從應用實例出發的線性代數教學模式探討

◎馬紀英 (石家莊郵電職業技術學院，河北 石家莊 050000)

作為基礎數學課程之一，線性代數在培養學生的抽象思維、計算與邏輯推理等能力中起到了關鍵的作用.想要通過線性代數來強化學生實踐應用能力，教學中應先打好知識基礎，再增強學生應用知識處理實際問題的能力.在“知識爆炸”的素質教育時代背景下，從應用實例來展開線性代數課程教學并增強學生應用能力尤為重要.

一、線性代數基于應用實例展開教學的必要性

作為非數學專業的一門必修課，線性代數的基本理論及方法在物理、數學等學習中存在很重要的應用，是學生學好數學、專業課必備的一門儲備知識課程.這門課的特點就是涉及廣泛概念抽象，經常被視為符號數學，理解、學習起來異常困難.但是，線性代數具有豐富的推理內容，在幫助學生增強邏輯思維、歸納判斷、問題分析與解決等方面的能力具有深遠的意義，同時能促進學生掌握數學思想、提高數學素養等.在傳統的線性代數課程教學模式下，數學老師主導學生的學習，學生甚少思考，老師也極少關注到學生應用能力的提升.但實例應用基礎下的教學模式則有別于以往的教學模式，常以學生為課堂核心，引導學生化被動為主動，從學生的興趣點切入線性代數，以激起他們更強烈的學習動力與求知欲望.如此一來，通過應用實例，師生更多地交流、互動，更有效地幫助學生進一步提高學習線性代數的效率.所以，老師扮演的是課堂的引導者，并不是單純的教書者.通過設置適宜的實例、創新教學模式等來幫助學生提高能力與素質已然發展成為革新線性代數的一大趨勢.

二、從應用實例來展開線性代數課程教學的有效模式

1.注重應用背景分析，介紹知識源頭

線性代數中，概念相對抽象，要深入理解基礎概念，不僅需要掌握概念的內涵及外延，而且還應介紹有關知識的背景資料及發展情況，融入一些兼具創造力與想象力的有趣數學故事.這么一來，便能幫助學生大致了解知識的源頭，并拓寬學生的學習面，提升學生的數學素養.

譬如，在線性代數中，矩陣是基礎理論.為更深入地理解、學習矩陣概念，教學中可基于三家工廠均加工4種產品的應用實例，來假設首家工廠加工的4種產品是首行，而第二家工廠加工的4種產品是第二行，第三家加工的4種產品是第三行，然后形成具有三行四列的一個表格，以體現出以上三家工廠加工出來的4種產品加工水平，再從表格內部統一抽象出基本的矩陣概念.在以上運算的過程中，除了有提出矩陣基礎概念外，還讓學生體會到應用矩陣的現實意義.此外，為了剖析矩陣運算，教師引導學生通過矩陣A、B依次來代表2018、2019年以上三家工廠加工的4種產品產量，再加上A、B相對元素形成的矩陣，就是這兩年來以上三家工廠加工各種產品的總水平，然后順勢引出矩陣加法.

又如，基于旋轉變換基礎下的合成問題來導入矩陣乘法；基于信息編解碼應用問題來導入逆矩陣基礎概念及逆矩陣的求解方法；基于幾何向量共面問題來分析向量組之間的線性相關性；基于工程技術領域振動應用問題來引進特征向量、特征值的基礎概念并分析有關理論等.同時，教師還應盡量使用學生熟悉的生活中的應用案例來導入“線性代數”領域的基礎概念，以引導學生了解線性代數和生活實踐的關聯性.針對這樣的現實問題，學生就可以及時轉化成數學問題，并通過數學知識來正確解答.在上課時通過實際問題，導入數學概念及方法，學生便能更深刻地體會數學的優勢，了解實際問題和理論知識的關聯.

2.引進建模思想，理論與實際相聯

數學建模是指基于數學語言，經過簡化抽象可以模擬并處理實際問題的一種數學模型，再經由數學模型來處理實際問題.作為有效的數學方法之一，建模法通過數學語言描繪具體現象，有助于學生理解、延伸知識，并學會聯系數學理論和實踐問題，來充分彰顯數學價值，形成培養創新應用型人才的一種教學模式.

