具有漸開線齒廓變形后的柔輪三維實體建模方法

莫瀚寧 邱辰

摘要：行星式波發生器微型諧波齒輪傳動的柔輪具有內外齒圈。推導出變形柔輪齒廓上點的坐標與未變形柔輪齒廓上點的坐標的轉換關系，進而利用MATLAB編程求解變形柔輪四分之一內外齒圈各輪齒兩側齒廓上各點的坐標，在Pro/E中對四分之一內外齒圈齒廓上的點用樣條曲線連接，并通過鏡像和拉伸，完成變形柔輪的三維實體建模。

關鍵詞：諧波齒輪傳動;柔輪;實體建模;有限元

中圖分類號：TH132.4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-957X（2021）14-0008-03

0? 引言

在諧波齒輪傳動中，波發生器使柔輪發生彈性變形，變形后的柔輪與剛輪嚙合，當波發生器旋轉時，借助于柔輪上流動的彈性波，實現運動的轉換。為完成諧波齒輪傳動整機的動靜態特性分析，在對諧波齒輪傳動整機進行三維裝配建模過程中，必須涉及到變形后柔輪的三維建模，由于變形柔輪中線上各點法線的旋轉，相對未變形柔輪，其齒圈上的輪齒也將發生偏轉，因此變形后柔輪的三維建模涉及到其齒圈上不同位置輪齒的三維建模，這一般需要通過對未變形柔輪及其輪齒齒廓數據進行坐標變換才能得到，行星式波發生器微型諧波齒輪傳動中的柔輪具有內外齒圈。本文主要闡述了柔輪變形下三維模型的構建。

1? 建立坐標系

建立柔輪未變形時的坐標系如圖1所示。固定坐標系oxyz建立在剛輪上，以剛輪的幾何中心為坐標原點o，以剛輪輪齒的對稱軸線為y軸，z軸按右手定則來確定。運動坐標系o1x1y1z1建立在柔輪上，以柔輪輪齒的對稱軸為y1軸，以y1軸和原始曲線的交點為坐標原點o1。柔輪變形后，坐標系如圖2所示。r（j）為對應長軸角坐標為j處，變形柔輪上O1點的矢徑，m（j）為該點的法線轉角。

1.1 齊次坐標變換矩陣

設變形柔輪齒廓上某點p在運動坐標系{1}中表示為1P=[x1，y1-r，0，1]T，在固定坐標系中表示為0P=[x0，y0，z0，1]T，則：

其中，

（2）

1.2 未變形柔輪輪齒漸開線齒廓上各點的坐標

由參考文獻2，漸開線左側齒廓方程（對內齒輪為齒槽的左側齒廓）為：

右側齒廓方程（對內齒輪為齒槽的右側齒廓）為：

式中，？琢為未變形柔輪分度圓處的壓力角，？琢=20°，u=tan？琢k-tan？琢，對外齒圈，？茲=s/2r;對內齒圈，？茲=e/2r。？琢k為未變形柔輪漸開線齒廓上任意一點處的壓力角，r0為未變形柔輪的分度圓半徑;s和e分別為未變形柔輪的外齒圈齒厚和內齒圈齒槽寬。

1.3 變形柔輪輪齒齒廓上各點的坐標

由參考文獻3，對于雙滾子式發生器，變形柔輪的公式為：

2? 變形柔輪輪齒齒廓上各點坐標值數據的預處理

第一步：求解未變形柔輪內外齒圈單個輪齒兩側齒廓上點的坐標。

第二步：在變形柔輪四分之一內外齒圈上，求解ψ，μ，ρ，ω。

第三步：求解變形柔輪四分之一內外齒圈各輪齒兩側齒廓上點的坐標。

第四步：將分布在變形柔輪四分之一內外齒圈上的各輪齒兩側齒廓上點的坐標，按順序依次排列，使得在Pro/E中能夠用樣條曲線將它們按順序連接起來，以得到變形柔輪四分之一內外齒圈的輪廓曲線。

第五步：將變形柔輪四分之一內外齒圈上各輪齒兩側齒廓上點的坐標，分別列成兩個表格，并另存為Pro/E的點文件，以導入Pro/E中。

3? Pro/E環境下變形柔輪的三維建模

3.1 變形柔輪三維模型的建立

在Pro/E環境下，首先導入已經另存為Pro/E點文件的變形柔輪四分之一外齒圈各輪齒兩側齒廓上的各點坐標。然后利用樣條曲線將這些點按順序依次連接起來得到變形柔輪的四分之一外齒圈齒廓曲線，在通過鏡像以形成變形柔輪完整的外齒圈齒廓曲線。由變形柔輪外齒圈齒廓曲線的生成方法用樣條曲線將導入的柔輪內齒圈齒廓數據連接成曲線同樣可得其內齒圈齒廓曲線。變形柔輪內外齒圈曲線如圖3所示。最后通過拉伸操作形成柔輪。三維實體模型，如圖4所示。

3.2 變形柔輪與行星輪的裝配檢驗

建立變形柔輪和剛輪行星輪的三維裝配如圖5（a）所示，其輪齒嚙合細節分別如圖5（b）和圖5（c）所示，對變形柔輪和行星輪進行裝配干涉檢驗變形柔輪和行星輪裝配時輪齒嚙合沒有出現干涉現象。

3.3 柔輪的靜力有限元分析

為分析雙滾子齒輪系的柔輪應力狀況，取四分之一柔輪并施加位移載荷得到柔輪的應力云圖和位移云圖分別如圖6和圖7所示。

根據圖6，齒對齒柔輪的最大應力為367.501MPa，最小應力為0.163442MPa。根據圖7，齒對齒柔輪的最大位移為0.04mm，最小位移為-0.04mm。最大應力與最大位移均發生在柔輪長軸和波發生器接觸的地方。最大應力出現在最靠近柔輪長軸的輪齒之間的齒根處。

4? 總結

變形柔輪三維建模的關鍵在于建立其齒廓上點的坐標在變形前與變形后的關系，根據這些關系利用MATLAB編程分別求解變形柔輪四分之一內外齒圈各輪齒兩側齒廓上各點的坐標，并存為Pro/E點文件，然后在Pro/E中，用樣條曲線連接這些點，并對四分之一內外齒圈齒廓曲線進行鏡像和拉伸，最終完成變形柔輪的三維實體建模。該模型對于分析微型諧波齒輪傳動整機動靜態特性具有重要意義。

參考文獻：

[1]喬緒維.微型諧波齒輪傳動設計與性能分析[D].北京工商大學，2011.

[2]沈允文，葉慶泰.諧波齒輪傳動的理論和設計[M].機械工業出版社，1985.

[3]M.H.伊萬諾夫.諧波齒輪傳動[M].國防工業出版社，1987.