基于Matlab的過盈計算

摘要：在傳統過盈計算的基礎上，引入Matlab軟件，利用Matlab強大的計算能力，以及Simulink可視化、模塊化操作界面，針對過盈配合中復雜的結構件的配合計算提出新方法。在此過程中結合制圖常用的CAD軟件，實現模型（CAD）、平臺（Simulink）、計算（Matlab）之間的聯合仿真，以實現設計-計算的快速迭代，減輕初步方案設計中校核的工作量。在軸-齒輪過盈配合計算中，使用Matlab仿真計算得出的結果與有限元仿真計算結果趨于一致。另外，試驗以及后續實際使用驗證了這種結果的可靠性和準確性。

Abstract： On the basis of traditional interference calculation， Matlab software is introduced， Matlab's powerful computing power， and Simulink visualization and modular operation interface are used to propose a new method for the matching calculation of complex structural parts in interference fit. In this process， the CAD software commonly used in drawing is combined to realize the joint simulation between the model （CAD）， the platform （Simulink）， and the calculation （Matlab） to realize the rapid iteration of design-calculation ， reduce the workload of verification in the preliminary scheme design. In the calculation of the shaft-gear interference fit， the results obtained by using Matlab simulation calculation and the finite element simulation calculation results tend to be consistent. In addition， the test and subsequent actual use have verified the reliability and accuracy of this result.

關鍵詞：過盈計算;Matlab;Simulink;有限元;應力

Key words： interference calculation;Matlab;Simulink;finite element;stress

中圖分類號：TP391.9? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-957X（2021）10-0001-04

0? 引言

在傳動系統中，軸-套類零件過盈配合的穩定性是保證整個系統可靠的重要一環，尤其是對采用過盈連接的齒輪傳動系統來說其更為重要[1]。在每次設計中，軸-齒輪的過盈計算均是必不可少的一環。目前已有的經典計算方法準確度不高，且無法面對復雜結構的過盈配合計算，比如齒輪的輪輻結構;而基于Ansys的有限元計算方法，其前處理又太過復雜，并且針對后期模型的改動，需要做大量的重復性工作[2][3]。這些已有的計算方法無法很方便高效的解決過盈連接設計工作中的問題，因此本文提出基于Matlab的過盈計算方法，以解決傳統計算方法面對復雜的連接結構，無法準確并快速的給出過盈量與傳遞扭矩之間的關系以及過盈中包容件與被包容件應力分布情況的問題?；贛atlab的過盈計算方法，在大大降低工作量的同時，提高計算的準確度[4]。在機械傳動中，需要靠穩定的連接結構來保證傳動的可靠性，而過盈連接因其結構簡單、定心性強、受沖擊影響小、對軸的強度幾乎無削弱等優點而被廣泛采用。特別是在軌道車軸上更是如此。過盈連接主要是通過過盈產生的擠壓力使結合面緊密貼合，從而產生足夠的摩擦力以傳動扭矩和軸向力[5]。

本文以某高鐵齒輪箱車軸與齒輪的過盈配合為例，運用Matlab仿真軟件Simulink模塊，在計算過程中直接從CAD圖紙中提取模型信息，進行聯合仿真計算，并以基于Ansys的有限元軟件進行驗證。

1? 過盈理論計算

1.1 經典力學模型

在齒輪與車軸的過盈配合中，車軸作為動力輸出，與齒輪（動力輸入）之間僅靠過盈產生的摩擦阻力矩傳遞扭矩。根據彈性力學理論，將軸和齒輪之間的壓力看作沿結合面均勻分布的均布力，并且將材料看作是均勻理想的彈塑性材料，其受力分析如圖1所示，圖中左側為軸受力模型，右側為軸套（齒輪）受力模型。

1.2 受力分析計算

根據上述力學模型進行分析計算，假設結合面的過盈量為e，則結合面的壓力pf為：

式中：e——結合面的過盈量（mm）;

df——結合面的直徑（mm）;

da——包容件外徑（mm）;

di——被包容件內徑（mm）;

Ca、Ci——包容件、被包容件傳遞載荷所需的最小直徑變化量;

Ea、Ei——包容件、被包容件材料的彈性模量（MPa）;

