數學學科核心素養下，“圖形與幾何”領域的教學策略研究

竺曉蕓

一、研究緣起

（一）基于“核心素養”的提出

在國際上，各大組織、國家都相繼對核心素養的概念、要素、框架、特點、價值等等進行研究。我們國家在十八大后提出把立德樹人作為教育工作的根本任務，十八屆三中全會強調堅持立德樹人，加強社會主義核心價值體系教育。2014年，教育部帶頭落實立德樹人根本任務，組織專家進行研究并且提出中國學生發展核心素養體系，思考“教育要培養什么樣的人”，要提出具有中國特色的科學，具有時代性、具有民族性、符合我國國情以及符合我國學生情況的核心素養體系以及核心素養內涵等。2016年，《中國學生發展核心素養》總體框架正式發布，該框架提到“核心素養是關于學生知識、技能、情感、態度、價值觀等多方面的綜合表現，是每一名學生取得成功、獲得個人發展和社會發展所需要的且不可或缺的共同素養”。研究學生發展核心素養是落實立德樹人根本任務的一項重要舉措，也是適應世界教育改革發展趨勢、提升我國教育國際競爭力的迫切需要。

在該背景下，核心素養的研究已經成為了教育界的熱點話題。

（二）基于“數學學科核心素養”的思考

數學核心素養是最新修訂的《普通高中數學課程標準》中提出的，它是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展起來的。包括：數學抽象，邏輯推理，數學建模，直觀想象，數學運算和數據分析。而該素養的形成需要以“四基”為基礎，“四能”為途徑，“三會”為行為表現，形成“四基—四能—三會”這樣一條主線，才能將核心素養的培養真正落到實處。在現如今的教育大背景下，數學核心素養的培養被大力倡導，需要教師落實到數學教學中。

（三）基于小學階段培養“數學學科核心素養”的落實

很多人認為數學核心素養的培養只存在于初高中階段，與小學的數學教學無關。其實不然。小學數學核心素養是指學生在學習數學時能夠獲得的數學能力，具體而言，一方面就是要在數學學習的過程中使自己的邏輯思維能力得到鍛煉和提升，另一方面是培養對數學知識的吸收和轉化能力，也就是學以致用的能力，即將所學數學知識應用到生活實際中的能力。

皮亞杰認為學生在小學階段是認知發展的跳躍階段，小學生的認知、思維、表達乃至個性品質都經歷巨大變化。根據皮亞杰的認知發展理論，小學生基本處于具體運算階段。在本階段中，兒童的認知特點有：1.思維的具體性；2.思維具有守恒性和可逆性。這一階段，兒童思考問題離不開具體事物和經驗，他們在面對問題情境時，能按照邏輯法則進行推理運算，但思維活動仍然需要具體內容的支持。如果只用言語敘述問題，則兒童推理就感到困難。而在初中階段，兒童則從具體運算階段發展為形式運算階段。這個時期，兒童思維發展到抽象邏輯推理水平。思維活動不再需要具體事物的支持，能夠擺脫思維內容。

小學數學從內容上來說，是學生學習數學的基礎，要與初高中數學的知識點進行銜接；而從認知發展水平上來說，也是具體運算階段向形式運算階段的過渡，學生的思維水平逐步向抽象邏輯思維發展。因此在小學這一黃金時間段，做好學生思維能力的過渡，培養學生的數學核心素養顯得異常重要，這是為了學生的可持續發展打好基礎。

（四）基于“數學學科核心素養下，‘圖形與幾何領域的教學策略研究”的實踐

2011年版的《義務教育數學課程標準》把義務教育階段數學課程分為四個領域，其中非常重要的一個領域是“圖形與幾何”領域。幾何學習是小學數學教學的重點內容，旨在通過“圖形與幾何”的教學來發展數學抽象、直觀想象、知識遷移能力等數學核心素養。

該領域的教學內容具有一定的抽象性，這也使教學難度及學生學習難度增大。尤其在新課改背景下，學生不僅需要掌握“圖形與幾何”的相關知識，具備一定的學習能力，同時還需要在學習過程中逐漸培養思維能力及數學思維觀念，從而達到綜合發展的效果。所以，如何提升小學數學“圖形與幾何”教學質量一直是小學教學關注的重點。

