拋物線拱面內位移近似解析方法

胡常福，劉科，李漳

(華東交通大學 土木建筑學院，江西 南昌330013)

拱結構因其外形美觀、承載力及剛度大而在土木工程中廣泛使用[1?2]。拱結構的面內線性變形性能，在工程實踐中使用最為廣泛。圓弧拱的曲率處處相等，易于推演平衡微分方程，針對各種荷載[3?5]、邊界條件[6?7]及新材料拱[8?9]的面內非線性變形性能，學者們均開展了較好的研究。由于圓弧拱對應的徑向荷載在橋梁工程中應用不多，近年來研究者開始研究直角坐標系下拱結構的變形行為。BRADFORD 等[10]最早提出了拋物線兩鉸拱面內非線性的解析方法，并進行了試驗的驗證[11]。蔡建國等[12?13]對拋物線無鉸拱的變形行為進行了研究，BRADFORD 等[14]在對拋物線拱面內非線性變形解析的精度檢驗后發現淺拱假設僅在矢跨比小于1/12.5 才能成立。HU 等[15]提出了一個包含弧長項的應變解決了這個問題，并得到了組合線拱[16]及連拱[17]面內非線性的解析。以上的研究主要集中于拱結構的非線性穩定問題，而橋梁工程中經常使用線性變形的解析，尚未得到有效解決。雖然有限元方法可以較好地計算復雜結構力學的響應，但不易形成符合工程師及規范可接受的實用公式。本文以拋物線拱的面內線性位移為研究對象，提出了一種高精度的近似解析方法，得到了面內豎向位移、水平位移及轉角的實用公式，并通過有限元方法驗證了實用公式的精確性。

1 拋物線無鉸拱面內位移高精度近似解析

1.1 豎向位移高精度近似解析

在如圖1所示的笛卡爾直角坐標系下，拋物線拱的線性應變可表示為[15]

圖1 拋物線無鉸拱面內變形Fig.1 In-plane deformation of parabolic fixed arch

式中：εm與εb分別為拋物線拱上任一點處的壓縮應變和彎曲應變；y*為主拱圈橫截面內法線坐標；y為拋物線拱的豎向坐標，y=[z2- (L/2)2]/(2p)，z為笛卡爾坐標系的橫坐標，p=L2/(8f)，L與f分別為拋物線拱的跨度和矢高；w與v分別為拋物線拱變形后的水平位移和豎向位移；(·)′ = d(·)/dz，

處于平衡狀態的拋物線拱，若施加一個滿足邊界條件的虛位移，則外力在位移上所做的虛功與拱結構產生的虛應變能之和為0，即

式中：δ(·)為(·)的變分；Π 為拱結構的總虛功；E為拱的彈性模量；ε為拋物線拱的總應變，ε=εm+εb；V為拋物線主拱圈體積，，A為主拱圈截面面積；q為拱圈上的均布荷載。將式(1)代入式(2)并化簡，可得

式中：Ix為主拱圈橫截面抗彎慣性矩，基于虛位移δw與δv的任意性，由式(3)可推演出

根據歐拉伯努利梁與拋物線拱理論[18]可知，-EAεm為主拱圈的軸力N，N(1+y′2)-1/2為拱腳水平推力H。因此，式(4)可以推演得到

將式(6)代入式(5)，可得

將拱軸線方程代入式(7)，可得

式中：?與μ為無量綱荷載與軸力參數，其定義為

如式(8)所示的平衡微分方程，雖然形式簡潔但不能求得顯示解析。為此，將方程左邊分母中的弧長微分項(1+z2/p2)5/2進行泰勒展開，得到如式(10)所示的近似平衡微分方程

拋物線無鉸拱的邊界可表示為

式(10)在滿足如式(11)所示的邊界下的解為

式中：C1與C2為豎向位移系數，表示為

式中：α為拋物線拱的矢跨比。

在如式(10)所示的平衡微分方程中，有2 個未知的參數μ和?。因此，需要增加一個方程來聯立求解這兩個參數。由式(12)計算的豎向位移，尚需滿足另一個基本條件：基于式(1)計算的拋物線無鉸拱壓縮變形，應與根據式(6)計算得到的壓縮量相等。該條件可表示為

將拱軸線方程代入式(14)，對等式兩邊同乘1+y′2化簡后并積分，可得

對于拋物線無鉸拱，式(15)的右邊積分難以得到顯示表達式。近似積分方法[18?19]將弧長微分項近似為雙曲余弦函數，可以得到該類問題的實用解析表達

式中：a為懸索線拱形系數；ch(·)為雙曲余弦函數。將式(9)，(11)，(12)及(16)代入式(15)，可得

式中：sh(·)為雙曲正弦函數；λ=L/ix，為拋物線拱的長細比；為主拱圈截面的回轉半徑。?系數的具體數值，如表1 所示。為推導拱腳處水平反力的表達式，式(9)可以重寫為

