體驗歸納猜想，踐行核心素養
——“等比數列”教學案例分析

◎殷 濤 (南京市金陵中學,江蘇 南京 210005)

引 言

等比數列這一章節的內容是高中數學的重點和難點.等比數列章節知識主要包括等比數列的概念、定義以及前n項和的求解公式等內容.為了降低學習的難度，教師往往從學生較為熟悉的內容入手，采用多媒體視頻或者數學趣味小故事來導入課程.學生在驗證數學趣味小故事的時候，會不斷靠近等比數列的學習內容，在猜想、歸納和總結中得出等比數列的公式.這種方法不僅可以提高學生學習的興趣，還可以將數學與生活整合在一起，踐行數學的應用性特點，對于學生核心素養的培養有著促進作用.

一、教學設計思想

(一)設計理念

隨著新課程改革的不斷深入，教師要秉持著因材施教的理念，在設計課堂教學過程中要面向全體同學，以達到“想學習的人均可以獲得數學知識”的目的.在設計前期，教師需要將三維教學目標與核心素養內容進行整合，邀請學生一起互動，培養他們良好的情感、態度和價值觀，進而幫助學生樹立正確的數學觀.在教學時，教師需要引導學生從簡單內容的學習過渡到核心知識上.在這個過程中，學生在頭腦之中會對知識結構進行重組，數學思維得到激發.在引用例子的時候，教師往往會聯系生活實際，讓學生感到數學學習的意義，從而培養他們的社會意識，明確生活化數學的科學合理性.

(二)設計背景

傳統的課堂教學以學生數學知識和解題能力提升為主，很少涉及核心素養內容，導致學生數學學習枯燥乏味，數學與日常生活相互獨立，不利于學生綜合能力的提升以及核心素養的培養.新課程標準理念需要教師重新認識數學學習的價值，充分研讀高中數學課程大綱，深入理解核心素養的內涵，突破傳統的教學方式，創新教學的方式，激發學生的學習興趣，培養學生的核心素養.這就需要教師既要幫助學生鞏固基礎知識，還要幫助他們在學習的過程中學會歸納總結和自主探究，發展學生的數學思維，提高學生的數學綜合能力.

二、教學目標

(一)知識目標

1.引導學生掌握等比數列的定義，會根據定義判斷某數列是否屬于等比數列；掌握等比數列的前n項和公式，并應用等比數列的前n項和公式靈活解題.

2.引導學生學會等比數列的表示方法，靈活運用通項公式求等比數列的首項、公比以及指定項；引導學生掌握前n項和的推導過程.

3.通過通項公式認識等比數列的性質，運用前n項和公式來解決生活中的某些實際問題.

(二)能力目標

通過對等比數列概念、通項公式的學習，逐步培養學生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質，并在前n項和公式的推導過程中體會分類討論的思想方法.

(三)情感態度價值觀

通過學習等比數列的概念，培養學生嚴密的思維習慣以及實事求是的科學態度；通過對等比數列的學習，讓學生認識到數學學習的應用價值，幫助他們樹立正確的價值觀.

三、教材分析

(一)知識結構

等比數列與等差數列是高中教材中的重點內容.在教材結構安排上，教師往往是帶領學生進行等差數列的學習，然后采用類比的方法，歸納出等比數列的定義，推導出相關的公式.同時，等比數列的前n項和又是另外一個學習的重點，其內容要比通項公式復雜得多.在等比數列前n項和的學習中，往往采用分類討論的思想來思考不同條件下的前n項和公式，這有利于培養學生科學嚴謹的數學思維.

(二)重點、難點分析

1.教學重點

等比數列的定義；通項公式；等比數列前n項和公式的推導、證明以及應用.

2.教學難點

等比數列通項公式及前n項和公式的推導以及靈活應用.

四、教學過程

(一)創設情境，由生活問題向學習內容貼近

教師為學生創設問題情境.

