高考中解三角形常考題的分類例析

范習昱

摘 要：解三角形內容在各省高考中是基礎內容，也是必考內容，是考生的得分基礎.筆者精選部分高考題，加以分類例析，總結出求解此類問題的規律，希望對讀者有所啟發.

關鍵詞：解三角形;高考題;分類例析

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0026-04

在高考中，相比其它知識點，對于解三角形這一內容來說，其常考題型和考查方式相對較為固定，難度也不算太大，是考生的基礎得分處，其重要性不言而喻.在我的教學實踐中，卻總發現很多學生依然顯得頗為困難，失分嚴重.在近十年的各地的高考試卷中，特精選了部分經典的高考題加以分類例析，從此類問題的常規解題思路出發，分析和總結了一些具有規律性的東西，希望對讀者有幫助.

一、求解三角形中的角與邊或其它相關要素

例1 △ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若

c=2，b=6，B=60°，則C=.

解析 由已知B，b，c

求C可聯想到使用正弦定理：

bsinB=csinCsinC=csinBb，代入可解得：

sinC=12.

由c<b，可得：C<B=60°，所以C=30°.

例2 已知a，b，c

分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，且有

acosC+3asinC-b-c=0.

（1）求A;

（2）若a=2，且△ABC的面積為3，求b，c.

解析 （1）acosC+3asinC-b-c=0

sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0

sinAcosC+3sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0

sinAcosC+3sinAsinC-sinAcosC-sinCcosA-sinC=0

即3sinA-cosA=12sin（A-π6）=1

sin（A-π6）=12

∴A-π6=π6或A-π6=5π6（舍），∴A=π3.

（2）S△ABC=12bcsinA=3bc=4，

a2=b2+c2-2bccosA4=b2+c2-bc，

∴b2+c2-bc=4bc=4b2+c2=8bc=4，可解得b=2c=2.

例3 設△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且a=3，那么△ABC外接圓的半徑為（）.

A.1B.2C.2D.4

解析 因為（a+b+c）（b+c-a）=3bc，所以（b+c）2-a2=3bc，化為b2+c2-a2=bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=12，又因為A∈（0，π），所以A=π3，由正弦定理可得2R=asinA=332=2，所以R=1，故選A.

反思總結

求解三角形的某個角或者邊，是高考中解三角形常考題型中最為基礎的一類，難度一般不大，主要考查正余弦定理的直接應用，解題的關鍵在與邊角的合理互化，出現多解要注意檢驗取舍.一些高考題中還會考查三角形的外接圓的半徑或者面積公式，但學生只要用對公式，有一定的轉化能力還是可以順利求解的.

練一練A：

1.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=23，c=22，1+tanAtanB=2cb，則∠C=（）.

A.π6 B.π4 C.π4或3π4 D.π3

2.如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，

∠ADC=60°，AB=27，BD=4.

（1）求△ABD的面積.

（2）若∠BAC=120°，求AC的長.

練一練A答案：

1.利用正弦定理，同角三角函數關系，原式可化為：1+sinAcosBcosAsinB=2sinCsinB，

去分母移項得：sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，所以

sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，所以cosA=12.由同角三角函數得sinA=32.

由正弦定理：asinA=csinC，解得sinC=22，所以∠C=π4或3π4（舍），故選B.

2.（1）由題意，∠BDA=120°

在△ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos120°

即28=16+AD2+4ADAD=2或AD=-6（舍），

∴△ABD的面積S=12·DB·DA·sin∠ADB=12×4×2×32=23.

（2）在△ABD中，由正弦定理得

ADsinB=ABsin∠BDA，代入得sinB=2114，由B為銳角，故cosB=5714，

所以sinC=sin（60°-B）=sin60°cosB-cos60°sinB=217，在△ADC中，由正弦定理得ADsinC=ACsin∠CDA，∴2217=

AC32，解得AC=7.

二、判斷三角形的形狀

例4 在

△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，若c=2acosB，則三角形一定是（）.

