數學核心素養指導下的初中數學建模教學的嘗試和研究

楊帆 徐盛瑛

摘 要：在實際教學中，建模教學是數學核心素養指導下初中數學教學的重要組成部分，是數學聯系實踐生活、數學聯系其他學科的重要紐帶。本文從數學建模教學的背景、現狀、具體的課例實踐三個方面對初中數學建模教學的嘗試和研究進行闡述，并提出了自己的看法和將來的研究方向。

關鍵詞：核心素養 數學建模

自“數學學科核心素養”被專家提出以來，關于其核心素養基于數學知識技能，又高于具體的數學知識技能的說法已經被廣大師生認可，因而如何讓其在初中數學教學得到施行的研究和探索已經迫在眉睫。

而“數學建模”一直以來被認為是數學能力體現的核心內容，是數學學習和數學應用的“靈魂”。如何開展數學建模教學，如何在課程設計中體現建模教學的意義，如何提高學生建模意識和能力，也正成為為一線教師和理論研究者關注的要點之一。

一、研究的實際背景：

1.課堂教學的需求：

案例1：只會“背公式”的“優等生”

小Y在小學里一直被認為是最優秀的孩子，從小參加各種校外競賽，多次獲獎，數學成績更是“永遠的第一名”，但是進入到初中以來，成績不太理想，屢屢被認為“速度慢，理解能力偏弱”。多次與其交流后，小Y流著淚哭訴：“可不可以讓老師多給我幾套題？我回去肯定會用功背出來的，一看到題就能把答案默出來的。絕對不會再錯了……”

在小Y的心中，學習數學就是“背公式”“默答案”，而事實上，我們有的老師也確實在進行這樣的“課堂教學”。尤其是數學應用題，不斷強化這個是“效率問題”、這是“飲馬問題”、這是“相遇問題”，并認為這樣把數學應用性問題分好“模型”，就是“建模教學”了，而老師只要讓學生背出這些“模型的公式”，就完成了培養學生的“建模能力”。

這樣的教學顯然不能滿足社會、學校、家長和學生對數學教學的要求，如何讓孩子們掌握解決實際問題的能力，是我們必須面對的問題。

2.終生學習的需求：

案例2：數學與買菜

小B是個聰明的孩子，家里剛農改居，家里的學習條件也比較好，卻不愿意學習數學，并且不止一次在公開場合和數學老師叫板“出了這個校門初中數學有什么用？買菜還用的到函數？”

有小B想法的人不只一個，甚至個別老師自己也有著“數學無用論”的思想。數學有沒有用？數學有什么用？數學能解決什么問題？在當今大數據、終生學習的背景下，如何讓數學學習變得有用？數學建模必定是一個重要的方向和手段。

二、相關概念及數學教學中運用的理論依據

數學學科核心素養：新的課程標準中，給出了數學學科核心素養的六個主要方面，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析。數學核心素養可以理解為學生學習數學應達成的有特定意義的綜合性能力，核心素養并不是指具體的知識與技能，也不是一般意義上的數學能力，它反映數學本質與數學思想，是在數學學習過程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性。數學核心素養與數學課程的目標和內容直接相關，對于理解數學學科本質，設計數學教學，以及展開數學評價等有著重要的意義和價值。

數學建模：數學建模是對現實問題進行數學抽象、用數學語言表達、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程。主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、構建模型、求解結論，驗證結果并改建模型，最終解決實際問題。

三、研究的實踐操作

1.教學的現狀

在研究的初始，我們對在校部分師生進行了網絡無記名問卷調查，就大家對數學建模的認識進行了解。情況如表1：

在調查中，我們發現：大多數學生和相當一部分的非專業老師不知道數學建模，大多數人包括很大一部分數學教師都沒有真的接觸、了解過“什么是建?！?，只有不到10%的初中數學教師表示在大學期間接觸過數學建模，其中大多數對數學建模的認識停留在“聽說過”的程度。而在聽說過建模的師生中，大約有65%的人認為：數學建模就是做應用題;約有25%的人認為數學建模就是編程，只有很少一部分人認為：建模是“用數學的方式決策問題”。對于不了解的東西我們可能會覺得離我們很遠，還很有可能也會把這種認識傳遞給學生，對建模教學的開展十分不利。

同時，我們還發現：對與初中生而言，即使是很大一部分的頂尖的學生，在開始進入初中階段學習后，才逐步脫離純數字的約束，進而掌握代數式、方程、一般幾何圖形等數學基本知識，而函數的理解、算法的掌握，都是比較初淺的。

