同角函數(shù)多姿多彩 平方關(guān)系魂牽夢縈

杜龍安 陳國林

摘 要：三角恒等變換公式繁多，內(nèi)容繁雜，要想熟練掌握各個公式的變換，首先必須掌握同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系.

關(guān)鍵詞：同角函數(shù);平方關(guān)系;商除關(guān)系

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0007-03

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系主要包含商數(shù)關(guān)系：tanα=sinαcosα（α≠kπ+π2，k∈Z）和平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1（α∈R），商數(shù)關(guān)系能夠?qū)⒄泻瘮?shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)建立等式關(guān)系，實現(xiàn)弦切互化，平方關(guān)系對任意的角度都成立，這兩個基本關(guān)系是解決恒等變換的必要公式.

一、真題再現(xiàn)

例題 （2015福建卷）若sinα=-513，α為第四象限角，則tanα的值等于（）.

A.125 B.-125 C.512 D.-512

解析 解法一 因為sinα=-513，α為第四象限角，所以cosα=1-sin2α=1213，故tanα=sinαcosα=-512.

解法二 通過畫直角三角形

先不考慮象限對三角函數(shù)的影響，由sinα=-513，可知直角三角形的另一直角邊為12，故tanα=512，下面考慮tanα值的正負(fù)，因為α為第四象限角，所以tanα=-512

二、真題變式

變式1 若tanα=512，α為第三象限角，則cosα的值等于（）.

A.-1213 B.-513 C.513 D.1213

解析 因為tanα=sinαcosα=512，sin2α+cos2α=1，解得cosα=±1213，又α為第三象限角，所以cosα=-1213.

變式2 若tanα=-12，且cosα<0，則sin（π+α）=（）.

A.-55 B.-255 C.55 D.255

解析 ∵tanα=-12，∴α為第二或第四象限角，又cosα<0，∴α為第二象限角，

由sinαcosα=-12sin2α+cos2α=1，解得sinα=55cosα=-255.

∴sin（π+α）=-sinα=-55.

變式3 若tanα=512，則2sinα-3cosα4sinα-9cosα=.

解析

2sinα-3cosα4sinα-9cosα=2tanα-34tanα-9=2×512-34×512-9=-1344

變式4 若sinα+cosα=15，α∈（-π，0），則sinα-cosα=.

解析 由sinα+cosα=15，

平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=125，

整理得2sinαcosα=-2425.

∴（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=4925.

由α∈（-π，0），知sinα<0，

又sinα+cosα>0，

∴cosα>0，則sinα-cosα<0，

故sinα-cosα=-75.

三、解法歸納

1.同角三角函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用的注意事項

（1）同角并不拘泥于角的形式，如sin2α2+cos2α2=1，sin3xcos3x=tan3x（3x≠kπ+π2，k∈Z）都成立，但是sin2α+cos2β=1就不一定成立;

（2）對于含有sinα，cosα的齊次式，可根據(jù)同角三角函數(shù)商的關(guān)系，通過除以某一齊次項，轉(zhuǎn)化為只含有正切的式子，即化弦為切，整體代入.

2.同角三角函數(shù)關(guān)系式的方程思想

對于sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα這三個式子，知一可求二，轉(zhuǎn)化公式為（sinα±cosα）2=1±2sinαcosα，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.

四、針對演練

1.若tanα=3，則sin2αcos2α的值等于（）.

A.2B.3C.4D.6

解析 sin2αcos2α=

2sinαcosαcos2α=2tanα=2×3=6.

故選D.

2.（多選題）若α是第二象限的角，則下列各式中一定成立的是（）.

A.tanα=-sinαcosαB.1-2sinαcosα=sinα-cosα

C.cosα=-1-sin2αD.1+2sinαcosα=sinα+cosα

解析 由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，知tanα=sinαcosα，故A錯誤;

因為α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以sinα-cosα>0，sinα+cosα的符號不確定，所以1-2sinαcosα=（sinα-cosα）2=sinα-cosα，故B、C正確，D錯誤.

故選：BC.

3.（2013華僑、港澳臺高考）已知tanx=2aa2-1，其中常數(shù)a∈（0，1），且x∈（0，π），則cosx=（）.

A.-2aa2+1 B.2aa2+1 C.a2-1a2+1 D.-a2+1a2+1

解析 ∵tanx=2aa2-1<0，其中0<a<1，x∈（0，π），

∴x 為鈍角，

又cos2x=1sec2x=11+tan2x=（a2-1）2（a2+1）2，

∴cosx=a2-1a2+1，故選C.

4.（2021屆寧夏銀川一中月考）1626年，阿貝爾特格洛德最早推出簡寫的三角符號：sin、tan、sec（正割），1675年，英國人奧屈特最早推出余下的簡寫三角符號：cos、cot、csc（余割），但直到1748年，經(jīng)過數(shù)學(xué)家歐拉的引用后，才逐漸通用起來，其中secθ=1cosθ，cscθ=1sinθ.若α∈（0，π），且3cscα+2secα=2，則tanα=（）.

A.513B.1213C.0D.-125

解析 由3cscα+2secα=2，得3sinα+2cosα=2，

又sin2α+cos2α=1，

聯(lián)立解得sinα=0cosα=1（舍）或sinα=1213cosα=-513，

∴tanα=sinαcosα=-125.故選D.

5.（20201屆黑龍江實驗中學(xué)月考）已知tanα=2，則sin2α-cos2α+12sin2α+cos2α等于（）.

A.89 B.119 C.67 D.47

解析 ∵tanα=2，sin2α+cos2α=1，

∴sin2α-cos2α+12sin2α+cos2α=2sin2α2sin2α+cos2α=2tan2α2tan2α+1=2×222×22+1=89.

故選A.

6.（2018華僑、港澳臺高考）已知α為第二象限的角，且tanα=-34，則sinα+cosα=（）.

A.-75 B.-34 C.-15 D.15

解析 tanα=sinαcosα=-34，①

sin2α+cos2α=1，②

又α為第二象限的角，

∴sinα>0，cosα<0，

聯(lián)立①②，解得sinα=35，cosα=-45，

則sinα+cosα=-15.

故選C.

7.（2020云南昆明一中月考）已知角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=3x上，則cosα+sinαcosα-sinα=（）.

A.-2B.-1C.1D.2

解析 由已知可得，tanα=3，則cosα+sinαcosα-sinα=1+tanα1-tanα=1+31-3=-2.

故選A.

8.（2021屆重慶八中段考）已知α∈（π，2π），tanα=-34，則cosα=.

解析 ∵α∈（π，2π），且tanα=-34，∴α∈（32π，2π），則cosα>0，

由sinαcosα=-34sin2α+cos2α=1，解得sinα=-35，cosα=45.

參考文獻：

[1]彭樹德.“新教材解讀”之（11）——三角恒等變換[J]. 數(shù)學(xué)通訊：教師閱讀， 2009（06）：1-4.

[2]陳國林.解決三角恒等變形問題六種法則[J].教學(xué)考試，2017（38）：51-53.

[責(zé)任編輯：李 璟]