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

解析 ∵c=2acosB，由正弦定理c=2RsinC，a=2RsinA，∴sinC=2sinAcosB

∵A，B，C為△ABC的內角，∴sinC=sin（A+B），A，B∈（0，π），

∴sin（A+B）=2sinAcosB，sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，整理得sin（A-B）=0，

∴A-B=0，即A=B.故△ABC一定是等腰三角形.故選C.

例5 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b2+c2=a2+bc，若sinB·sinC=sin2A，則△ABC的形狀是（）.

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等邊三角形D.腰直角三角形

解析 因為sinB·sinC=sin2A，所以b2R·c2R=（a2R）2，也就是a2=bc，所以b2+c2=2bc，從而b=c，故a=b=c，△ABC為等邊三角形.故選C.

反思總結

判斷三角形的形狀是高考中解三角形中常見的題型，頻率很高，由于都是涉及三角形的核心知識并且起點低深受命題者的青睞.解題的關鍵是將題目的條件一般是含有邊和三角函數方程統一為邊或者角的形式，再進行化簡就可以判斷出來.值得注意的是，這類題往往會結合三角恒等變換，比如兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式等等，這對考生的三角恒等變換能力提出了很高的要求.

練一練B：

1.△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c且滿足acosB-bcosA=c，則△ABC是（）.

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

2.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若acosA=bcosB=ccosC，則△ABC是（）.

A.直角三角形B.鈍角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

練一練B答案：

1.解析 利用正弦定理asinA=bsinB=csinC化簡已知的等式得：

sinAcosB-sinBcosA=sinC，即sin（A-B）=sinC，

∵A，B，C為三角形的內角，∴A-B=C，即A=B+C=π2，

則△ABC為直角三角形，故選B.

2.解析 ∵acosA=bcosB=ccosC，由正弦定理得：a=2R·sinA，b=2R·sinB，c=2R·sinC代入得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，∴進而可得

tanA=tanB=tanC，∴A=B=C，則△ABC是等邊三角形.故選D.

三、求解三角形中相關要素的最值或范圍

例6 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，c=22，b2-a2=16，

則角C的最大值為.

解析 在△ABC中，由角C的余弦定理可知：

cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-b2-a222ab=3a2+b24ab≥32，

又因為0<C<π，所以Cmax=π6.

當且僅當a=22，b=26時等號成立.

例7 已知△ABC的三邊a，b，c成等比數列，a，b，c所對的角分別為A，B，C，則sinB+cosB的取值范圍是.

解析 ∵△ABC的三邊a，b，c成等比數列，

∴ac=b2=a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB，得cosB≥12

，

又∵0<B<π，∴B∈（0，π3]，B+π4∈（π4，7π12]，

可得sinB+cosB=2sin（B+π4）∈（1，2]，故答案為（1，2].

例8 在△ABC中三個內角∠A，∠B，∠C，所對的邊分別是a，b，c，若

（b+2sinC）cosA=-2sinAcosC，且a=23，則△ABC面積的最大值是.

解析 ∵（b+2sinC）cosA=-2sinAcosC，

∴bcosA=-2（sinCcosA+sinAcosC）=-2sin（A+C）=-2sinB，則bsinB=-2cosA，結合正弦定理得-2cosA=asinA=23sinA，即tanA=-3，∠A=23π.

由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=-12，化簡得b2+c2=12-bc≥2bc，故bc≤4，S△ABC=12bcsinA≤12×4×32=3，故答案為3.

練一練C：

1.在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數列，b=3，則△ABC面積的取值范圍是.

練一練C答案：

解析 ∵△ABC中A，B，C成等差數列，∴B=π3.

由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=3sinπ3=2，∴a=2sinA，c=2sinC，

∴S△ABC=12acsinB=34ac=3sinAsinC=3sinAsin（2π3-A）=3sinA（32cosA+12sinA）=

32sinAcosA+32sin2A=34sin2A+32·

1-cos2A2=

34sin2A-34cos2A+34=32sin（2A-π6）+34，

∵△ABC為銳角三角形，∴

0<A<π2，0<2π3-A<π2，解得

π6<A<π2，

∴π6<2A-π6<5π6，∴12<sin（2A-π6）≤1，

∴32<32sin（2A-π6）+

34≤334，故△ABC面積的取值范圍是（

32，334].