νa、νi——包容件、被包容件材料的泊松比;

qa、qi——包容件、被包容件的直徑比。

在車軸過盈計算中，齒輪為斜齒輪，受到扭矩T與軸向力Fx的共同作用，故齒輪在扭矩與軸向力的作用下不產生滑移的最大扭矩T與結合面的壓力pf之間的關系如下：

式中：Ft——傳遞力（N）;Fx——軸向力（N）;K——安全系數;lf——配合面長度（mm）;μ——配合面摩擦系數。

由結合面的壓力pf可計算出包容件和被包容件所受到的應力。

式中：σa、σi——包容件、被包容件受到的應力（MPa）。

2? Matlab仿真計算

2.1 Simulink仿真建模

利用上述經典受力分析所建立的力學模型編制仿真程序，并由CAD導入模型，構建齒輪和軸的離散化輪廓模型，用Matlab建立結合面的直徑df、包容件外徑da、被包容件內徑di等隨著結合位置變化的離散化函數關系。本文給出計算的主要過程，提供選擇過盈量的過盈-扭矩曲線，并根據選擇的配合公差得到最大過盈量，以此來計算面壓力和繪制包容件、被包容件的應力分布曲線。

在Matlab中的Simulink模塊中建立可視化仿真單元（如圖2所示），其中主程序為計算的核心程序，內部采用上述的經典受力分析。圖2中左上角的“幾何參數”是CAD導出的輪廓模型經過函數的轉化而形成的可供Matlab直接讀取使用的曲線函數。過盈量e在計算中可有多種選擇，在第一種模式下e是一次函數變化曲線，由此可以計算繪制出過盈量-扭矩曲線，這為最小過盈量的選擇提供理論計算依據。后兩者為校核模式，在選出配合與公差后使用，可計算出包容件、被包容件的應力，校核結合件是否發生塑性變形。本文擬將主程序寫出以供參考。

圖2以某高鐵齒輪箱齒輪與軸的數據為輸入條件，其中電機短路時齒輪受到的扭矩為36820N.m，在齒輪中產生的軸向力為40130N，摩擦系數為0.14。

2.2 Matlab主程序

使用matlab函數創建主程序，如下所示：

function T = quxian（quxian11， quxian12， quxian21，

quxian22， e， u， Ea， Ei， va， vi， Fx）

[～， m11] = size（quxian11）;

% quxian11為被包容件內輪廓離散曲線，并計算數據的大小。

[x11， ～] = min（quxian11， []， 2）;

% 查找數據的起始位置。

[～， m12] = size（quxian12）;

% quxian12為被包容件外輪廓離散曲線，并計算數據的大小。

[x12，～]=min（quxian12， []， 2）; [～， m21]=size（quxian21）;

% quxian21為包容件內輪廓離散曲線，并計算數據的大小。

[x21， ～]=min（quxian21， []， 2）; [～，m22]=size（quxian22）;

% quxian22為包容件外輪廓離散曲線，并計算數據的大小。

[x22，～]=min（quxian22， []， 2）; xmin=[x11，x12，x21，x22];

%查找四條曲線數據的起始位置。

x0 = max（xmin， []， 2）; x0max=x0（1， 1）;

%提取起始點橫坐標。

xmax = [m11， m12， m21， m22]; x1min = min（xmax）;

%提取四條輪廓曲線中最短曲線終止點的橫坐標。

xmax = [m11， m12， m21， m22]; x1max = max（xmax）;

%提取四條輪廓曲線中最長曲線終止點的橫坐標。

shuzu0 = zeros（2， x11（1， 1）*10）;

shuzu1 = zeros（2， x1max-x11（1， 1）*10-m11）;

quxian11 = cat（2， shuzu0， quxian11， shuzu1）;

shuzu0 = zeros（2， x12（1， 1）*10）;

shuzu1 = zeros（2， x1max-x12（1， 1）*10-m12）;

quxian12 = cat（2， shuzu0， quxian12， shuzu1）;

shuzu0 = zeros（2， x21（1， 1）*10）;

shuzu1 = zeros（2， x1max-x21（1， 1）*10-m21）;

quxian21 = cat（2， shuzu0， quxian21， shuzu1）;

shuzu0 = zeros（2， x22（1， 1）*10）;

shuzu1 = zeros（2， x1max-x22（1， 1）*10-m22）;

quxian22 = cat（2， shuzu0， quxian22， shuzu1）;

%以上為統一曲線的起始和終止點位置，并統一數據矩陣的長度。

xx = quxian11（1， ：）;

jisuan11 = 2*quxian11（2， ：）; %被包容件內徑。

jisuan12 = 2*quxian12（2， ：）; %被包容件外徑。

jisuan21 = 2*quxian21（2， ：）; %包容件內徑。

jisuan22 = 2*quxian22（2， ：）; %包容件外徑。

% 以下為過盈計算。

qa = jisuan21./（jisuan22+eps）; %包容件直徑比。

qi = jisuan11./jisuan12; %被包容件直徑比。

Ca = （1+qa.*qa）./（1-qa.*qa）+va; %包容件剛性。

Ci = （1+qi.*qi）./（1-qi.*qi）+vi; %被包容件剛性。

pf = e/jisuan12./（Ca/Ea+Ci/Ei）; %結合面壓力。

ea = pf.*jisuan21.*Ca/Ea;

