談初中數學作業講評課中的三大抓手

李潔瓊

【內容摘要】數學作業是數學課堂的延伸與補充，是對所學知識的鞏固與檢驗，是教師對學生掌握知識程度的衡量與了解。作業講評課很容易上成是教師的“滿堂灌”，學生對于知識仍舊一知半解。一節好的作業講評課，離不開師生的互動配合。有效的課堂提問可以凝聚學生的注意力，活躍課堂氣氛;加強學生對知識點的理解，達到舉一反三的效果。

【關鍵詞】作業講評 幾何題 提問

習題是對學生所學知識點的反饋，是檢測學生是否掌握知識的重要憑證。在作業講評過程中，教師可以根據習題的難易程度，選擇不同的提問方式，幫助學生解決問題，本文將從以下三種提問方式展開探究。

一、開門見山式提問

簡單題考查的知識點單一，學生審題后可直接根據所學定理和結論來解答。像這類相對簡單的題目，教師可直接問學生“是什么”，由學生來講解。例如，已知：點P在∠BAC的平分線AD上，垂足為M，PM=3 cm，則點P到AC的距離是 ? cm。

對于普通學生而言，沒有圖形的幾何題讓他們摸不著頭腦，這時就需要學生抓住關鍵詞“角的平分線”。教師在講評作業時，可直接提問學生：“角平分線的性質是什么？點到直線的距離如何表示？”，讓學生根據問題理解、分析題意，解決問題。根據點到直線的距離的定義，PM可看作是點P到AB的距離，那么根據角平分線的性質定理可得：P到AB的距離等于P到AC的距離，因而得出P到AC的距離是3 cm。

在作業講評課中直問學生數學定理或公式，幫助學生回憶并鞏固所學知識;同時開門見山式的提問，簡潔明了，指向明確，便于學生集中注意力，抓住重點。對于直問“是什么”類的敘述性問題，問題簡單，答案確定，學生也敢于回答，這類提問有利于增強學生的自信心。在師生間的問答中，增加了師生交流，實現了師生的互動，有利于提高課堂教學實效。

二、層層遞進式引問

難度中等及以上的習題，尤其是幾何題，圖中出現較多的線和角，學生易產生混亂，難以找到正確的解題方向。在作業講評時，可以將題目條件進行拆分，化整為零，通過由易到難的階梯式提問，層層遞進，逐步引導學生化繁為簡，突破難點，找到正確、便捷的解題思路。

例如：如圖1，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，求證：BE=CF。

本題綜合考查了角平分線、垂直平分線的性質及三角形全等的判定與性質，難點在于證明時需添加輔助線。在分析過程中，可引導學生將條件分解，梳理解題思路。

提問1：已知條件涉及了哪些較特殊的線？

答：角平分線和垂直平分線。

提問2：哪一條是角平分線？有什么結論？

答：AD平分∠BAC，又DE⊥AB、DF⊥AC，則根據角平分線的性質定理，易得DE=DF。

提問3：垂直平分線呢？有什么性質？

答： DG垂直平分BC，所以點D到線段BC的兩個的端點的距離相等。

（根據學生的應答，引導學生添加輔助線，連接CD、BD，如圖2。）

提問4：你學過哪些方法可以證明兩條邊相等？

答：可通過所在的兩個三角形全等得到對應邊相等、角平分線上的點到角兩邊的距離相等、垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。

提問5：觀察圖中BE和CF的位置，用什么方法來證明它們相等？

答：兩個三角形全等，只需證明△CDF≌△BDE，即可得對應邊BE=CF。

授人以魚不如授人以漁，教會學生將一個中等難度的綜合題抽絲剝繭，最終解決問題，是作為一名初中教師必須具備的素養。像這一類循序漸進地引問，在學生解答時進行提示，減小問題的難度，不僅有利于學生從單純的知識理解上升到將這些知識靈活運用，還有助于提高學生的問題分析與問題解決的能力。

再如，如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，點E為AD邊上一點，連接BD、CE，CE與BD交于點F，且CE∥AB，若∠A=60°，AB=4，CE=3，求BC的長。

本題考查的是垂直平分線、等邊三角形的判定與特征，以及勾股定理的運用。它存在一定的難度，通過層層遞進的引導式提問，激發學生的探究熱情，提高學生數學學習的興趣。

提問1：條件AB=AD，BC=DC，你能得到什么結論？

答：點A與點C到B、D兩點的距離相等，得AC是BD的垂直平分線。故可作輔助線，連接AC，則AC⊥BD，如圖4。

提問2：由AB=AD，∠A=60°，又得到什么結論呢？

答：△ABD是等邊三角形，得AB=AD=BD=4;又AC⊥BD，由三線合一可得BG=DG=2，∠BAC=∠DAC=30°。

提問3：條件CE∥AB，這兩條線平行，又能得出什么呢？

答：由兩直線平行，內錯角相等，得∠BAC=∠ACE=30°，通過等量代換得到∠DAC=∠ACE=30°;又由等角對等邊，可得AE=CE=3，所以DE=1。同時兩直線平行，同位角相等，所以∠BAD=∠CED=60°，得△EFD是等邊三角形，DF=DE=1，所以GF=DG-DF=1。

