數學核心素養之邏輯推理在課堂中的應用實例分析

葉珊

摘 要：對于核心素養的提升，不是增設課程增加課時專門培養，而是選取合適的教學案例作為載體，通過日常教學逐步滲透。本文以《導數壓軸題中的“取點”問題》為例，嘗試將邏輯推理能力的培養在課堂教學中落地。

關鍵詞：邏輯推理;“取點”問題;超越不等式

在高中階段數學主要有六大核心素養，邏輯推理是其中之一?！吨袊呖紙蟾妫?020）》中提出：邏輯思維能力是理性思維的重要體現，是數學學科考查的主旨。邏輯推理能力是一種有條件、有步驟、有根據的漸進式思維方式，對于高中數學有著重要意義，這項能力可以讓學生快速、有效地進行數學學習。筆者認為，對于核心素養的提升，不是增設課程增加課時專門培養，而是選取合適的教學案例作為載體，通過日常教學逐步滲透。本文以《導數壓軸題中的“取點”問題》為例，嘗試將邏輯推理能力的培養在課堂教學中落地生根。

一、預估學生思維水平——調動學生內在的思維能力

蘇聯心理學家維果茨基提出的“最近發展區”理論指出，在課堂上教師安排的思維活動量要充分和恰當。所以只有正確估計學生實際思維水平，才能讓學生自主地去搭建思維的腳手架，使學生積極地思考起來。

導數壓軸題中函數零點的個數及尋求函數零點存在區間的端點問題往往成為廣大師生的解題困惑和難點，尤其是通過“取點”來驗證零點存在，這個“點”的選取難道了許多考生，而參考答案上卻“神乎其神”，所以大部分學生都認為該問題太玄，找不到規律，不知從何下手。為切合學生實際的思維水平，在課堂引入環節，筆者設置了兩道題：

這兩題的設置，讓學生通過對問題進行觀察、比較、分析和概括，發現此類問題的根源不是“如何取點”而是“超越不等式的求解”，由此得到取點的一般方法：通過放縮等手段，把超越不等式恰當地轉化為可求解的一次不等式、二次不等式、簡單的指數不等式、簡單的對數不等式，即將“超越不等式”放縮為“可求的不等式”來實現“取點”。

二、展現問題解決的過程——訓練邏輯推理能力

邏輯推理能力的孕育——發現問題，邏輯推理能力的生命——提出問題，邏輯推理能力的生長——分析問題，邏輯推理能力的歸宿——解決問題。在教學中，教師要善于選擇典型例題，引導學生參與學習活動，探究知識的形成過程：提出問題、分析問題、轉化問題、發現結論、回顧解題、概括方法和模式等，進而培養學生發現、提出、分析和解決問題的能力。

為了激發師生的合作探究欲望，發現和提出有思維價值的問題，筆者選擇了“取點”問題的典型高考題（2016年全國I卷理21（1））：

[典例]已知函數有兩個零點，（1）求a的取值范圍。

展示某一位學生的部分解題過程：求導得。當a≤0時，不滿足題意（過程略），當a>0時，f（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，由于，，當x→-∞時，，所以當a>0時，f（x）有兩個零點，滿足題意。

通過以上解題過程讓學生探究以下三個問題：

（一）以上解題過程中，畫線部分證明不嚴謹，應該如何改進？

（二）取點的目的是什么？放縮的方向如何確定？

（三）放縮不等式中的哪個部分，才能達到取點的目的？放縮的度如何把握？

這三個問題的設置，分散難點，減緩坡度，讓學生的思維樂于呈現。通過問題串逐個突破“取點”問題的重點和難點，學生總結出以下三個關鍵點：1.證明零點個數需要借助于“零點存在性定理”進行嚴謹地證明;2.取點的目的：取x0<1，使得f（x0）>0，（為了使x0盡量小，我們不妨令x0<0）;放縮的方向：根據不等式的傳遞性，要求f（x）>0，就用“>”從左到右進行放縮;3.放縮ex為常數，轉化為可求解的不等式。