表1 拋物線無鉸拱?系數Table 1 Parameter ? of fixed parabolic arches

將式(17)及(18)代入式(12)，可得拋物線無鉸拱豎向位移的表達式為

從而，拱頂豎向位移vc可表示為

式中：Cv為拋物線無鉸拱拱頂豎向位移系數，其表達式如式(21)所示，具體數值如表2所示。

表2 拋物線無鉸拱位移系數Table 2 Deformation coefficients of fixed parabolic arches

1.2 水平位移高精度近似解析

對式(1)中壓縮應變εm的等式兩邊同乘1+y′2，再對兩邊進行積分，可得拋物線拱水平位移為

將式(9)及(6)代入式(22)，可得

將式(11)、(18)及(19)代入式(23)，可得

拋物線無鉸拱的水平位移一般在跨徑四分點附近達到最大，因此四分點處的水平位移有較大的工程參考價值。由式(24)可得

式中：Cwa和Cwb為拋物線無鉸拱四分點水平位移系數，其表達如式(26)所示，具體數值如表2所示。

1.3 轉角變形高精度近似解析

如圖2 所示，拋物線拱上任意點A的切線與水平方向的夾角為φ，在外荷載作用下點A發生了轉角θ。因此，變形后A′點的夾角變為φ+θ。由變形前后的幾何關系，可得

圖2 弧微元變形示意圖Fig.2 Deformation of infinitesimal curve arc differential element

根據三角函數和差公式，轉角的正切值可表示為

將式(27)代入式(28)，可得

在線性小變形條件下，拱結構轉角θ是一個無窮小量，θ≈tanθ成立；水平位移遠小于微元水平方向長度，w′<< 1 成立；豎向位移遠遠小于拱軸坐標，y′v′<< 1+y′2成立。基于以上假定，式(29)可簡化為

將式(19)代入式(30)，可得到拋物線無鉸拱轉角變形的解析表達式為

拋物線無鉸拱轉角變形的最大值一般在跨徑四分點處附近。因而，四分點處轉角有較大的工程參考價值。由式(31)可得

式中：Cθ為拋物線無鉸拱四分點轉角位移系數，其表達如式(33)所示，具體數值如表2所示。

2 算例驗證

以一跨徑為150 m 的拋物線無鉸拱為算例，來驗證本文提出的面內位移高精度近似解析。該無鉸拱矢跨比f/L= 1/5，長細比λ= 120；主拱面積A= 0.866 m2，截面慣性矩Ix= 1.3532 m4；主拱圈材料的彈性模量E= 210 GPa，泊松比υ= 0.2。

拱上所受均布荷載q=200 kN/m，根據文獻[15]的研究成果，在該荷載作用下拋物線無鉸拱仍處于彈性階段，不會出現面內非線性現象及屈曲問題。

采用有限元軟件ANSYS 建立如圖3 所示的有限元模型。該模型含有500 個BEAM4 梁單元，節點沿水平坐標均勻分布，在節點上施加相同的節點力用以模擬均布荷載；為防止拱發生面外變形，約束了所有節點的面外自由度；并在拱腳處約束所有自由度以模擬固結。分別提取有限元數值結果中的各節點面內豎向位移、水平位移及轉角變形，并與本文解析結果進行對比，兩者對比結果如圖4及表3所示。

圖3 有限元模型Fig.3 Details of finite element formulation

由圖4 及表3 可以看出，本文提出的近似解析解均與有限元結果吻合較好。其中，豎向位移誤差最小，拱頂處豎向位移相對誤差為0.54%，具有較高的精度；轉角變形次之，四分點處轉角變形相對誤差為4.70%，滿足實際工程使用的要求；水平位移總體吻合較好，在極值處有一定的誤差，四分點處水平位移相對誤差為8.73%，考慮到水平位移的量級約為跨徑的1/10 000，該近似解析已滿足工程實際使用的精度要求。造成水平位移與轉角變形產生誤差的根本原因是，為得到具有解析表達的面內位移結果，采用了如式(1)所示的簡化彎曲變形表達式，忽略了其中的水平位移項，進而造成了水平位移及轉角變形的誤差。

圖4 近似解析精度驗證Fig.4 Verification of proposed analytical solutions

表3 面內位移極值比較Table 3 Comparisons of maximum magnitudes of in-plane deformation

由面內位移的解析表達式可以看出，矢跨比與長細比是拋物線無鉸拱面內位移的2個重要影響參數。為此，以上述算例為基礎，調整其中的矢跨比與長細比(如表4 所示)，用以在更大范圍內校驗本文近似解析的精度。基于這些參數，分別使用本文近似解析與有限元方法計算拋物線無鉸拱的面內位移。2 種方法計算的拱頂豎向位移、四分點水平位移與轉角變形結果對比，如圖5 與圖6所示。

表4 比選參數范圍Table 4 Parameter ranges of verification

由圖5與圖6可以看出，在矢跨比1/3～1/10及長細比40～200的大范圍內，本文近似解析得到的拋物線無鉸拱面內位移均與有限元結果吻合較好，表明本文方法具有較好的精度。

圖5 不同矢跨比下面內位移比較Fig.5 Comparisons of different rise-to-span ratios

圖6 不同長細比下面內位移比較Fig.6 Comparisons of different slenderness

3 結論

1) 本文提出的近似解析方法，可得到拋物線無鉸拱面內位移的高精度近似解析。

2) 矢跨比與長細比，是拋物線無鉸拱面內位移的重要影響參數。

3) 提出的拋物線無鉸拱拱頂豎向位移、四分點水平位移及轉角變形解析表達式，滿足橋梁工程實際使用的精度要求。