高中數學解題中隱含條件的挖掘

俞梅清

摘 要：在高中數學解題中，學生能否挖掘和利用數學題中的隱含條件，影響到了數學解題的正確性和合理性.然而，并非所有的學生都能準確、快速地挖掘數學題干中的隱含條件，致使解題的準確率有所下降.因此，本文將結合高中數學有關內容，就如何引導學生挖掘數學題中的隱含條件展開如下研究.

關鍵詞：高中數學;隱含條件;解題;研究

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0020-02

通常學生容易忽略數學題中的隱含信息，導致無法迅速尋找到題目中的關鍵線索以及問題解決思路，進而促使解題效果不樂觀.為了引起學生對數學題中隱含條件的重視，本文將重點分析高中數學解題中隱含條件的挖掘方法，使得學生意識到隱含條件的重要性.

一、在高中數學幾何問題中挖掘隱含條件學生若懂得將隱含在幾何問題中的條件挖掘出來，這樣往往可以迅速為解題提供關鍵的線索與條件，從而可以順利地尋找出幾何問題的解決思路，進而收到事半功倍的解題效果.對于一些非常規思路的解題方式，往往需要更多的條件，包括題干中的顯性條件以及隱含條件，而隱含條件則需要學生對題目進行再進一步的分析，同時也需要教師給予適當的提點，以讓學生養成挖掘題目隱含條件的習慣與意識.

那么從下面這道高中數學幾何問題為例：

已知橢圓

x245+y220=1的焦點為F1和F2.經過原點O，作直線和橢圓相交于AB兩點，若△ABF2的面積為20，請求出直線AB的方程.

解題分析 當學生拿到這道關于橢圓的幾何問題時，應該對題目進行詳細地閱讀，以了解和掌握題目中的基本信息，如題目中的已知條件：橢圓x245+y220=1、△ABF2面積為20、經原點作直線等.在基本認知題目中的已知條件后，通常很多學生會想到運用設直線AB方程為y=kx（k≠0），再將題目中的橢圓方程代入進去，從而計算出直線AB的絕對值，最后使用F2點到直線AB距離進行有關的求解.雖然學生可以通過一系列的計算來解答出直線AB的方程，但是這會花費學生較多的計算時間，也容易讓學生在計算中出現偏差，從而導致解題的失誤.比方說，題目中的直線過原點O交于橢圓A、B兩點，那么可以利用這個條件將AF1與BF2相連接，就可以獲知四邊形AF1BF2是一個平行四邊形的隱含條件，另外也得到△AF1F2也為20的又一隱含條件，這樣學生就可以更加簡單地解答出幾何問題，而不容進行過多的復雜計算.

解題過程：設A點坐標為（x1，y1），由橢圓方程得知c2=a2-b2=25，所以c為5.

又∵|F1F2|=2c=10，

∴S△ABF2=S△AF1F2=|F1F2|-|y1|，

∴12×10×|y1|=20，以此得知y1=4（y1>0）.

又∵A點位于橢圓之上，

∴x245+1620=1，從這個式子中，得到x1=±3.

所以，直線AB的斜率就是k=±43，這樣學生就可以得到直線方程AB為y=±43x.

解題反思 通過對幾何問題中的隱含信息分析與挖掘，能夠為幾何問題的解答挖掘到關鍵的隱含條件，從而迅速尋找到解題的思路與路徑，進而提升解題的效率以及準確性.因此，當學生遇到幾何問題時，不僅要關注到題目中的已知條件，還應該懂得結合多元化的解題思維，挖掘更多能夠使用的隱含條件，以支撐起新的解題方法，從而將挖掘到的隱含幾何條件轉化為解題的重要線索.

