一道得分很低的高考概率題引發的思考

蔡海濤 盧妮 卓曉萍

摘 要：文章對一道得分較低的高考題錯因分析，從幾個角度探析了幾種不同的解題方法，對加強學生解決概率問題的能力進行一定的探討.

關鍵詞：高考題;錯因分析;教學啟示

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0010-03

2020年的高考已落下帷幕，一道道賞心悅目的高考試題讓人回味無窮.其中，全國卷Ⅰ理科第19題得分率很低.據某省高考評卷點統計，該題得分為所有解答題中得分最低，比第21題的函數導數壓軸題還低.筆者訪談部分考生，這道題能夠完整作答的寥寥無幾，這一現象引發筆者的思考.

一、試題呈現

（2020年高考全國卷Ⅰ·理19）（下稱題1）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰;當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為12，

（1）求甲連勝四場的概率;

（2）求需要進行第五場比賽的概率;

（3）求丙最終獲勝的概率.

二、試題分析

本題以三人的羽毛球比賽為載體，考查概率中事件的概念、事件的獨立性和事件概率的計算等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力和應用意識，考查分類與整合、統計與概率數學思想，考查邏輯推理、數學建模等核心素養，體現基礎性、應用性和創新性.

第（1）問根據獨立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率，這一問比較簡單，大部分考生都能輕松求解.低起點的第一步有利于穩定考生的心態，更有信心去解決后續的問題;第（2）問計算出四局以內結束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率;第（3）問列舉出甲贏的基本事件，結合獨立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.本題第（2）、（3）問易錯點在于對基本事件考慮問題不清、分類標準不明.解題關鍵在于先分析題意，理解比賽規則，合理確定分類討論標準.

三、解法分析

解法一 （1）記事件M為

甲連勝四場，則PM=124=116;

（2）記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，則四局內結束比賽的概率為

P′=PABAB+PACAC+PBCBC+PBABA=4×124=14，

所以，需要進行第五場比賽的概率為P=1-P′=34;

（3）記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，

記事件M：甲贏，記事件N：丙贏，則甲贏的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、

BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，

所以，甲贏概率為

PM=124+7×125=932.

由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為PN=1-2×932=716.

評注 這個解答是官方提供的唯一解答，簡捷明了，但由某省高考評卷點反饋，第（2）問、第（3）問能夠這樣解答的考生寥寥無幾.這種解答的關鍵是準確列舉出符合條件的基本事件，這要求考生能合理抽象數學模型，合理利用文字語言與符號語言或圖形語言之間的轉化，分析基本事件的類型，做到不重不漏，考查考生分類與整合的數學思想.

解法二 （1）同解法一.

（2）需要進行第五場比賽，即勝者必然要輸一場.

于是先考慮對立事件：最終勝者全勝分三類（注意到甲、乙具有對稱性）

最終甲勝按輸者排序：乙丙乙丙;最終乙勝按輸者排序：甲丙甲丙;

最終丙勝按輸者排序：甲乙甲乙;乙甲乙甲.

四場結束比賽的概率為：

4×124=14.

故進行第五場比賽的概率為

1-4×124=34.

（3）丙獲勝情況分為兩類：比賽場次4場或5場.

情況一：比賽4場，按輸者排序： 甲乙甲乙; 乙甲乙甲;此時，丙勝的概率為2×124=18.

情況二：比賽5場，則丙輸一場（注意到甲、乙具有對稱性，先考慮第一場甲贏）

第二場輸按輸者排序：

乙丙甲乙甲;乙丙乙甲甲;

第三場輸按輸者排序：

乙甲丙乙甲;乙甲丙甲乙;

第四場輸按輸者排序：

乙甲乙丙甲

此時，丙勝概率為2×5×125=516.

綜上，丙勝的概率為18+516=716.

評注 解法二是利用列舉法列舉出符合條件的基本事件.求古典概型的概率很重要的一步是列舉基本事件，對于一些情況比較復雜、數據較大時，“列舉”稍有疏忽，就會出現遺漏.列舉法的關鍵在于如何確定分類討論的標準，由此揭示基本事件的構成規律，若能抓住這個規律列舉就不難了.如第（2）問、（3）問分別以“最終勝者全勝”、“丙獲勝情況”做為分類討論標準.

