對2020年新課標Ⅰ卷壓軸題的解法探究

劉彥永

摘 要：對2020年新課標Ⅰ卷文科第21題進行了試題分析、解法探究，旨在掌握這類試題的解題策略.

關鍵詞：高考試題;壓軸題;定點;解法探究

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0050-03

2020年高考新課標Ⅰ卷文科第21題，引起了筆者的深入探索和思考.題目如下：

已知A、B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，AG·GB=8，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過定點.

一、試題分析

本題也是2020年高考全國1卷理科第20題，考查了曲線的方程和圓錐曲線中直線過定點問題.問題由淺入深，對計算難度、思維深度的要求逐步提高.考查學生的推理論證能力和代數運算能力.考查層次分明、區分度較高，能使學生充分展示理性思維的廣度和深度和數學核心素養.

二、解法探究

本題第（2）問的解法很多，不同的解圖1法體現不同的思維層次和思考角度，要求學生要有一種勇于探索、敢于實踐的精神.

解析 （1）根據題意作圖如下：

由橢圓方程E：x2a2+y2=1（a>1）可得A-a，0， Ba，0，G0，1，故AG=a，1，GB=a，-1，因此AG·GB=a2-1=8，所以a2=9，橢圓方程為x29+y2=1.

下面對第二問深入探討：

解法1 設點表線解決問題

（2）證明：設P6，t，則直線AP的方程為

y=t9x+3.

聯立直線AP的方程與橢圓方程可得

x29+y2=1y=t9x+3，

整理得

t2+9x2+6t2x+9t2-81=0，

解得x=-3或x=-3t2+27t2+9

將x=-3t2+27t2+9

代入直線y=t9x+3，

可得y=6tt2+9，

所以點C的坐標為-3t2+27t2+9，6tt2+9，同理點D的坐標為3t2-3t2+1，-2tt2+1.

當直線CD斜率不存在時，即-3t2+27t2+9=3t2-3t2+1，解得t2=3，此時直線CD的方程為x=32.

當直線CD斜率存在時，直線CD的方程為y--2tt2+1=6tt2+9--2tt2+1-3t2+27t2+9-3t2-3t2+1x-3t2-3t2+1，

整理得y+2tt2+1=8tt2+369-t4x-3t2-3t2+1=8t63-t2x-3t2-3t2+1，即y=4t33-t2x+2tt2-3=4t33-t2x-32

綜上所述，直線CD恒過定點32，0.

點評 對滿足一定條件曲線上兩點連結所得直線過定點問題，設該直線上兩點的坐標，建立點的坐標滿足的方程，求出相應的直線，然后再說明直線過定點.

解法2 設點設線解決問題

設P6，t、C（x1，y1）、D（x2，y2），直線CD方程為x=ty+n（-3<n<3），則由x29+y2=1x=ty+n知（t2+9）y2+2tny+n2-9=0，

y1+y2=-2tnt2+9，y1y2=n2-9t2+9（*）

由三點共線知y1=t9（x1+3），y2=t3（x2-3），

即y21=t281（x1+3）2，y22=t29（x2-3）2.

由C（x1，y1）、D（x2，y2）在橢圓x29+y2=1上，知y21=1-x219，y22=1-x229.故y21y22=（x1+3）29（x2-3）=9-x219-x22，

整理得4x1x2-15（x1+x2）+36=0，

即4（ty1+n）（ty2+n）-15（ty1+ty2+2n）+36=0，

結合（*）式整理有2n2-15n+18=0，解得n=6（舍）或n=32，直線CD方程為x=ty+32，故直線CD恒過定點32，0.

點評 解法2巧妙利用坐標的平方，再結合點在橢圓上處理問題，這就是曲線代換，2011年四川理科高考圓錐曲線題就可以用曲線代換解決.反設直線也避免了討論斜率是否存的情況，事實上，先討論斜率不存在，再設直線CD方程為y=kx+m解決問題也會有巧妙處理技巧，在此不贅述.