學生方法1：（放縮方法：將ex放縮為常數，轉化為一元二次不等式求解）

學生改進的第2種方法將問 題轉化為求解一個簡單的一元一次不等式，但是不等號的方向不確定，無法確認對于一切滿足條件的參數a所求的解集是否落在規定區間內，因此放縮失敗。學生思維的碰撞引發了新的思考：為什么改進2與改進1的放縮方法一樣，甚至放縮后的不等式更容易求解，可是卻放縮失敗呢？

[教師點撥]：f（x）的解析式由（x-2）ex和a（x-1）2兩項組成，（x-2）ex<0，a（x-1）2>0，要使得f（x）>0，a（x-1）2為主導項，若把主導項通過放縮變小，那么取點成功的概率就變小了，如：改進1保留了主導項中對正值起最大作用的二次項，放縮成功;改進2保留了對正值起較小作用的一次性，放縮失敗。因此在放縮前，需要預先估計一下放縮的主導項，不輕易放縮主導項，不過有時主導項不容易判斷，如果放縮失敗，則需要采用別的方式。

以上出現的學生解法是在課堂上自然生成的，學生解題思維方式的體現正好展示了解決“取點”問題的途徑、過程和方法，這樣才能真正達到訓練學生邏輯推理能力的目的。

三、反思總結——邏輯思維能力的突破口

數學教學是思維活動的教學，反思是思維活動的核心和動力。要活躍學生的思維，先要讓學生從常見的思維路徑去分析并解決問題，再從多角度進行對比分析，從反思中體會思想方法，總結解題規律，最后才能提高思維的深度和廣度。因此反思總結是培養邏輯思維能力的突破口。

經歷了兩名學生的成功的“取點”方法，筆者引導學生對“取點”問題進行小結：（一）取點步驟：1.規定取點區間;2.確定放縮方向;3.判斷放縮項;4.找到放縮方法（目的是為了使不等式可求解）;5.取不等式解集與規定區間交集內的點;（二）取點三個確保：1.確保參數能取到一切值;2.確保放縮后不等式可運算;3.確?！包c”落在規定區間內。

接著有學生提出質疑：參考答案取的點為比以上兩種答案簡潔，是怎么得出的呢？質疑之后會有創新，筆者馬上鼓勵學生們從不同的角度去觀察、分析、解決問題。學生提出在“取點”基本步驟不變的情況下，要得出不同的結果，就在于使用不同的放縮的方法。于是學生們進行以下不同的嘗試：

在課堂教學中，應注意培養學生質疑、反思、總結的思維習慣，使其具備良好的數學思維品質。

四、變式訓練——鞏固提升邏輯推理能力

明確了邏輯推理的方向和規律，接下來就是構建一條始于已知、終于結論的自主演繹的路徑，然后將思維轉化為數學符號語言，以嚴謹的推導來驗證這條路徑的正確性。讓學生進行有計劃、有目的進行思維和推導的訓練，才能掌握嚴密的邏輯推理技巧，以鞏固和提升邏輯推理能力。因此，本節課筆者設計了以下兩個變式訓練：

[變式1]（2017年全國I卷理21（2））已知函數，（2）若f（x）有2個零點，求a的取值范圍。

展示解題的部分過程：當a≤0時，f（x）在R上單調遞減，不合題意;當a>0時，f（x）在上單調遞減，在上單調遞增;則解得0

該變式是為了打破學生的定勢思維，培養學生分析和解決問題的能力，教學過程中可以讓學生說明為什么不對ex進行放縮，轉化為一元二次方程。（理由：①由于函數f（x）中e2x的系數a>0，ex的系數a-2<0，所以無法朝同一個方向放縮;②ae2x為主導項，不宜放縮;③x項放縮為ex后，提出公因數ex，可轉化為只含指數的簡單不等式）。通過分析能強化鞏固前面所總結出的取點規律。

總而言之，邏輯推理能力的培養不是朝夕之功，教師應該腳踏實地，精心設計好教學的每個環節，呈現給學生一個靈動和開放的課堂，日積月累地進行科學訓練，才能培養學生的邏輯推理能力，發展學生的數學核心素養。

參考文獻

[1]陳誠.數學核心素養之邏輯推理能力提升的研究[J].數學之友，2016，16：[14]

[2]李克強.談數學核心素養之邏輯推理[J].華夏教師，2018，12（中）：[75]