針對以上情況，我們認為：初中數學建模的教學，應該更多的關注在師生建模意識的培養上。

2.研究的思路

本次研究的思路框架如下：

3.課例的具體研究

（1）新授課的研究：

在新授課中，我們主要關注模型的引入，主要經歷兩個階段：

其中，模型的準備主要是指：把具體的生活情景、問題，抽象成數學問題。如：代數式的學習、平面直角坐標系的建立、基礎幾何圖形的發現、統計數據的理解等等。

案例3學習平面直角坐標系

問題：要開家長會了，小明要把自己的座位告訴媽媽，并簡單的記在小紙條上，提醒媽媽不要忘記。小明應該怎么做呢？

生a：小明先要告訴媽媽自己在第幾排的第幾個座位。

師：那么小明告訴媽媽自己坐在第3排第5個位子，這樣嗎？

生b：還要告訴媽媽從哪邊開始數的，從門口開始數第三排第五個位子。

師：那么小明會在小紙條上寫“從門口數，第三排第五個位子”這樣嗎？

生c：不用的。只要寫個3，5就可以了，和媽媽說一聲從門口開始數，從前向后數就好了。

師：c說得很有建設性，我們只要約定好計數的方式，就能用一對有序的數對來對應平面上的一個位置了。我們也可以你還有這樣的例子嗎？

從上述案例中，我們從生活情景出發，把具體的生活情景抽象成數學問題。把生活問題變成數學問題，正是數學建模的第一步。

而對于基本模型學習，在初中階段我們主要是指方程、函數、不等式、基本統計模型。在具體的課例研究中，我們關注到，對于不同的教材，同一個模型也會從不同的角度出發，來研究這個模型?，F在我們以一次函數為例：

① 一次函數（浙教版）

在浙教版中一次函數在概念給出前，先讓學生從簡單實際問題中尋找變量之間的數量關系，用解析法、列表法、圖像法分別表示同一數量關系，讓學生形成函數概念;讓后通過歸納：“一般地，函數y=kx+b（k、b都是常數，且k≠0），叫做一次函數?！?/p>

在此過程中，學生主要從量的關系上理解一次函數。經歷了“抽象——表達——轉化”的過程，對特定函數——一次函數的學習是從一般到特殊的演繹過程，從多種同類型關系——一次函數是從特殊到一般的歸納過程。

② 一次函數（蘇教版）

在蘇教版中，一樣是先學習函數的感念，不同的是，在學習一次函數前，重新給出了實例，再從特殊的例子，重新推廣到一次函數的關系，強調數學模型——一次函數對生活中實例的表達作用。

值得關注的是，在蘇教版本章節的章前語中，出現了一個彈簧測重實驗的例子，這個實驗中，學生會經歷“數據收集——數據處理——關系猜測——指導結果——驗證關系”，這個過程和我們數學建模的過程非常相似。這樣的教學設計對學生數學建模意思的形成是一定幫助的。

③ 一次函數（人教版）

與前面兩個版本不同，人教版先讓大家學習了一次函數的特例——正比例函數，走過“具體實例——函數關系——圖像產生——性質發現”的路徑。接下來一次函數，同樣的路再走一次?？梢灶A見在學習其他函數的過程我們也可以走同樣的路。

這樣的教學設計，對于學生掌握一般的探索函數性質的步驟方法很有指導作用。但同時，也更關注學生的模仿能力，存在忽略掉學生開放式思考問題的可能性。如果不考慮創新性和反套路的“破匠式”要求，這是一種非常有效的學習手段和途徑。

我們發現，不是說哪一種版本的教學設計一定優于其他，我們在實際教學中，應該注意到模型學習和模式解題的動態平衡，達到教學的效果。

4.習題課的研究：

案例4一道練習題的分析

這是九年級綜合訓練中的一道題：

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=5.一把三角尺的直角頂點P在線段AD上滑動（點P與A，D不重合），一直角邊始終經過點C，另一直角邊與射線AB交于E。當E在線段AB上時，求PD的取值范圍。

在這道題的講解中，學生可以發現：隨著E點在AB上的運動，引起了PD的長度變化，一個量變化引起另一個量的變化，這是典型的函數特征。那么我們就可以把這個這個幾何長度問題轉換成由函數值域求自變量取值范圍的問題：

在上述問題中，我們經歷了“幾何問題——>函數問題——>方程問題——>不等式問題——>幾何問題”多種數學基本模型之間的切換，這些數學問題的轉換都是基于問題解決的目的和基本模型的熟練掌握。這些訓練和準備都為之后模型意識的形成做好了準備。