二、在高中數學代數函數求極值問題中挖掘隱含條件

極值問題也是高中數學考試中比較常見的數學問題，但是一些求極值問題所給的已知條件比較少，甚至一些題目只給一個函數等式，就要求學生進行最大最小值的求解，而學生閱讀題目之后會感覺到無從下手、毫無思緒，不知道該從什么角度進行問題的解答，從而陷入了解題的僵局.其中，教師仍可以從挖掘題目隱含條件的方式，引導學生從現有題目中挖掘隱含的條件信息，從而為解題提供更多可用條件，并將條件作為線索，進行代數求極值問題的解答.

如下例題：請求函數y=x-1+5-x的最大最小值.

解題分析 對于上述這道代數函數求極值問題中，很多學生會感覺到難以入手，甚至有些學生放棄作答問題，而如果學生能夠挖掘其中隱含的信息條件，就可以打開解題思維，尋找到解題的路徑.首先，從題目中，學生可以將注意力集中到自變量x，并且結合題目中的函數，得出自變量x的取值范圍為1≤x≤5.然后，根據1≤x≤5這個隱含在題目中的條件，學生就將這道看似毫無頭緒的代數函數求極值問題轉化為三角函數有關問題，從而結合三角函數知識進行問題的解答.

解題過程 由x-1≥0和5-x≥0，得到函數定義域為1≤x≤5，那么0≤x-1≤4，∴令x=4sin2θ+1（0≤θ≤π2），以此得知y=2sinθ+2cosθ=22sin（θ+

π4），

進而得到函數y的最大最小值為22和2.

解題反思 通過對上述求極值問題中的隱含條件挖掘，能夠讓學生找到有效地解題路徑，促使學生可以快速地解答出問題.可是，如果學生沒有找到題目中的關鍵突破口，就很難尋找到隱含條件，如本題中的關鍵突破口就是自變量x，它看似不起眼，可就是它成為該道問題的解題關鍵線索.

三、在高中數學數列問題中挖掘隱含條件

教師可以結合學生日常錯解進行分析，從而讓學生意識到自己是哪里開始出現解題的偏差，并在此基礎之上，幫助學生了解錯因并重新審題，以將題目中遺漏的信息重新挖掘出來，進而引導學生尋找到更為關鍵的題目隱含條件.

如下面這道數列問題：已知數列{an}的前n項之和為①Sn=2n2-n;② Sn=n2+n +1，請求出數列{an}的通項公式.

解題分析 在解答過程中，學生往往在數列概念理解上出現錯誤，從而進行錯誤的解答，如將①an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3;

②an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n.

學生出現上述解答的錯誤，主要是僅關注到了題干中的①Sn=2n2-n;②Sn=n2+n+1 ，并順理成章的利用an=Sn-Sn-1的關系進行問題的解答，卻沒有注意到a1=S1的隱含條件信息，從而解答出錯誤的答案.因此，學生應該懂得挖掘題目中的數列關系，將存在的a1=S1的隱含條件挖掘出來，才能真正的求出{an}的通項公式.

解題過程 ①當n=1時，a1=S1=1

當n≥2時，an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3 ，經檢驗得

n=1時，a1=1，也適合，

∴an=4n-3

②當n=1時，a1=S1=3當n≥2時，

an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n

∴an=32n （n=1）（n≥2）

解題反思 可見，在這道數列問題中，如果學生忽略了a1= S1的隱含條件信息，就無法正確解答出數列{an}的通項公式，這與學生是否認真讀題、是否真正掌握數列概念有關.所以，在實際解答問題的過程中，學生即要樹立全面的解題思維，還要認真掌握有關的數學概念，從而利用數學概念來幫助自己尋找到題目的關鍵隱含信息，進而挖掘出可用的解題隱含條件，最終正確、全面的解答出問題的答案.

綜上所述，隱含條件是高中數學解題中的一個不容忽視的條件，而學生即要懂得挖掘又要懂得利用，才能發揮出隱含條件的作用，進而將隱含條件轉化為解題的關鍵線索.因此，教師仍要注意培養學生挖掘數學題目中隱含條件的能力.

參考文獻：

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[責任編輯：李 璟]