提問4：現已有AC⊥BD、BG=2這兩個結果，該怎么求BC呢？

答：在Rt△BGC中，通過勾股定理可求斜邊BC的長。

提問5：但是要求斜邊，必須先求出另一直角邊CG的長度，CG放在哪個直角三角形中來求呢？

答：在Rt△CFG中，∠ACE=30°、GF=1，因為30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得CF=2，由勾股定理可得CG=3。最后，在Rt△BGC中，BC=BG2+ CG2=22+（3）2=7。

綜合題與簡單題的區別在于無法一眼就能說出答案，它是環環相扣，層層遞進的，需要發揮學生的邏輯思維能力，按部就班，逐步解決問題。層層遞進式的提問，充分考慮了學生的接受程度，通過提問為學生架設了解決問題的橋梁，降低了難度梯度，解決問題的同時提高了學生對數學學習的興趣，增強了他們的探究意識，為學生以后的自主學習與探究打下基礎。層層遞進式的提問，是為了給學生指引思考方向，培養學生在學習生活中養成獨立思考、積極探索的習慣。

三、豁然開朗式激問

在習題解答時，學生易受到思維定勢的影響，雖能解決問題，卻少了打破砂鍋問到底的探究精神，這時就可以通過激問來激勵學生進行更深層次的思考。例如：“思考一下還有其他解決問題的方法嗎？”，這既充分肯定了學生的解題思路與過程，還鼓勵學生跳出固有的思維模式。有時，換個方向考慮，也許會有預料不到的驚喜。

例如：如圖5，在△ABC中，AB=AC，M、N在BC上，且AM=AN，試說明BM=CN。

學生的解答：（1）∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等邊對等角），有AB=AC、AM=AN、∠B=∠C兩邊一角對應相等，學生很輕易地聯想到證明△ABM≌△ACN，就可以得出BM=CN的結論。

提問1：這三個條件能否證明兩個三角形全等？通過提問設疑，引導學生回顧兩個三角形全等的條件有哪些。

答：三角形全等的條件有：SAS（兩邊及其夾角對應相等）、ASA（兩角及其夾邊對應相等）、AAS（兩角及其對邊對應相等）、HL（直角邊斜邊對應相等）、SSS（三邊對應相等）;兩邊一角證明全等時這個角必須是兩條邊的夾角。讓學生自己發現問題，達到化錯為對的目的;然后追問，那該如何證明全等呢？

提問2：那么換成是什么條件來證明△ABM≌△ACN？

答：兩角一邊對應相等。

提問3：已經有∠B=∠C這一對角相等，還需要哪兩個角相等呢？

答：∠BAM=∠CAN或∠AMB=∠ANC，就能根據AAS證明兩個三角形全等。而無論哪一組角相等，都需要借助條件AM=AN來得到∠AMC=∠ANB。

提問4：你們還有其他解答方法嗎？能不能不通過證明三角形全等就得到所需的結論呢？

在問題得到解決后繼續追問，吸引學生的注意力，引發他們的好奇心，調動學生大腦的運轉，讓他們不斷地思考。這樣的提問有利于學生保持興奮度，在作業講評課中，需要學生全身心地投入，積極思考。在作業講評課中，教師根據學生的應對及時給出提示，在關鍵處不斷發問，引導學生換一個思路，可以讓學生感受到數學的獨特魅力，并且收獲成功的喜悅。

提問5：條件AB=AC也就是說明這是一個等腰三角形，那么等腰三角形有什么性質或特征嗎？可以用等腰三角形的性質來證明BM=CN嗎？

教師不斷強調等腰三角形，暗示學生聯想到等腰三角形的三線合一，所以添加輔助線AD：如圖6，作AD⊥BC，垂足為D。在等腰△ABC和等腰△AMN中，由三線合一可知，AD是BC和MN上的高，所以BD=CD、MD=ND，所以BM=CN。

問題解決：∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD（三線合一）

∵AM=AN，AD⊥BC，

∴MD=ND（三線合一）

∴BD-MD=CD-ND即BM=CN。

這個過程相較而言更加簡潔明了，但是學生往往想不到，通過師生間的問答，逐步引導，可以讓學生有一種豁然開朗，柳暗花明又一村的感覺，讓學生頓覺原來還可以這樣做。不僅充分調動了學生的積極性，突破了學生的思維定勢，還有利于發展他們分析問題解決問題的能力。

數學作業講評課是新授課的延伸與補充，不僅是糾正作業中的問題，更是培養學生實現由了解知識向運用知識轉化的重要過程。通過師生間的提問與回答，幫助學生鞏固所學知識點，提高學生的創新思維能力。不同難度的習題，可以采用不同的提問方式，讓作業講評課變得富有生機，讓學生的學習能力不斷得到提升，達到“問”故知新的效果。

【參考文獻】

[1]蔡世森.如何上好作業講評課[J].教學與管理，2003（6）：27.

[2]楊永剛.談數學課堂提問的藝術[J].甘肅教育，2018.

[3]趙連平.淺談初中數學課堂教學中提問的藝術與策略[J].神州，2012（4）：233.

（作者單位：蘇州市吳江區北厙中學）