“自主招生”備考解題教學設計與思考

摘 要：目前，多地高中自主招生考試陸續登場，但對于自主招生試題的研究卻鳳毛麟角，縱觀多數招考試卷的試題，大多都是來自全國各地較難的中考試題或者一些來源可靠的競賽試題，所以我們建議教師對擬入選講評自招考題，要針對解法進行深入思考，包括一題多解、該題深層結構的揭示以及考題出處的檢索與溯源等等，然后基于教學經驗，對不同層次的學生的解題理解進行研判，以便預設恰當的講評時長，從而獲得較好的教學效果.

關鍵詞：自主招考數學競賽推理教學經驗;思考

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0075-02

最近幾年，各地熱點頗高的高中自主招生考試陸續登場，這也使得初三年級在師生備考時又多了所謂“提優拓展任務”，但關注高中自主招考的教學研究卻較少，只是偶爾見到（如文[1]、[2]）.多數招考試卷的試題大多都是來自全國各地較難的中考試題或者一些來源可靠的競賽試題.下面筆者將從一道高中自招考題出發，查找原型并開展“一題一課”微教學設計，提供“高中自主招生輔導”的課例研究.

一、自招考題及原型出處

某高中自招考題：設x1=1+14，x2=14+19，x3=19+116，…，xn=1n2+1（n+1）2.記Sn=x1+1+x2+1+x3+1+…+xn+1.則S20192019的值為.（答案：20212020）

原型出處1：（2015年全國初中數學競賽聯賽·初二試卷，第5題）

設A=1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120142+120152，則不超過A的最大整數為（）.

A.2017B.2016C.2015D.2014

簡答：將A化簡為2015-12015，故不超過A的最大整數為2014，選D.

原型出處2：（2016年全國初中數學競賽聯賽·初二試卷，第4題）

記Sn=1+112+122+1+122+132+…+1+1n2+1（n+1）2， 則S20162016=（）.

A. 20162017 B.20172016 C.20172018 D.20182017

簡答：將Sn化簡為n+1n-1n+1或1+1n-1n+1，再把n=2016代入即可得20182017，選D.

簡析 可以發現“自招考題”的原型是前幾年的全國競賽卷中的兩道選擇題，這兩道競賽選擇題也是互相關聯，后一年由前一年的簡單變式而來.以下我們就圍繞這道考題給出解題教學的微設計.

二、圍繞“自招考題”的解題教學設計

1.教學環節（一）：基礎熱身

題組1：計算下列各題并發現規律，

（1）計算：1+14=，14+19=，19+116=;

（2）計算：1-12=，12-13=，13-14=;

（3）計算：1×12=，12×13=，13×14=;

（4）計算：1n-1n+1=.

教學組織：這組練習比較簡單，同學們多能直接口答，這個題組主要是為后續研究設置鋪墊，強調的是從基礎出發，引導學生熱身訓練.

2.教學環節（二）：引入開方運算

題組2：計算下列各題并發現規律，

（1）計算：1+112+122=，1+122+132=;

（2）計算：1+192+1102=，1+120202+120212=;

（3）計算：1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+1102+1112=;

（4）猜想：1+1n2+1（n+1）2=.（用含n的式子表示）

教學組織：這個題組在剛剛口算的基礎上，增加了解題層次，學生需要動筆運算，然后發現規律，但都是以填空的形式呈現，所以還沒有要求學生嚴謹推理說明，但成為下一個教學環節的鋪墊式問題.教學時，可以根據學生的解答，展開追問做出答案的學生是如何思考的.

3.教學環節（三）：“走向一般”進行證明

題組3：證明以下命題.

（1）若n為正整數，求證：1n（n+1）=1n-1n+1;

（2）若n為正整數，求證：1+1n2+1（n+1）2=（n+1n-1n+1）2.

教學組織：第（1）問比較簡單，學生可直接通分計算等式右邊，即可獲得證明;

第（2）問解法預設如下，可以對右邊展開計算，整理左邊的形式;也可以從左邊變形出發，比如，

1+1n2+1（n+1）2=（1+1n）2-2n+1（n+1）2=（n+1n）2-2n+1（n+1）2=（n+1n-1n+1）2.

這樣也就解釋了上面“題組2”的猜想

1+1n2+1（n+1）2=n+1n-1n+1=1+1n-1n+1是正確的.

4.教學環節（四）：出示競賽題及變式題組

題組4：先后出示上文提到的2015年競賽題、2016年競賽題、“某校自招考題”.

教學組織：先安排學生獨立思考，再小組內討論，最后安排小組代表進行全班講解，特別是對關鍵步驟可安排學生進行復述，這樣可取得更好的教學效果，讓更多的學生掌握這類問題的求解.

三、關于“高中自主招考”解題教學的進一步思考

1.教師要深刻理解考題關鍵步驟及深層結構

我們建議教師對擬入選講評自招考題的備課準備階段，要針對解法進行深入思考，包括一題多解的思考，包括該題深層結構的揭示，包括對這道考題出處的檢索與溯源，在對比同類考題之后對問題將會有更深的認識，比如這類問題求解的關鍵步驟是什么，這類考題深層結構是什么，有哪些條件（或“包裝”）是可以刪減的，問題簡化到最后是怎樣的問題？然后基于教學經驗，對不同層次的學生的解題理解進行研判，以便預設恰當的講評時長，從而獲得較好的教學效果.

2.教師需要精心預設題組漸次呈現自招考題

在選定講評的自招考題之后，教師需要精心設計成不同題組，然后漸次呈現，有序推進學程.這時對題組改編與歸類重組顯現了教師命題基本功，因為教師需要基于之前對自招考題的關鍵步驟的理解，將關鍵步驟簡化為絕大多數學生都能求解的基礎問題最先呈現給學生思考，然后再漸次出現增加解題層次的變式題組，最后再讓學生拾級而上，自主挑戰較難的自主招考難題，這樣由易到難的題組設計是解題教學獲得較好效益的重要保證.

四、寫在后面

作為教師，應有一些責任擔當，比如教師自己要“先下題海”，在深入鉆研、篩選出一些優秀考題之后，歸類呈現、改編題組，研發成一些主題聚焦的優秀教案，然后帶領學生共同研習，在“一課一得”的追求下對相關主題的理解求深、悟透，促進學生舉一反三、提升學力.

參考文獻：

[1]張煒鈺.“根的判別式”：無處不在又神通廣大——以一節高中自招考試專題復習課為例[J].中學數學，2018（10）：33-34.

[2]朱玫瑰.明辨特殊與一般，感悟數學小用與大用——由兩道高中自主招考題說起 [J].中學數學（初中），2017：69-70.

[3]劉鈺.探究奇妙的“黃金三角形”——基于微課理念下的教學設計與思考[J].中學數學，2018（20）：8-9.

[責任編輯：李 璟]