5.實踐課的研究：

學生是否已經開始真正用建模的思想方法來解決問題，是一個漫長的過程。不但需要我們的耐心等待，還需要我們的時刻關注和發現。

案例5探究物體自由地沿著斜面做直線運動時，路程與時間的關系

此題原為浙教版數學九年級上冊二次函數部分的一道設計題。許多教師不太重視課本中出現的設計題，認為沒有必要做，考試也不會考。其實這道設計題在學生對二次函數這種函數關系與反比例函數、一次函數的比較，對函數的理解都有著不可取代的作用。同時對于培養今后可能進行的數學研究中，應持有的正確科學的方法、態度，也起著重要的作用。

雖然在學生的實驗報告中，我們有可能看到的是“不理想”的結果，但其中蘊藏的巨大財富是解幾道“設計過”的函數應用題無法比擬的。同時也讓學生更深刻感受到：在建模中，模型的檢驗也是必不可少的。

案例6：小江的物理問題的解決。

這是九年級小江同學遇到的一道物理杠桿問題：一根長3米的繩子拉住一根4米高的豎直電線桿的A點，另一端系在地面的木樁B上，電線桿上端C拉有水平的電線。問A點多高是，繩子對桿的拉力最小？

在物理老師講解題目后，大多數同學把答案記錄下來，當OA=OB時，拉力最小，因為這個時候，O到AB的距離（力矩）最大。只有小江同學還是苦思冥想，為什么這個時候力矩最大呢？直到這天中午，他拉著另一個同學到數學這里求證他的思考是否正確。

在這里，AB是確定的長（3米），∠AOB是確定的角（直角），也就是一個“定弦定角”的圓上動點問題。如右圖，當O點運動到弧AB的中點時，O到AB的距離最大。如果下次∠AOB不是直角，只要是一個固定角，都能有這個模型解決問題。

在剛才的案例里，并沒有人要小江同學來解決這個關于圓的數學問題，是他自發的，用數學的思想、數學的模型來解釋和解決其他問題。

四、研究的成效和反思

1.實踐效果

（1）教學理解能力的提升

① 三種課型的相互聯系：

對于新授課、練習講評課、實踐應用三種課型關注點雖然不同，但也不應該是孤立分開的，而是交織在一起，共同作用的。

通過新授課和練習講評課的設計教學讓學生形成模型意識，從而指導實踐的應用。

② 教學設計的一般模式：

在教學設計中，應該關注學生一般認識邏輯，可以采用“直觀——抽象——轉化”的模式。先給學生以直觀的模型認識;讓其在實際問題中學會抽象出數學問題;把數學問題轉化成模型問題。

③ 評價方式的客觀表述：

如何評級一個學生的建模水平，是建模教學中應當關注的問題。針對這個問題，筆者認為可以從“是否能發現模型——是否能建立模型——是否解決了問題”三個層次對學生的建模水平做出評價。對于初級層次的同學來說，能發現問題中的模型就可以了;但到了高級層次，還是要關注其最后是否能用這些數學模型知識來解決問題。

（2）學生學習能力的提升

數學建模教學在數學課堂教學中的融入，使師生更加關注實際問題的數學性，如存在性、單調性等，對于學生的讀題能力、解題能力的提升十分顯著。

對數學建模教學的關注，會讓教師更多關注“引例”的作業，對多種同類型生活實例進行優選，學生的參與感、投入感更強，覺得“學數學是有用的”，對學習數學的熱情也有顯著的提高。尤其是實踐課，讓學生更喜歡數學課了。

（3）其他學科的融合發展

數學建模教學不但發展了師生的數學能力，還造福了其他學科。以科學為例，參與建模教學關注的班級中，科學（特別是物理部分）的平均成績得分率總體比同類型其他班級高了3個百分點。得到了其他老師的支持和好評。

2.反思和新的研究方向

在本次實踐研究中，我們發現在實際教學中，有的學生已經開始有了模型意識，嘗試用數學方法來解決問題，但最后沒有解決問題，嚴重打擊了繼續學習的信心，其主要表現在：

（1）會建不會解

（2）解得不聰明

（3）實踐機會少

究其原因，大多數學生出現的無法解出其自己提出的問題，是因為解的方法不夠好，給自己增加很很多困難，有的學生到后來自己放棄了自己初建的模型。同時，沒有很多的實踐機會，喪失了繼續訓練提升的機會。

針對我們這次研究中出現的問題，我們發現，光有模型的意識還是不夠的，還需要能“動手”的能力。針對“會見不會解”“解得不聰明”等問題，怎么“算”出模型的結果，即基于高階思維的運算能力的提升應該是我們接下來要研究的方向。

而針對實踐機會少的問題，我們正在考慮和其他學科（如物理）進行夸學科的聯合研究，共同提升師生水平。

本次研究已經接近尾聲。但是教學研究沒有終點，我們會一直在路上。

參考文獻

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（余杭區杭州二中樹蘭實驗學校）