譬如，在學習“線性方程組”中，教師便可這樣提問：某市區施行單行道的通行規定，并已測得幾個交通路段的通行流量(車輛數/時)，請問可否計算出各個路段上的通行流量？倘若不可以，需要哪些交通路段再增設相應的監測點，就能夠算出各結點的通行流量？

解析假定各結點的流入流量與流出流量相等(見圖1).按照題中等量關系成立方程組(單位：百輛)：

以上從實際問題出發，通過抽象得到線性方程組，引導學生深入體會創建模型的整個過程.在告知學生線性方程組的具體解法后，再分析解答該方程組，求得以下一般解：

所以，僅僅需要測得路段x5的通行流量，就能夠算得其余路段的通行流量.例如，如果檢測得到x5=2，則x1～x4依次為3、5、9、6(單位：百輛).依此結論，x3段上通行著最多的車輛，需要重點做好疏通工作.

此外，“線性代數”教材中涉及的很多基礎概念、方法，均滲透著基礎建模思想.基于數學建模的手段逐步引進數學基礎理論，除了可以引導學生深刻體會建模全程外，還可以教會學生理論與實際相聯的方法.同時，學生還能在一個愉悅的環境中，掌握難懂的代數知識，達到事半功倍的效果.然而，考慮到線性代數只有有限的課時，倘若設置的實例太過復雜，則在教學中就會問題復雜化.因此，教師在具體建模中，要選擇簡單的可直觀體現知識的教學實例.此外，針對有興趣深入探討建模知識的學生，教師還可教導他們廣泛收集建模資料，認真查閱刊物上與數學建模有關聯的論文，并多多鼓勵他們加入建模競賽活動.這么一來，便能夠有效培養學生的自主創新能力，充分調動他們學習、探索數學知識的積極性.

3.基于數學軟件增強學生知識應用能力

為了有效培養優秀的應用型人才，促進學生逐步增強實踐應用知識的技能，應在平日的教學中，融合有關的計算機應用軟件工具.例如，MATLAB軟件就是一款專門針對數學科學的計算軟件，為學生營造一個可視化、交互式的計算環境，并程序化“線性代數”中的行列式、矩陣、線性方程解答等的數學問題，并統一提出可廣泛通用的一種方案.因此，從某種程度上講，軟件工具MATLAB剛好能夠達到“線性代數”教學的目標.

所以，學習“線性代數”可從線性方程組、行列式、逆矩陣等出發，適當穿插講解軟件工具MATLAB，再利用兩課時，引導學生展開上機操作，學會通過計算機軟件來正確解答線性代數中常見的計算行列式、求解線性方程組、計算逆矩陣等方面的實際問題.在這樣的上機實踐教學模式下，從應用實例出發，可以收到以下效果：一方面，傳統求解數學問題的方法都是直接解答，而應用軟件來處理數學問題的方法則十分新穎，能夠引導學生深入體會計算機處理數學問題的新內容.另一方面，為了培養應用型優秀人才，應注意在實踐中有效聯系理論知識，重結果而輕過程.因為基于數學軟件的教學模式，僅需要從實例出發來操作軟件，整個計算過程是經由軟件工具來完成的，無須從數學上予以推理論證.以上是學生在畢業以后，面臨實際問題會經常用到的一種辦法，在培養教育應用型人才方面必不可少.

4.按專業特點設置應用案例

在大學一般會在一年級開設“線性代數”課，學生一般認為該門課就是純粹的數學課，內容與專業學習無甚聯系，很多學生對這門課程逐步失去學習的興趣及動力.鑒于此，教師應避免純粹地講授“線性代數”知識，而要從學生的專業出發，在具體的教學中盡量選用與專業知識有關的應用實例，展開實際問題并深入提煉理論知識.再反過來活學活用，正確解答實際問題，盡可能地彰顯出“線性代數”的典型專業特點.

譬如，在學習“線性方程組”時，針對經管類學生，可選用有關生產、運輸交通等領域的勞動力分配劃分、資金分配等的應用實例；針對電信類學生，可選用有關網絡的應用實例；針對信息或計算機類學生，可選用圖形處理的應用實例；針對地理類學生，可選用行星軌道應用實例等.

三、結語

總之，講授線性代數應聯系基本理論與實踐應用，引導學生學以致用，增強學習知識的欲望.同時，任課教師還應幫助學生拓寬知識面，熟練掌握本專業知識的同時，結合其他專業的相關知識，增進交流溝通，基于與其他專業相融合的應用實例，帶領學生更深入地學習.這么一來，便能及時革新線性代數的固化教學模式，推行理論聯系實際的教學模式，為社會培養出大量的應用型優秀人才.