一題多解在中考復習中的應用與思考

信琴琴

(華中師范大學廈門海滄附屬中學 福建廈門 361026)

在第一輪中考復習中，所有學生主要以落實基本知識和基本技能為主，但學有余力的學生要能構建初中數學的知識體系，并且理清知識之間的聯系。以相似三角形和銳角三角函數為例，人教版教材將銳角三角函數放在相似三角形之后，這兩者之間的共同之處都是求線段的比值問題，但銳角三角函數是利用相似的直角三角形得到的，所以可以看作相似的一個特例，從本質上講，它也可以看作是相似問題。為了通過題目使學生更加清楚這兩者之間的關系，需要教師認真選題，并認真研題，通過解題析題過程，讓學生以后遇到線段的比值問題時能夠快速確定解題方向和策略。

一、題目選取

（2020福州二檢）已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB邊上一點，連接CD，E是CD上一點，且∠AED＝45°.

（1）如圖1，若AE＝DE，

圖1

①求證：CD平分∠ACB；

（2）如圖2，連接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值。

圖2

二、了解問題

本題在等腰直角三角形的背景下，已知一個特殊角，問題（1）中增加線段相等的條件，要求證CD平分∠ACB，同時還要求線段的比值，如何尋找本題的突破口？這些條件該如何使用？

問題（2），改變條件，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值。而我們知道解題的關鍵求出AE和BE之間的關系。

三、擬定計劃，實現計劃

因為已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，故∠B=∠ACB=45°。

對問題（1），根據已知條件，∠AED＝45°，AE＝DE，則∠EAD=∠ADE=67.5°。

①求證：CD平分∠ACB。只要想辦法證明∠ACD=∠CAE即可解決問題。

解法1：利用外角，因為∠ADE=67.5°，∠B=45°，所以∠ACD=22.5°，因此∠CAE=22.5°，解決問題。

解法2：利用直角三角形兩銳角互余，因為∠BAC＝90°，∠ADE=67.5°，所以∠ACD=22.5°，得證。

圖3

分析：根據①中CD平分∠ACB的結論，聯想到角平分線的性質，嘗試解決問題。學生能利用角的平分線的性質，證明與線段相等有關的問題。這里可以考查學生運用角平分線的性質解決幾何問題的能力，以及對添加的輔助線的掌握情況。

除了這種方法，你能嘗試用其他方法解題嗎？可以試試看。這樣的設問可以撥動學生的好奇心，激發數學學習的原動力，尤其是初三學生，已經儲備了很多知識，當然躍躍欲試，并且往往會收到較好的效果。學生會發現數學開始變得“好玩”起來。很快就會有其他做法。

圖4

圖5

解法1：三角形相似

圖6

解法2：構造手拉手模型

圖7

解法3：構造弦圖模型

圖8

圖9

綜上，求線段比值的問題時，我們常借助相似三角形或者銳角三角函數，如何構造值得思考。通過解題、析題的過程，最后讓學生感悟，可以添加平行線，構造“8字型”形似或者“A字型”形似；或者作垂線，構造直角三角形，達到解決問題的目的。

此外，通過解題析題過程，讓學生進行歸納總結，遇到求線段比值問題的題目時，可以通過添加輔助線（平行線、垂線等），構造相似三角形或者直角三角形來解決問題，達到多題一解的目的，使學生明確解題方向。

四、回顧反思

教師不能單純地搞題海戰術，我們首先要明確所選例題要使學生掌握什么知識，明白什么知識之間的關系，以學生為主體，從學生的認知角度出發，然后引導學生進行數學思考，搞清楚知識的來龍去脈，并不斷讓學生總結各類問題的解題策略和思路及所用到的知識點，通過思考，發現問題，進一步反思，真正感悟到例題所發揮的價值，以發展學生的創新意識和應用意識。

在解題過程中，我們不斷引發學生進行思考，讓學生充分思考，確定不同的解題的方向，則能使不同的學生得到不同的發展。在教學過程中，教師應認真鉆研教材和題目，并且嘗試從多個進行解題，進而引導學生嘗試用多種方法解題，且對各種方法進行對比歸納，以此拓展學生的思維，提高學生分析問題和解決問題的能力。

五、教學思考

（一）提煉基本模型，引導方法選擇

在平時的習題教學過程中，教師不能單純為了講題而講題。在每節習題課前，要認真鉆研教材和題目，引導學生從多個角度尋求解題思路，并制定相應的計劃進行嘗試，在嘗試過程中，讓學生感悟解題方向對解題的影響，培養學生發現問題、分析問題和解決問題的能力。通過這種引導，可以改善學生的數學學習方式，使學生的思維得到提升。最后，還要對題目進行回顧，對解題方法和思路進行歸納總結，讓學生的學習不再是單純地解題。

（二）注重一題多解，提高解題技巧和能力

《課標》指出，數學課程要讓學生獲得適應社會生活和進一步發展所必須的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。因此，在解題過程中，教師一定要帶著學生充分挖掘題目中條件隱藏的信息，分析條件特征和圖形特征，通過分離基本圖形、基本模型等，尋求突破口，并且要多問問還有沒有其他解法。課堂上讓學生盡可能展示不同的解題方法和思路，并讓學生對比不同方法的優劣，以及在什么條件下選擇什么樣的方法更佳。通過一題多解的訓練，可以使學生在解題思維上更靈活，思路更廣，而且能培養學生分析問題和解決問題的能力。

綜上，在平時的教學過程中，要以《課程標準（2011年版）》為基本依據，仔細研讀教材，精選優選題目，根據學生實際和課標的要求用好教材，用好例題，切實培養學生的核心素養，拓展學生的數學思維。