解法3 整體法解決問題

同解法2可知，2tny1y2=（9-n2）（y1+y2）（**）

由三點共線知y1=t9（x1+3），y2=t3（x2-3），y1y2=x1+33（x2-3）=ty1+n+33（ty2+n-3）

整理得2ty1y2+3（n-3）y1-（n+3）y2=0，結合（**）式有

（2n2-9n+9）y1+（-2n2-3n+9）y2=0，

故2n2-9n+9=0-2n2-3n+9=0，解得n=32.

直線CD方程為x=ty+32，故直線CD恒過定點32，0.

點評 解法3利用韋達定理很難處理，然而利用（**）式進行替換，利用整體法就很巧妙地解決了問題.這種代數變形的技巧需要積累多了才能用得靈活.

解法4 先猜后證解決問題

證明：根據已知條件的特征和橢圓的對稱性，可以猜想到該定點一定在x軸上.

同解法1得到點C-3t2+27t2+9，6tt2+9、D3t2-3t2+1，-2tt2+1.

當直線CD斜率不存在時，得t2=3，

此時直線CD的方程為x=32，過x軸上點M32，0.

當直線CD斜率存在時， MC=-9t2+272（t2+9），6tt2+9，MD=3t2-92（t2+1），-2tt2+1，

由-9t2+272（t2+9）·-2tt2+1-6tt2+9·3t2-92（t2+1）=0，知MC與MD共線，即直線CD過定點M32，0.綜上所述，直線CD恒過定點32，0.

點評 面對復雜問題時，可從特殊情況入手，以確定可能的定點，然后再驗證該點對一般情況是否符合.解法2利用先猜后證思想，不失為破解此類未知問題的一個巧妙方法.事實上，解答過程也可利用kMC=kMD證明直線CD恒過定點32，0.

解法5 參數方程解決問題

設P6，t、C3cosα，sinα、D3cosβ，sinβ.

當t≠0時，由P、A、C三點共線知sinα3cosα+3=t9，由P、B、D三點共線知sinβ3cosβ-3=t3，故3sinα3cosα+3=sinβ3cosβ-3，即3sinα（cosβ-1）=sinβ（cosα+1），利用二倍角公式有cosα2cosβ2=-3sinα2sinβ2.直線CD的方程為

y-sinα=sinβ-sinα3cosβ-3cosα（x-3cosα），令y=0有

x=3sin（β-α）sinβ-sinα=6sinβ-α2cosβ-α2-2sinα-β2cosα+β2=3cosβ-α2cosα+β2

=3（cosα2cosβ2+sinα2sinβ2）cosα2cosβ2-sinα2sinβ2=32

故直線CD過定點32，0.

當t=0時，直線CD的方程為y=0，也過點32，0.

綜上所述，直線CD恒過定點32，0.

點評 利用參數方程巧妙地用一個參數表示出橢圓上點的坐標，結合三角函數公式快速解決問題.2010年陜西、遼寧、寧夏高考圓錐曲線解答題均可用參數方程解決.

解法6 極點極線解決問題

設P6，t，則點P的極線為23x+ty=1.因為直線CD與直線AB的交點必在點P的極線上，此點就是32，0，也就是直線CD恒過的定點.

點評 基于高等數學的極點和極線知識命題是命題人的一個常見思路，這在全國各地的考題中屢見不鮮.盡管此法簡潔，但不宜作為解答題的解法，也不建議教師突出本解法而沖淡常規解法.值得一提的是本題的第（2）問與2010年江蘇高考試題18題第（3）問本質完全一樣，幾乎就是“撞衫”題.

圓錐曲線中的定點問題必然是在變化中所表現出來的不變的量，那么就要用變化的量表示目標量，目標量不受變化的量所影響的那個點就是要求的定點.化解這類問題難點的關鍵就是引進變的參數表示目標量，根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量.

圓錐曲線解答題主要考察學生的運算能力，因此在備考過程中要培養學生敢想、會算、有信心能算對.這就要求教師首先對試題的解法深入的探究，然后在教學中踐行所掌握的知識技能和思想方法，最后使學生的思維更廣闊、思想更深刻.

參考文獻：

[1]王尚志.如何在數學教育中提升學生的數學核心素養[J].中國教師， 2016（9）：33-38.

[2]韓毅，蔣曉東.橢圓的極點極線性質及推論[J].中學數學研究，2019（5）：2-5.

[責任編輯：李 璟]