因此本文致力于研究數學學科核心素養背景下，小學階段的“圖形與幾何”應該怎么教學，或者說，在小學數學“圖形與幾何”領域的教學中，如何去落實數學學科核心素養。力爭在數學學科核心素養背景下，探究小學數學“圖形與幾何”領域的教學策略。

二、實踐研究

本文選取了滬教版數學五年級上冊第五單元“幾何小實踐”為例，從優化教學設計和改革評價方式兩方面出發，實踐探究“圖形與幾何”領域的教學策略的有效性。

（一）優化教學設計

教學設計是教師根據教學理論，運用系統科學的方法把教材呈現的知識加以選擇重組，并根據學情合理建構教學過程，其根本目的是要激發學生的“學”。教學是教師的“教”與學生的“學”所組成的雙邊活動，所以教師的教學設計關系到學生的學習結果，是極其重要的。

本文將從以下幾個維度出發進行教學設計的優化：

1.厘清教學脈絡，構建知識網絡

數學的教學不同于語文和英語，它的知識點存在一定的結構性。而“圖形與幾何”領域作為小學數學課程內容四大領域之一，它的知識網絡就更加錯綜復雜，知識點之間根據橫向和縱向的聯系構筑成發散式的知識網絡。可以說，每一個概念、知識點的掌握程度都會對之后的幾何教學產生巨大的影響。為此在“圖形與幾何”領域的教學設計中首先厘清教學脈絡，為學生梳理知識網絡是十分重要的。這有利于學生構建數學雙基平臺，自主構建幾何單元各知識板塊之間的聯系。

為了梳理知識網絡，對一個單元進行教材分析和學情分析是必要的。

[案例：滬教版數學五年級上冊第五單元“幾何小實踐”]

（1）教材分析

【所屬模塊】圖形與幾何

【單元教學內容】平行四邊形、梯形的認識，以及平行四邊形、三角形、梯形和組合圖形的面積計算

【具體分析】

此單元為五年級第一學期的一個自然單元，但從知識序列及能力維度可見，圖形與幾何是潛移默化滲透在小學五年中的重點知識，從結構體系的視角進行關聯性的教材分析，具體見圖1。

可見，按照知識點的橫向排列，形狀和面積這兩個知識點在小學前四年的學習中滲透了下去，為本單元打好了關鍵概念的基礎；按照知識點的縱向排列和難易程度，在四年中教學循序漸進地從面積的學習過渡到長方形與正方形的面積，然后到本單元平行四邊形，三角形和梯形的面積，最后過渡到組合圖形的面積。因此，這一單元起著承上的作用，并在此收束了小學階段所有關于面積新知識點的學習。

而這一單元又是以后學生進入中學后進行幾何單元學習的基礎，因此也起到了啟下的作用。可見本單元教學具有非常重要的地位。

經上述分析，附單元規劃屬性表（表1）和思維導圖（圖2）如下：

（2）學情分析

在本單元之前的學習中，學生已經認識了三角形，長方形和正方形，因此本教學內容可以發揮知識的正遷移和順向遷移功能，以及建構的學習方式，讓學生自主認識平行四邊形和梯形。此后，由于學生已經事先掌握了長方形與正方形的面積公式，本教學內容可以引導學生通過動手操作，借由轉化、歸納的數學思想方法來自主探索平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式。最后通過割、補、移等方法，掌握將組合圖形的面積轉化成為幾個已知圖形的面積求解并正確計算的方法，初步培養空間意識和幾何意識，提高學生分析問題、解決問題的能力。

2.找準重點難點，滲透數學思維

數學思想方法的種類有很多，轉化、符號化、歸納等等。根據每一課時側重的知識點的不同，學生發展的數學思維能力也不同。

因此，進行教學設計時，我們一定要根據制定的教學目標，找出每一課時中的教學重難點，根據重難點進行針對性的教學設計，發展這一課時中學生相應的數學思維能力。

[案例：滬教版數學五年級上冊第五單元“幾何小實踐”]

