三次函數極值點特征分析

姜勇鋼

摘 要：習題教學在高中數學的常態教學過程中，是一種策略，更是一種智慧，教師要將“教”的智慧轉變為學生“學”的智慧，就是教師教育藝術的關鍵所在.在常態化的教學過程中，我們教師首先要深入挖掘題目的本質和內涵，結合學生已有的知識與技能，幫助學生一層層揭秘，并借此舉一反三，由一題推一類，以此達成方法與技能上的提升.

關鍵詞：三次函數;極值;方法;策略

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0013-02

筆者借助本文，通過一道三次函數為原型題目的分析、解答、求解、歸類等，將一題的多種方法一一呈現，并通過題目的分析引領學生去深入分析、感悟題目，學會在對比中感悟，在感悟中應用，在應用中提升，在長期的教學引領下，實現減負高效的數學學習環境.

一、例題呈現

已知f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R），若函數f（x）有兩個極值點x1，x2，x1<x2，且存在x0滿足x1+2x0=3x2，令函數g（x）=f（x）-f（x0），試判斷g（x）的零點個數并證明.

方法一 （直接代數運算）求導得

f ′（x）=3x2+2ax+b，

所以x1，x2是方程

3x2+2ax+b=0

的兩個根，根據韋達定理得

a=-32（x1+x2），b=3x1x2，

又由題意得

x0=32x2-12x1，

所以g（x）=f（x）-f（x0）

=（x-x0）x2+x0x+x20+a（x+x0）+b

=（x-x0）[x2+（32x2-12x1）x+（32x2-12x1）2

-32（x1+x2）（x+32x2-12x1）+3x1x2]

=（x-x0）[x2-2x1x+（94x22-32x2x1+14x21）

-32（-12x21+32x22+x1x2）+3x1x2]

=（x-x0）（x2-2x1x+x21）

=（x-x0）（x-x1）2

顯然它有兩個零點，分別為x1和x0.

方法二 （平移代換）將f（x）的解析式作如下變形：

f（x）=x3+ax2+b=（x+a3）3+（a23+b）（x+a3）-4a327-ab3，

記t=x+a3，φ（t）=t3+At，其中A=a23+b，B=-4a327-ab3，則f（x）=φ（t）+B，

所以t1=x1+a3，t2=x2+a3是φ（t）的極值點.①

由題意得x1+a3+2（x0+a3）=3（x2+a3），即對應的t0，t1，t2也滿足t1+2t0=3t2.②

而g（x）=f（x）-f（x0）=φ（t）+B-φ（t0）+B=φ（t）-φ（t0）.③

所以原題等價于下列命題：

已知φ（t）=t3+At，若函數φ（t）有兩個極值點t1，t2，t1<t2，且存在t0滿足t1+2t0=3t2，令函數h（t）=φ（t）-φ（t0），試判斷h（t）的零點個數并證明.

易知t1+t2=0，A=3t1t2=-3t21，

t0=32t2-12t1=-2t1，

所以h（t）=φ（t）-φ（t0）=（t-t0）（t2+t0t+t20+A）=（t-t0）（t2-2t1t+4t21-3t21）=（t-t0）（t-t1）2

顯然有兩個零點t0，t1.

二、方法總結

方法總結，并引領學生進行全面的解讀和反思，這是全面提升這道題目的價值所在，也是提升學生解題能力的關鍵所在，在這道題目上，我們可以做以下四個環節的總結與反思，分析與提煉、變式與拓展.

1. 判斷一個多項式的零點時，如果能因式分解，當然優先考慮因式分解.

在本題中，顯然有一個零點是x0，所以必有一個因式x-x0. 而這道題選擇作為參數x1，x2，消去a，b，x0，而不是通常地利用韋達定理轉化以a，b為參數，是因為x0的表達式中x1，x2的地位并不對等，無法湊出只含x1+x2和x1x2的形式.

2. 本題可以推廣至一般情況，得到下列結論：

設三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）有兩個極值點x1，x2，且x1<x2，記A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））.

圖1

（1）過點A作垂直于y軸的直線交三次函數的圖像于另一點C，則點C的橫坐標為32x2-12x1;

過點B作垂直于y軸的直線交三次函數的圖像于另一點D，則點D的橫坐標為32x1-12x2;

即點A在線段DB上的投影將線段DB分成1∶2的兩部分，點B在線段AC上的投影將線段AC分成2∶1的兩部分.

（2）若取x3=32x2-12x1，x4=32x1-12x2，則f（x3）=f（x1），f（x4）=f（x2）.

（3）四邊形ACBD是平行四邊形，其對角線的交點就是三次函數圖像的對稱中心F，且D，A，F，B，C這五點的橫坐標成等差數列. 易得ACBD的面積為S=4（b2-3ac）227a3.

3.2016年天津高考壓軸題第（2）問即以命題為背景，求證A，F，C（D，F，B）橫坐標之間的關系.

現節選如下：

（文）設函數f（x）=x3-ax-b，x∈R，其中a，b∈R，若f（x）存在極值點，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，

求證：x1+2x0=0;

（理）設函數f（x）=（x-1）3-ax-b，x∈R，其中a，b∈R，若f（x）存在極值點，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3.

4. 2013年廣東文數壓軸題第（2）問亦與此有關，節選如下：

設函數f（x）=x3-kx2+x，當k<0時，求f（x）在k，-k上的最小值m和最大值M.

容易分析得該三次函數在k，-k上的圖像包括了DABC，所以最小值在左端點取得，最大值在右端點取得.而將函數與端點函數值作差，代數變形后判斷符號即可說明這一點：

f（x）-f（k）=（x3-kx2+x）-k=（x-k）（x2+1）≥0

以及f（x）-f（-k）=（x3-kx2+x）-（-2k3-k）=x3-kx2+2k3+x+k=x2（x+k）+2k（k2-x2）+（x+k）≤0.

易得m=f（k）=k，M=f（-k）=-2k3-k.

5. 平移代換是簡化問題的常用技巧，如上面的2016年天津高考題，經過平移代換之后，兩個命題是完全等價的，但是文科的題從面上看確實比理科題簡單，若我們能以運動的觀點來看函數圖像，不拘泥于表達式這件“外衣”，想必我們能更快地抓到問題的本質.

授之以魚不如授之以漁，在常態的課堂教學過程中，我們要致力于教育教學質量的訓練和提升，這就要求我們站在學生的高度，幫助學生去剖析相應問題的本質，舉一反三、一題多解、一題多變，在深入的研究中觸發學生的能力生長.

參考文獻：

[1]胡耀尹.三次函數的對稱性及極值的探究[J].中學生數理化（學習研究），2019（02）：30.

[2]徐守軍.三次函數的圖像與性質在高考中的應用[J].中學數學研究，2008（02）：31-33.

[責任編輯：李 璟]