%包容件結合面直徑變化量。

ei = pf.*jisuan12.*Ci/Ei;

%被包容件結合面直徑變化量。

FT = 0; DF = 0;

%以下為計算結合面壓力隨結合位置的函數關系，以及扭矩T和過盈量e的函數關系。

for i = x0max*10+1：x1min+x0max*10

if jisuan21（1， i）-jisuan12（1， i） < 0.1

Ft = （0.1*pi*u*pf（1， i）*jisuan12（1， i））;

DF = DF+jisuan12（1， i）;

else

pf（1， i） = 0; Ft = 0;

end

FT = Ft+FT;

end

for i = 1：x0max*10

pf（1， i） = 0;

end

for i = x1min+x0max*10：x1max

pf（1， i） = 0;

end

df = DF/x1min;

T = sqrt（FT^2-Fx^2）*df/2000; %扭矩輸出。

a = （1-qa.^2）./（（3+qa.^4）.^0.5）; c = （1-qi.^2）/2;

Qsa = pf./a;Qsi = pf./c;

plot（xx， Qsa'， '-'）;

%包容件應力隨結合點位置變化的曲線關系。

hold on

plot（xx， Qsi'， '-'）;

%被包容件應力隨結合點位置變化的曲線關系。

end

2.3 仿真結果

上述程序運行后，通過控制不同的輸入和輸出，可以得到圖3過盈量e-扭矩T曲線圖（圖中藍色斜線）。安全系數取1.1，用需要達到的目標扭矩T0繪制一條橫線（圖中紅色橫線），此橫線與過盈量e-扭矩T曲線相交點即為最小過盈量，經計算最小過盈量為0.211mm。

根據最小過盈量以及公差配合表，查表計算得到最大過盈量為0.287mm。修改輸入條件，計算在最大過盈量下包容件和被包容件的應力，計算結果如圖4所示，藍色為包容件的結合面面壓力，紅色曲線為被包容件的結合面面壓力。

3? 有限元計算結果驗證校核

3.1 有限元仿真設置

本文的Matlab方法需要經過更為詳細的有限元計算進行校核。利用有限元軟件對軸和齒輪的過盈配合進行仿真，并與使用Matlab軟件計算出的軸和齒輪的應力結果進行對比，以校核Matlab方法的可行性、準確性。

為了使有限元與Matlab的計算模型保持一致，并降低計算機的計算量，對模型進行簡化處理，如下所示：

①去除模型中修飾性倒角、倒圓以及對網格質量影響較大的孔結構;

②去除多余無效部分，保留計算中需要的關鍵模型;

③對齒輪輪齒部分作簡化處理。

如圖5所示，采用六面體網格結構對模型進行網格劃分，共計39896個單元、181143個節點。

邊界條件：

在齒輪外圈設置固定約束，給結合面施加最大過盈約束，摩擦系數選取0.14。

3.2 仿真結果以及對比

仿真運算后，選取特征點，并繪制軸上應力-結合位置曲線（如圖6、圖7、圖8所示）。因為左右兩側對稱，故只顯示左側計算結果。有限元仿真結果與Matlab仿真結果對比（如圖9所示），其變化趨勢一致，并且數值上非常接近，同理再次對比齒輪上有限元與Matlab應力-結合位置曲線，二者變化趨勢一致，數值接近。經計算峰值誤差率約為8.5%，遠低于±20%，誤差率的均方差不足4%，低于5%。峰值誤差出現在變化曲率較大的區域，考慮到有限元結果為手工選點，存在人為的誤差，以及直徑突變處，存在仿真與實際不符的情況，對比結果符合預期，證明該方法針對復雜形狀的包容件、被包容件具有快速、誤差低、計算結果可靠等優勢。

本論文引用的高鐵齒輪箱已投入使用，在加載試驗以及線路運行過程中使用情況良好，并且運營考核完成后的大修拆解中，未發現齒輪滑移、過盈部位塑性變形等失效情況。

4? 結論

本文以某高鐵齒輪箱為例，針對復雜結構建立了基于Matlab的過盈計算新方法，并結合工程設計中常用的CAD軟件，實現模型-平臺-計算聯合仿真。運用成熟可靠的有限元軟件對該方法進行校核，并把兩者之間的結果對比，得到了比較滿意的結果。在后續的使用中，可以隨時調整輸入參數。模型更改后只需要做簡單的導出，導出結果無需經過特殊處理，即可直接運用于Matlab的計算，類似傻瓜式操作，在確保準確性的同時又提升了迭代速度。該方法給機械設計提出了新的方式方法，在實際的工程應用中充分證明了該方法的適用性以及廣泛性。Matlab軟件以其強大的計算能力在聯合仿真以及工程設計中起到了巨大的作用。

參考文獻：

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