通過教材分析和學情分析厘清了知識網絡之后，從三個維度出發梳理本單元教學目標的要點，并制定了教學目標如下。

【知識與技能目標】

（1）認識平行四邊形和梯形，能識別平行四邊形和梯形。

（2）了解平行四邊形對邊平行且相等，對角相等的性質，了解梯形僅一組對邊平行的性質。

（3）掌握平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式，理解其推導過程，并能正確計算它們的面積。

（4）能靈活運用割、補、移等方法和已學五種圖形的面積計算公式，來正確計算組合圖形的面積。

【過程與方法目標】

（1）經歷動手操作的數學活動，如剪接，旋轉，平移等，初步探索幾種圖形之間的關系，培養初步的幾何，空間以及運動的觀念，加強對幾何圖形的敏感度。

（2）經歷自主探索，小組合作的學習方法，感受轉化歸納的數學思想，通過知識的遷移進行有效的學習，掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式的推導過程，在過程中提升操作能力，觀察能力，遷移能力和表達能力。

【情感態度與價值觀目標】

體會到這些幾何圖形與日常生活的密切聯系，感知它們的廣泛應用性，激發并增強對幾何的學習興趣，在學習過程中體會數學在生活中的重要性，發展圖形幾何意識。

其中，在單元知識框架圖中，我們能看到：第一，正確區分和辨識幾何圖形不同的形狀在小學階段中是很重要的，因此了解圖形的性質是本單元的重點。第二，牢記并靈活運用五種圖形的面積公式以正確計算出結果對于本單元的學習也是至關重要的。

因此，本單元的重點經分析制定如下：

【重點】

（1）認識平行四邊形和梯形，掌握其特征。

（2）掌握平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式，并能正確計算它們的面積。

為了靈活運用五種圖形的面積公式，規避負遷移，就需要學生理解其推導過程。理解這一過程，需要發揮學生的動手操作能力和知識遷移能力。而為了正確計算組合圖形的面積，更需要學生能夠將未知的知識點轉化歸納為已學的知識點，考驗到其觀察能力和化歸能力。

因此，本單元的難點經分析制定如下：

【難點】

（1）理解平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式的推導過程。

（2）能靈活運用割、補、移等方法和已學五種圖形的面積計算公式，來正確計算組合圖形的面積。

在重難點分析中，我們能看出本單元重點需要發展學生的數學轉化思想。

因此，我們在教學設計中就力求體現轉化思想。從知識體系組建環節中就實現滲透，讓學生進行剪、拼等操作，引導學生將三角形的面積與平行四邊形的面積聯系起來，將梯形與平行四邊形，或正方形與三角形聯系起來。在練習鞏固階段達到掌握，以變式練習鞏固這種轉化思想。最后在反思跟總結中實現深化，從而提高教學質量，發展學生的知識遷移能力和數學轉化思想。

3.強化課堂活動，感悟抽象知識

建構主義學說認為“數學知識不可能以實體的形式存在于個體之外”，所以真正的理解只能是由學生基于自己的經驗背景而建構起來的，學生的學習只能由學生自己來完成。但“圖形與幾何”領域的教學內容具有抽象性，小學生對于該領域的學習是有一定的困難的。

根據皮亞杰的認知發展理論，我們知道小學生的思維模式處于具體運算階段，思考的過程需要具體事物的支持。因此，在“圖形與幾何”領域中，一定要讓學生多動手操作，借由具體的教學工具提高對抽象的知識點的掌握。

因此，強化課堂的數學活動設計顯得至關重要。數學活動是小學課堂上學生數學學習的重要方式，讓學生在活動中經歷數學結論的發現、猜想、探究過程，是發展學生“四基”“四能”的必然過程。學生在數學活動中不僅有數學的發現，而且還能感悟數學思想方法、積累活動經驗，形成數學思維能力及必備品格。

[案例：滬教版數學五年級上冊第五單元“幾何小實踐”]