反思總結

求解三角形中邊、角或者面積等三角形相關要素的最值或范圍是高考解三角形題型的常考題型，也是讓學生感到較為困難的題型.解三角形題型的最值問題最為本質的方法是構建某個角的三角函數，再利用三角函數的圖象和性質求其最值或者范圍.有時也轉化為邊，這時可以利用基本不等式進行放縮求最值，但對于求范圍來說并不理想，這也是轉化為邊之后處理方式的最大弊端，在學生作業中經常會出現求解范圍不全的情況.彌補的方法是尋找邊之間的其它不等關系，比如三角形中任意兩邊之和大于第三邊等等一些邊之間的關系，再次利用不等式的性質進行放縮求最值.

四、基于解三角形的簡單綜合問題

例9 在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知m=a，c-2b，n=cosC，cosA，且m⊥n.

（1）求角A的大小;

（2）若b+c=5，△ABC的面積為3，求a.

解析 （1）由m⊥n，可得m·n=0，即2bcosA=acosC+ccosA，

即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosA=sinA+C，

∵sinA+C=sinπ-B=sinB，∴2sinBcosA=sinB，即sinB2cosA-1=0，

∵0<B<π，∴sinB≠0，∴cosA=12，

∵0<A<π，∴A=π3.

（2）由S△ABC=3，可得S△ABC=12bcsinA=3，∴bc=4，又b+c=5，

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b+c2-3bc=13，∴a=13.

例10 設f（x）=sinxcosx-cos2（x+π4）.

（1）求f（x）的單調區間;

（2）在銳角△ABC中，角A，B，C，的對邊分別為a，b，c，若f（A2）=0，a=1，求△ABC面積的最大值.

解析 （1）由題意f（x）=12sin2x-1+cos（2x+π2）2=12sin2x-12+12sin2x=sin2x-12.

由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ（k∈Z），可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ（k∈Z）;

由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ（k∈Z），得π4+kπ≤x≤3π4+kπ（k∈Z）;

所以f（x）的單調遞增區間是[-π4+kπ，π4+kπ]（k∈Z）;單調遞減區間是[π4+kπ，3π4+kπ]（k∈Z）.

（2）∵f（A2）=sinA-12=0，∴sinA=12，

由題意A是銳角，所以 cosA=32.

由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，

可得1+3bc=b2+c2≥2bc

∴bc≤12-3=2+3，且當b=c時成立.

∴12bcsinA≤2+34.∴△ABC面積最大值為2+34.

反思總結

三角函數綜合題有時以向量為背景進行命制，比如結合向量的坐標運算、向量垂直與平行的充要條件、向量的數量積等等，其本質依然是考察三角恒等變換或者三角函數的圖象和性質.對于這類問題，我們的基本策略是將向量條件等價轉化為三角條件，即關于三角形中邊角的三角方程或者表達式，然后依照案例的方法就可以解決.

練一練D：

1.在△ABC中，AB=7，BC=5，AC=6，則AB·BC等于（）.

A.19B.-19C.18D.-18

2.已知△ABC的面積為S，且AB·AC=S.

（1）求tan2A的值;

（2）若B=π4，CB-CA=3，求△ABC的面積S.

練一練D答案：

1.解析 ∵AB=7，BC=5，AC=6，

∴cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=72+52-622×7×5=1935，

AB·BC=AB·BC·cos（π-B）=7×5×（-1935）=-19.

故選B.

2.（1）設△ABC的角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c.

∵AB·AC=S，∴bccosA=12bcsinA，

∴cosA=12sinA，∴tanA=2.

∴tan2A=2tanA1-tan2A=-43.

（2）CB-CA=3，即AB=c=3，

∵tanA=2，0<A<π2，

∴sinA=255，cosA=55.

∴sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB

=255·22+55·22=31010.

由正弦定理知：

csinC=bsinBb=csinC·sinB=5，

S=12bcsinA=125·3·255=3.

參考文獻：

[1]陳國林.三角函數問題靈活多變，多維探究發散思維[J].廣東教育（高中版），2020（11）：22-24.

[責任編輯：李 璟]