關于黎曼積分概念的教學思考

高大鵬 朱秋蓉

[摘? ? ? ? ? ?要]? 微積分是普通高等院校理工類專業一門重要的基礎課程。黎曼積分不僅是微積分學研究的核心對象，還是研究其他各類學科重要的輔助工具之一。基于教學經驗，對學生怎樣掌握這一部分內容提出一些思考。

[關? ? 鍵? ?詞]? 黎曼積分;概念;教學

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2021）31-0046-02

一、研究背景

在我國古代時期，劉徽提出的割圓術就開始孕育了積分思想。在公元前7世紀，古希臘數學家在求解曲線長、曲邊形面積及曲面體的體積時也含有積分思想。積分經過歐拉、達朗貝爾、拉格朗日等著名數學家研究奠基后，直到17世紀初，英國牛頓從運動學出發，由力學創造流數學（微積分），同時期，德國萊布尼茨從幾何學出發，由研究曲線的切線問題創立了微積分。但初創時期的微積分缺乏嚴格的基礎，所以難免存在缺陷。19世紀，柯西通過研究得到連續函數一定存在積分的結論，隨后，黎曼發現具有有限個間斷點的不連續函數也存在積分，進而黎曼將柯西積分中的連續函數推廣到了有界函數，并定義了黎曼積分，這在很大程度上完善了積分嚴謹的邏輯基礎及定義。

二、黎曼積分的定義及幾何意義

從求曲邊梯形面積S的具體實例中可以看出，該問題可通過“分割、近似代替、求和、取極限”得到解決。忽略該問題的幾何背景，可得到如下函數f在[a，b]上黎曼可積的定義。

從這個定義來看，黎曼積分首先是對函數f的定義域進行任意分割T，在分割后的每個小區間[xi-1，xi]上任意取點ξi∈Δi所得的積分和在分割的細度‖T‖→0時有唯一的極限值，則函數f黎曼可積。根據此定義來判斷一個函數是否黎曼可積，難度是很大的。原因在于黎曼積分定義中兩個任意的要求。其一，要求對函數的定義域分割的任意性，其二，要求分割后每個小區間上取點的任意性。這兩種任意性導致我們對一個給定函數f在其定義域[a，b]可得到無窮多種積分和，我們不可能將無窮多種積分和一一列舉出來再考察其在分割的細度‖T‖→0時是否有唯一的極限。為此，我們需要建立更簡單易檢驗的關于函數黎曼可積的判定定理（例如由達布和描述的關于函數黎曼可積的充要條件）。但反過來，如果已知函數f在某區間[a，b]上黎曼可積，我們可以對該函數在其定義域上作特殊的分割得到一個特殊的積分和，求出該積分和在分割的細度‖T‖→0時極限即為函數f在區間[a，b]上的定積分值。同時，這種方法往往也為求數列極限提供了一種思路。請看下面的例子：

三、教學思考

黎曼積分概念的教學是微積分課程教學的一個重點和難點。為深刻理解函數f在[a，b]上黎曼可積的定義，筆者認為應該做好以下五個方面的準備工作。

1.讀。在學習本節課內容之前，應該讓學生預習。尤其是閱讀并理解曲邊梯形面積和變速運動物體運動路程的求解方法。深刻理解對連續函數在局部范圍內“以直代曲”“以勻代非勻”的思想，為定積分概念的引入做好鋪墊工作，也為后續學習定積分的應用問題打下基礎。

2.思。在充分閱讀并理解定積分概念提出的背景后，學生應該思考如果忽略具體問題的幾何背景和物理背景，應該如何提出函數黎曼可積的概念呢？首先對函數應該有什么要求呢？對于一個給定的函數有多少種積分和呢？等問題，這對培養學生嚴密的邏輯思維能力和創新能力有顯著作用。

3.講。在學生閱讀思考的基礎上，教師應該就定積分概念中的關鍵問題逐一解釋清楚。比如，就分割T的細度的理解而言，教師應借助圖示幫助學生理解分割T給定，則細度‖T‖隨之確定，但‖T‖確定，對應的分割卻有無限多個。就積分和而言，一個給定函數在給定區間的積分和與哪些因素有關？事實上，積分和不僅與分割T有關，還與在分割給定之后每個小區間上的取點有關。因此，積分和有無限多種。就極限過程而言，只有在等分分割區間時，‖T‖→0才能用n→∞來代替。就定積分作為積分和的極限這個概念而言，我們把這個極限理解為函數的極限。因為，在函數極限f（x）中，對每一個極限變量x來說，f（x）的值是唯一確定的。而對于積分和的極限來說，每一個‖T‖并不唯一對應積分和的一個值，這使積分和的極限要比通常的函數極限復雜得多。另外，根據定積分的概念，定積分作為積分和的極限，它的值只與被積函數f及積分區間[a，b]有關，而與積分變量所用的符號無關，這一點是定積分與不定積分的重要區別。

4.練。眾所周知，數列極限的求法很多。用定積分的概念求數列極限是一種重要的方法。教師在課堂上講解了該方法的思想和要領后，應要求學生完成一些相關的變式練習，加深對這種方法的理解和運用。

5.問。通過教師對黎曼積分概念的講解后，學生或許還有一些沒有理解或認識不深刻的知識點，這就需要學生在課下和同學多討論、交流。另外，教師要鼓勵學生充分利用豐富的互聯網資源，多看一些線上精品課程及其他相關教材，彌補教師課堂上講解的不足。

教學作為一種雙邊活動，教師和學生需要積極配合才能達到良好的教學效果。數學概念的講解作為數學課程的一個難點，教師和學生都感到比較吃力。本文以黎曼積分概念的教學為例，從自己的實際教學經驗出發，提出了自己的幾點思考。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析上冊（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]張永立，黃芳，王學軍，等.勒貝格積分與黎曼積分的關系[J].焦作師范高等專科學校學報，2020，36（1）：70-73.

◎編輯 馬燕萍