在《平行四邊形的面積》《三角形的面積》《梯形的面積》和《組合圖形的面積》課時中，我們設計了方格紙測量法和剪拼法的數學活動。

通過活動參與，讓學生自主探索平行四邊形、三角形、梯形面積計算公式的導出過程。經歷親身的具體實踐，學生更易掌握抽象的公式，并且更能靈活運用公式解決實際問題。

在這場數學活動中，學生可有多種不同的剪拼法，我們不止追求發展學生的動手操作能力，更意圖追求發展學生的多向思維能力，希望學生能在活動中找出多種剪拼方法。

在數學活動的最后，希望學生將具體的剪拼操作轉化為幾何思維中的割補法，達到從具體到抽象的深化。

4.融合信息技術，輔助知識理解

“圖形與幾何”領域知識點的抽象性和小學生的認知發展階段決定了小學生不易掌握該領域的知識點。

而信息技術的發展使得教師能夠通過視頻動畫、圖片等方式對學生所要學習的“圖形與幾何”知識進行展示，這對促使學生深入理解知識點，提升學生學習熱情與積極性均有非常重要的價值。利用多媒體可對抽象知識的重點、難點進行直觀講解，這對提升“圖形與幾何”領域的教學效率及學生學習成果均有非常重要的意義。

[案例：滬教版數學五年級上冊第五單元“幾何小實踐”]

在《平行四邊形的面積》《三角形的面積》《梯形的面積》和《組合圖形的面積》課時中，我們通過動畫功能，使平行四邊形、三角形、梯形在媒體上的分割、平移、旋轉成為可能，最后三者通過這一系列操作變成一個長方形的整個過程變得直觀形象，讓學生更能理解面積公式的生成過程，幫助學生深入掌握知識，而不是死記硬背。

（二）改革評價方式

隨著對評價研究的不斷豐富與深入，人們越來越認識到評價在數學教育中的價值多元性。《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出，評價應以促進學生發展為目標。21世紀以來的數學課程改革，愈發強調評價對于學生發展的激勵促進作用，而不僅僅是甄別作用。課堂評價是教學過程極為關鍵的環節，通過評價信息調節教師的教學行為，改善學生的學習狀況，培養學生自主學習和合作探究的良好習慣。

尤其是在“圖形與幾何”領域中，學生有很多進行數學活動的機會。在這種課堂上，教師的評價對學生的學習更有促進作用。因此，改革評價方式尤為重要。

1.過程性評價和結果性評價并重

過程性評價作為新課程倡導的評價理念，區別于結果性評價。它采取目標與過程并重的價值取向，對學習的動機效果、過程以及與學習密切相關的非智力因素進行全面的評價。目前的教學改革要求我們應采取結果性評價和過程性評價并重的評價方式，改變一味追求分數的評價現狀。過程性評價的實施過程應該包括以下幾步：

（1）明確評價意圖、確定評價目的

過程性評價要求我們既要關注學生數學學習的結果，更要關注他們在學習過程中的變化和發展，以教學結果和教學過程為對象，充分發揮評價的診斷功能，使學生形成正確的學習目的，形成對數學學習積極的態度、情感和價值觀。

[案例：滬教版數學五年級上冊第五單元“幾何小實踐”]

在這一單元中，本研究小組設置的評價目的是：①促進教學目標的實行，讓學生更好地掌握知識點，包括認識平行四邊形和梯形，掌握平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式，能靈活運用割、補、移等方法和已學五種圖形的面積計算公式來正確計算組合圖形的面積，更好地滲透分類、數形結合等數學思想方法；②發展學生動手操作、交流表達和多向思維等能力，促進學生的數學學習熱情；③讓學生知道自己的不足處和薄弱點，進行反思和針對性練習，從而提高學習結果。

（2）確定評價內容、設計評價指標

從“數學學業成果”“數學學習表現”“數學思維品質”和“數學學習情感”四個維度出發分別來設計過程性評價量表，將這四個維度作為過程性評價的一級指標，在一級指標下分設二、三級指標和評價內容。根據《上海市中小學數學課程標準（試行稿）》設立的“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“實踐與綜合應用”四大內容模塊的不同特點，可以針對性地深入設計評價內容。

[案例：滬教版數學五年級上冊第五單元“幾何小實踐”]

