在三角求值問題時要注意角的取值范圍

田素偉

摘 要：三角函數求值問題是三角函數問題中常見的題型之一，本文以例說法，并對三角求值問題時角的范圍進行了警示.

關鍵詞：三角函數;求值問題;取值范圍

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0052-02

在三角求值問題時很多同學由于忽略角的取值范圍或是求錯了角的取值范圍而導致解題錯誤，如何能在解決這類三角求值問題時正確把握角的角的取值范圍哪？下面就這個問題，舉例說明：

例1 在銳角△ABC中，a、b、c分別是三角形內角A、B、C的對邊，若B=2A，求ba取值范圍.

解 由正弦定理

a=2RsinA、b=2RsinB可知，

ba=sinBsinA=sin2AsinA=2cosA

∵△ABC是銳角三角形且B=2A.

∴0<A<π20<B<π20<C<π2 ∴0<A<π20<2A<π20<π-3A<π2

∴π6<A<π4

由三角函數性質可知cosπ4<cosA<cosπ6

∴2<2cosA<3

2<ba<3

評析 邊化為角時常用正弦定理，本題要充分挖掘尋找題中角的限制條件，求出角A的取值范圍，很多學生常忽略角C的取值范圍，要注意銳角三角形中三個內角都是銳角這一條件.

例2 設函數f（x）=sin（2x+φ）（0<φ<π），已知對任意x∈R，

都有，f（x）≤f（π8）

（1）求函數y=f（x）的解析式并寫出其單調遞增區間;

（2）若x為△ABC的最小內角，求函數y=f（x）的值域.

解 （1）由題設條件知f（π8）就是函數f（x）的最大值所以2×π8+φ=π2+2kπ，解得φ=π4+2kπ（k∈Z）

又由0<φ<π，所以φ=π4，所以f（x）=sin（2x+π4）

由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2，

解得kπ-38π≤x≤kπ+π8，

即函數y=f（x）的單調遞增區間是[kπ-38π，kπ+π8]（k∈Z）

（2）因為x為△ABC的最小內角，因為x是△ABC的最小內角，

∴0<x≤A0<x≤B0<x≤C，

∴0<3x≤A+B+C

又A+B+C=π，所以0

∴fx=sin2x+π40<x≤π3

因為0

所以6-24=sin1112π≤sin（2x+π4）≤sinπ2=1

所以函數y=f（x）的值域是[6-24，1]

評析：本題中要明確△ABC的最小內角的取值范圍，很多學生由于不理解最小內角的取值范圍的推導，經常記錯△ABC的最小內角的取值范圍，本題考察在明確△ABC的最小內角的取值范圍的前提下求給定區間的三角函數的最值和三角函數的性質.

例3 在銳角三角形ABC中，若tanA=t+1，tanB=t-1，求t的取值范圍.

解 由已知條件可知tanA>0tanB>0tanC>0，

而tanC=-tan（A+B）=-tanA+tanB1-tanAtanB=-t+1+t-11-t+1t-1=-2t2-t2

∴t-1>0t+1>0-2t2-t2>0∴t>;2

評析 很多學生容易忽略角C的取值范圍即tanC>0這一隱含條件導致解題錯誤.

要注意銳角三角形中三個內角都是銳角這一條件.

下面給出3道練習題，請同學練習

1.設銳角三角形ABC的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且bcosC=（2a-c）cosB.

（1）求角B的大小;

（2）求sinA+sinC的取值范圍.

2.銳角△ABC中已知兩邊a=1，b=2，則第三邊c的取值范圍是

.

3.鈍角三角形三邊長為a，a+1，a+2，最大內角不超過120°，則a范圍是.

簡答：

1.解 （1）由條件及正弦定理得：

sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB.

則sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，

∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinASymbolyB@0，

∴cos=12，又0<B<SymbolpA@，

∴B=π3.

（2）由A+B+C=SymbolpA@及B=π3，得C=2π3-A.又SymbolDA@ABC為銳角三角形，

∴0<A<π20<2π3-A<π2，

∴π6<A<π2.

而sinA+sinC=sinA+sin（2π3-A）=32sinA+32cosA=3sin（A+π6）.

又A+π6SymbolNC@（π3，2π3），∴sin（A+π6）SymbolNC@（32，1]，

∴sinA+sinCSymbolNC@（32，3].

2.c2=5-4cosC∈（1，5），又B<90°，∴cosC>0，

∴c2>3，∴c∈（3，5）

3.長度a+2所對角最大，設為θ，則90°<θ≤120°，則-12≤cosθ<0，cosθ=a2+（a+1）2-（a+2）22a（a+1）

參考文獻：

[1]周怡明，陳國林.常見的三種三角函數值域的求法[J].數理化解題研究，2019（31）：43.

[責任編輯：李 璟]