿足a1=3，an+1=3an-4n.

（1）計算a2，a3，猜想an的通項公式并加以證明;

（2）求數列2nan的前n項和Sn.

解析 （1）由題意可得a2=3a1-4=9-4=5，a3=3a2-8=15-8=7，由數列an的前三項可猜想數列an是以3為首項，2為公差的等差數列，即an=2n+1，證明如下：

當n=1時，a1=3成立;

假設n=k時，ak=2k+1成立.

那么n=k+1時，ak+1=3ak-4k=3（2k+1）-4k=2k+3=2（k+1）+1也成立.

則對任意的n∈N*，都有an=2n+1成立;

（2）由（1）可知，an·2n=（2n+1）·2n

Sn=3×2+5×22+7×23+…+（2n-1）·2n-1+（2n+1）·2n①

2Sn=3×22+5×23+7×24+…+（2n-1）·2n+（2n+1）·2n+1②

由①-②得：-Sn=6+2×22+23+…+2n-（2n+1）·2n+1

=6+2×22×1-2n-11-2-（2n+1）·2n+1

=（1-2n）·2n+1-2，

即Sn=（2n-1）·2n+1+2.

數學的關鍵能力有五項：邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力和創新能力. 該題明顯考查學生的分析能力、歸納能力和運算能力，指向非常明確. 高考評價體系確立的是基礎性、綜合性、應用性、創新性的考查要求，本題體現是基礎性. 對基本技能和基本思想的要求較高.

數學的關鍵能力離不開數學核心素養，兩者是相輔相成的，提高數學關鍵能力首先要提高數學核心素養. 與此同時，數學核心素養提高了，數學關鍵能力相應的也會得到提高. 那么今年高考數列題是如何考查數學核心素養的呢？

1.核心素養之數學抽象

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程. 要求學生能從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征.

例 （2020年高考數學全國卷Ⅱ理科第4題）

北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊，已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）.

A. 3699塊 B. 3474塊 C. 3402塊 D. 3339塊

解析 設第n環天石心塊數為an，第一層共有n環，則an是以9為首項，9為公差的等差數列，an=9+（n-1）×9=9n，設Sn為an的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數分別為Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，因為下層比中層多729塊，所以S3n-S2n=S2n-Sn+729，

即3n（9+27n）2-2n（9+18n）2=2n（9+18n）2-n（9+9n）2+729，即9n2=729，解得n=9，

所以S3n=S27=27（9+9×27）2=3402.

故選C.

本題主要考查學生的數學抽象能力，需要學生能將實際問題轉化為數列問題，并且要讀懂題目所表達的意思.涉及等差數列前n項和有關的計算問題，進而考查學生數學運算能力，算是一道容易題.

2.核心素養之數據分析

數據分析是指從數據中獲得有用的信息，形成知識的過程，主要包括：收集數據提取信息，利用圖表展示數據，構建模型分析數據，解釋數據蘊含的結論.

例 （2020年高考數學全國卷Ⅱ理科第12題）

0-1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列a1a2…an…滿足ai∈{0，1}（i=1，2，…），且存在正整數m，使得ai+m=ai（i=1，2，…）成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足ai+m=ai（i=1，2，…）的最小正整數m為這個序列的周期.對于周期為m的0-1序列a1a2…an…，C（k）=

1m∑mi=1aiai+k（k=1，2，…，m-1）是描述其性質的重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足C（k）≤15（k=1，2，3，4）的序列是（）.

A.11010…B. 11011…

C. 10001…D. 11001…

解析 由ai+m=ai知，序列ai的周期為m，由已知，m=5，

C（k）=15∑5i=1aiai+k，k=1，2，3，4

對于選項A.

C（1）=15∑5i=1aiai+1=15（a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6）=15（1+0+0+0+0）=15≤15

C（2）=15∑5i=1aiai+2=15（a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7）=15（0+1+0+1+0）=25，不滿足;

對于選項B.

C（1）=15∑5i=1aiai+1=15（a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6）=15（1+0+0+1+1）=35，不滿足;

對于選項D.

C（1）=15∑5i=1aiai+1=15（a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6）=15（1+0+0+0+1）=25，不滿足;

故選C.

本題考查數列的新定義問題，涉及到周期數列，考查學生對新定義的理解能力以及數據分析能力和數學運算能力，是一道中檔題.

3.核心素養之數學運算

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決書序問題，主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果.

例 （2020年高考數學全國卷Ⅰ理科第17題）設an是公比不為1的等比數列，a1為a2，a3的等差中項.

（1）求an的公比;

（2）若a1=1，求數列{nan}的前n項和.

解析 （1）設an的公比為q，a1為a2，a3的等差中項，

∵2a1=a2+a3，a1≠0，

∴q2+q-2=0，

∵q≠1，∴q=-2;

（2）設{nan}的前n項和為Sn，a1=1，an=（-2）n-1，

Sn=1×1+2×（-2）+3×（-2）2+…+n（-2）n-1，①

-2Sn=1×（-2）+2×（-2）2+3×（-2）3+…（n-1）（-2）n-1+n（-2）n，②

①-②得，

3Sn=1+（-2）+（-2）2+…+（-2）n-1-n（-2）n

=1-（-2）n1-（-2）-n（-2）n=1-（1+3n）（-2）n3，

∴Sn=1-（1+3n）（-2）n9.

本題考查等比數列通項公式基本量的計算、等差中項的性質，以及錯位相減法求和，考查計算求解能力，屬于基礎題.

數學運算幾乎每道題都會涉及到，有句俗語說：想到不如做到！很多學生不是想不到，而是想到了卻做錯了，這就是典型的數學運算能力欠缺. 應該在平時的學習中利用一切機會進行訓練，在不斷犯錯又不斷改錯中，運算能力才能得到提高.

參考文獻：

[1]陳國林.例談數列中的數字文化[J].高中生之友，2019（10）：42-43.

[責任編輯：李 璟]