本單元隸屬“圖形與幾何”模塊，據此，我設計的評價內容如表2所示：

（3）選擇評價方法、設計評價工具

根據評價主體的不同，可以將過程性評價分為自評、生評和師評三大類。在過程性評價中，我們應采用三者結合的方法，以便從不同的視角了解學生的實際情況。

過程性評價的工具除使用紙筆進行測試之外，更加強調使用質性評價的方法，如課堂觀察、學習評價單等。由于任何一種評價方法與評價工具都不能完全評價出一個學生的全部素質與能力，所以對于學生學習的過程性評價，應當盡可能地采取多種評價工具。

[案例：滬教版數學五年級上冊第五單元“幾何小實踐”]

針對本單元，我設計評價方法和評價主體如表3所示：

（4）呈現評價結果、制定改進計劃

在評價結果的呈現上，要將量化表述和質性描述有機地結合。不僅要關注評價結果的準確、公正，還要強調評價結果的反饋以及評價者對評價結果的“認同”，強調師生之間的雙向溝通和協商。

[案例：滬教版數學五年級上冊第五單元“幾何小實踐”]

綜上，經過前三個步驟的設計，我針對五年級上冊滬教版數學《幾何小實踐》單元設計出了如表4所示的過程性評價單。

2.即時評價和延時評價共存

教學評價有很多種類型，至今沒有明確的分類標準。即時評價和延時評價是近幾年新提出的分支，對于這兩者的定義紛繁多樣。但可以確定的是，即時評價和延時評價都屬于過程性評價。

課堂即時評價可以看做評價者對于學生個體或者群體的多維度的課堂表現情況，通過直接的反饋方式，做出即時性的價值判斷。運用即時評價，可以：

（1）激發學習熱情

正面的即時評價會激發學生探究知識的欲望，使學生變得更自信、更陽光，在師生之間、生生之間的對話互動中讓學生慢慢變得更喜歡課堂、更喜歡數學。

[案例：滬教版數學五年級上冊第五單元“幾何小實踐”]

在《平行四邊形的面積》課時的導入環節中，我們會問：“同學們，我們之前是如何計算不規則圖形的面積的呢？”這時候，一定會有很多學生能回答：“借助方格紙。”我們可以選取平時不怎么發言的學生或者成績不是很好的學生來回答這個問題。通過教師言語的肯定和鼓勵，加強外部學習動機，促進學生的數學學習熱情。

（2）幫助融入課堂

小學生的有意注意已開始發展，但是無意注意仍占優勢地位，且持續性注意保持的時間還需要發展。這個特點決定了學生不可能完全在一節課中維持注意力，因此我們可以通過即時評價在學生晃神的時候將他們的注意力拉回來，集中在課堂上。

延時評價是一種在評價時機上與即時評價不同的評價方式，它強調為學生的探究、反思提供空間，使學生能夠更加深入地進行數學思考，因而在評價時機上會適當延后。運用延時評價，可以：

（1）發展數學思維力

在課堂教學中，由于學生受思維定式的影響或對解決問題所需的知識儲備不夠，時常會發生學生不能及時正確地反饋教師提問的現象。在這種教學困境中，我們可以采用延時評價，給學生一點思考的時間，并通過語言提示，引導學生找到正確的方法，激活他們解決問題的數學思維。

[案例：滬教版數學五年級上冊第五單元“幾何小實踐”]

在《三角形的面積》課時的新授環節中，我們會讓學生動手操作，通過兩個三角形的拼接，讓學生感知三角形面積和平行四邊形面積之間的聯系。這時候，如果學生找不到該聯系，我們可以通過“這兩個三角形通過旋轉之后，能拼接成什么我們已經學過的圖形”這種類似的提問促使學生進行深入思考，得到數學思維的發展。

此外，延時評價也能夠發展學生的多向思維能力。靈活性是數學思維的重要體現，而在問題解決過程中則表現為理解、思考數學問題的多角度性與多層面性。課堂中采用延時評價，能發展學生的這種多向思維能力，挖掘他們數學思維的深度。

[案例：滬教版數學五年級上冊第五單元“幾何小實踐”]