解法三根據失敗者的特點，可列出每場失敗者的情況如下表：

根據上表解答本題如下：

（1）P1=124=116;

（2）只需進行四場比賽的概率為：

2×2×124=14，

所以需要進行第五場比賽的概率為

P2=1-14=34;

（3）比賽四場結束且丙最終獲勝的概率為

2×124=18;比賽五場結束且丙最終獲勝的概率為2×5×125=516，故丙最終獲勝的概率為18+516=716.

評注 解法三首先分析題意，理解比賽規則.由規則知至少需要進行四場比賽，至多需要進行五場比賽，每場比賽失敗者的情況有如下特點：首場比賽失敗者是甲或乙;前四場比賽不出現連續兩場比賽是同一個失敗者;若僅進行四場比賽就決出最終獲勝者，則兩個失敗者必是交替失敗的.考生若能分析以上特點，則可列出每場失敗者，從而掌握比賽可能出現的情況，進而解決問題.

四、教學啟示

1.似曾相識燕歸來

由于題1得分很低，筆者關注此類試題，發現近年高考出現類似試題，如：

（2019年高考全國卷Ⅱ·理19） 11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發球時甲得分的概率為0.5，乙發球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立.在某局雙方10∶10平后，甲先發球，兩人又打了X個球該局比賽結束.

（1）求P（X=2）;

（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

由此，不難發現近年高考數學卷多次設計以體育運動為問題情境的試題，體現了高考積極的育人導向作用，傳達著“野蠻其體魄，文明其精神”的體育意識，充分落實“五育并舉”的精神.

2.咬定青山不放松

縱觀近五年（2015年-2019年）全國卷Ⅰ理科卷概率統計解答題，均是概率與統計相結合，各地的高三質檢卷、模擬卷在概率題考查上大都也是以這種形式呈現，考生在應試時發現試題不是平時的套題，從而造成緊張畏難情緒，因此得分較低.當前高考力求創新，落實了從“能力立意”到“素養導向”的轉變，考查了考生的數學素養.這就給那些高三復習搞“忽視教材、追蹤熱點、題海戰術”備考策略的教師敲響了警鐘，啟示我們在高考備考時要穩扎穩打，關注過程性教學，在思想的高度上去引領方法，去領會、感悟分析問題和解決問題的能力.

我們認為每一個知識板塊都有可能成為“壓軸題”的載體，所以在復習備考時，我們反對“猜題押寶”，只有夯實基礎，理清知識體系，提升學生能力，才能應對強調創新的新高考，才能做到以不變應萬變，笑傲考場.

3.不畏浮云遮望眼

“中國高考評價體系”明確指出：高考考查要求應體現“基礎性、綜合性、應用性、創新性.”概率問題聯系十分廣泛，來源于實際，又服務于實際生活，因此在高考試卷中常承擔著考查考生應用數學知識解決實際問題能力的角色.近幾年的高考概率統計題中，愈發明顯的突出理論聯系實際的導向.考生答題過程中，普遍感覺困難，原因在于讀不懂題目，不熟悉題目背景，缺乏語言轉換能力，不了解概率統計等基本概念的實際意義.

因此，教師要引導學生注重題意分析，提高數學閱讀分析能力，把好“讀、審、析”三關.即“讀”：文字信息，圖表信息，初步了解考查的知識點;“ 審”：結合考查目標，理解圖文的內在含義;析：整合有效信息，理清數據關系.還有，教師要關注生活背景、社會現實、經濟建設、科技發展等多個方面，從中提煉出具有社會價值的數學應用背景，注重培養學生善于從普通語言中捕捉信息、將普通語言轉化為數學語言的能力，使學生能以數學語言為工具進行數學思維與數學交流，再利用有關的數學知識加以解決.還有，由題1的三種解法可以發現解法三簡單明了，學生通俗易懂，可見構建表格可以將復雜問題簡單化，便于發現問題的規律，列出基本事件的可能情況.“文不如列、列不如表”，表格既具有圖形語言的直觀性，又兼有符號語言的簡潔性，更具有文字語言的通俗性.因此，借助構建表格，剖析結構特征，使問題迎刃而解.

參考文獻：

[1]蔡海濤，陳清華.落實“五育并舉” 突出理性思維———對2020年高考部分數學卷的研究[J].福建教育，2020（32）：32-35.

[2]趙軒，任子朝.高考概率統計試題考查目標的沿革與實現[J].數學通報，2019（10）：39-43.

[3]王淼生，張潔.構建表格剖析結構巧妙獲解[J].中學數學研究，2019（4）：9-11.

[責任編輯：李 璟]