在《梯形的面積》課時的新授環節中，學生可能通過兩個梯形拼接成一個平行四邊形，也可能將平行四邊形剪成兩個三角形+一個長方形，或者剪成一個三角形+一個平行四邊形等等方法來推導梯形面積的計算公式。此時，教師能通過“你們還能想到別的方法嗎”“只有這一種方法嗎”等類似的提問來促進發展學生的多向思維。

（2）保護學習積極性

學生的思維發展和教師并不在一個水平線上，很多時候，他們不能完全回答出教師想要的答案。若此時教師直接批評，對于學生的學習效率而言，是不利的。同時，在這個批評中，也讓學生的思維發散性遭到了一定的打擊，對于學生的學習積極性是不小的傷害。而延遲評價則很好的規避了這一風險，教師可以通過“我們下課再思考一下”“和同桌一起討論一下”等類似的話語來保護學生的自信，讓學生能夠健康地成長。

三、研究成效

（一）學生獲益，發展數學思維能力

1.從“具體”到“抽象”

根據皮亞杰的認知發展理論，我們知道小學生的思維模式處于具體運算階段，思考的過程需要具體事物的支持。而“圖形與幾何”領域具有一定的抽象性。因此，我們旨在借由數學活動，通過具體的實物操作提高學生對抽象的知識點的掌握。

2.從“已知”到“未知”

充分考慮到學生的已有知識，通過優化教學設計，使學生能自主聯系“舊知識”和“新知識”，以“舊知識”為土壤，在“舊知識”中生長出“新知識”，發展學生的知識遷移能力。

3.從“聚合”到“發散”

條條大路通羅馬。不同于語文和英語，數學的答案是唯一的，但是解法卻是多樣的。對于學生而言，除了能正確解決問題，更要追求能靈活多樣地解決問題。這有助于學生的發散性思維，有利于初高中更有難度的數學學習。

4.從“0”到“1”，直至“∞”

數學教學不僅僅是為了教會學生數學知識，更重要的是讓學生自主建構數學知識；數學教學不僅僅著眼于讓學生掌握某節課時的數學知識，更重要的是促使學生掌握數學思想和方法，著眼于未來，著眼于學生的終身發展。

（二）教師獲益，促進專業發展

教學教學，教學相長，它是教師的“教”和學生的“學”兩者所組成的雙邊活動。我們所有研究的目的是為了促進學生的學習和發展，但反過來，這個研究的過程也促進了教師的教學能力和教研能力。

1.立足整體，重視“思考過程”

試想，如果我們單純只是為了得到正確答案，那么給出幾個公式，孩子們都會套用，這樣的課堂就失去了活力。所以整個單元設計，由四個主體活動構成，每個活動都為學生提供了廣闊的學習和思考的空間，設計一個思維沖突，讓學生去進行空間想象、有序思考、推理驗證，用一系列指向思考能力的活動引出概念，加深對概念的理解，挖掘出學生的求知欲。教師在活動中只是一個引導者，合作者，把學生引領到學習探究的路上。

2.啟迪思維，重視“方法評價”

學生數學思維能力一定是在平時的數學課程學習過程中逐漸積累形成的，因此除了活動的設計，加強對學習過程的評價顯得尤為重要。制訂評價目標，預設課堂情況，評價學習方法。方法不是一蹴而就的，有時由相關知識遷移而來，有時需要靈活變通，有時很接近了，但還需要調整和完善，用過程性評價來啟迪學生的思維，喚起探索欲望，讓學習思考真正發生。整個單元四個主活動，不是割裂的，用相同的策略去引導，從而形成思維習慣，久而久之就變成了一種穩定的思維品質。

四、問題思考

1.本研究是在分析本校個案后，通過經驗總結得出的結論。這些教學策略是否對別的學校也有效，是否對所有學生都有效，是否對“圖形與幾何”外的領域也有一定效果？這值得我們深思，也值得未來進行深入研究。

2.本研究旨在通過優化教學設計和改革評價方式兩方面，達到在“圖形與幾何”領域中，促進學生對知識點的掌握程度的目的。但教學設計和評價方式之間是否有交叉影響，又是如何互相影響的，本研究中并沒有具體體現。在情況允許下，本研究小組將會在后續設置對比組進行參照實驗。