在很久以前，古希臘國王發現了64格棋盤的趣味性，決定要大大嘉獎發明它的宰相，并允許其說出想要的獎品.宰相的賞賜要求很簡單，即在棋盤的第一格子內放一粒麥子，第二個格子內放兩粒麥子，此后每個格子的麥粒數目都是上一個格子的二倍，他就要這64格棋盤上擺滿的麥粒.國王一聽，認為這個賞賜太簡單，便隨口答應了下來.那么問題來了，這64格棋盤究竟可以放多少麥粒呢，國王是否會真正的答應他呢？

師：同學們你們如何來計算這道趣味數學題目呢？

生：(思考之后)這相當于求1+2+22+23+24+…+263，化簡的結果為264-1，通過計算機可以發現其結果約為1.84×1019，那么這么多麥粒到底有多重呢？我們可以將抽象的數字細化為生活中常見的重量單位.一千粒麥子的重量約為40克，那么這堆麥粒的總重量大約為7000億噸，為此國王應該不會同意宰相的要求.

【設計意圖】通過創設數學問題情境，可以將枯燥乏味的數學知識與生活實際內容緊密地聯系起來，讓學生真正地意識到數學來源于生活，又應用于生活.從而激發學生的學習興趣，使學生積極地投入到教學活動之中.

(二)在小組合作探究中，提升數學核心素養

師:剛才我們解決了麥粒問題，如果將20、21、22、23…264排列在一起，可以發現這是一個等比數列，而那個相加的公式便是等比數列的前64項求和公式.從這個特殊的案例，我們是否可以嘗試推導一下常規情況下的等比數列前n項和公式呢？

生1：我知道這是運用了類比的方法，根據特殊情況來類推常規情況.我們可以觀察麥粒求和的公式來發現等比數列的前n項和公式.

師:這位同學說得非常對，我們可以利用麥粒求和算式來類推等比數列的前n項求和公式，大家以小組為單位，嘗試一下能否推導出來這個公式呢？

小組以前后桌為單位開展了小組合作學習，運用集體的智慧來推導求和公式.教師在這個過程中巡視，并對學生們在討論過程中遇到的問題進行適當的點撥.當所有的小組討論結束后，教師邀請一名同學上臺演示推導過程.

【設計意圖】新課程改革背景下，教師要引導學生開展小組探究合作，來幫助學生相互學習、優勢互補，不僅可以提升數學教學的質量，還可以培養學生的合作意識以及探究精神，達到培養核心素養的目的.

(三)學以致用，提高學生的數學應用能力

教師利用多媒體課件為學生出示例題1.

教師邀請兩名學生上臺進行演示，其他學生在下面利用草稿紙進行計算.

【設計意圖】在上面的教學環節中，教師剛剛帶領學生推導出公式，學生的印象比較深刻，正所謂趁熱打鐵，教師立刻為學生布置較為簡單的例題，來幫助他們鞏固基礎.同時，教師還可以幫助學生糾正錯誤，并強調書寫的規范性，以此來提高學生的計算能力，培養他們良好的計算習慣.

教師為學生出示例題2.

某大型商場為了增加營業額，籌備了某方案，方案之中預計今年要銷售計算機5000臺，假設此后每年的銷售量均比上一年增加10個百分點.問：從今年開始，大約幾年可以使總銷售量達到30000臺.(結果精確到個位)

教師引導學生分析問題，可以發現基數是5000，增長的比例為10%，最終銷售的總量是30000.與本章節內容相聯系，就可以發現利用這些數學元素可以構建一個等比數列的關系式，所求解的n即為最終答案，通過帶入公式求得n的結果為10.為此，大約十年可以使銷售的總量達到預期的30000臺.

師：通過分析這道應用題，我們可以總結出相應的答題步驟.首先，閱讀題目，尋找數學元素，構建數學模型.然后，分析數學模型，利用數學知識解答相應的實際問題.最后，將數學答案與實際問題所求的量進行對接，并結合實際情況思考答案是否正確.

【設計意圖】數學知識來源于生活，自然也要用來解決實際的問題.在平時的教學過程中，教師要善于尋找符合生活實際的例子，而不是直接以數字的形式呈現給學生，這樣可以幫助學生培養生活化的思維.同時，教師還要引導學生善于發現生活中的數學問題，并選取合適的數學模型來解決數學問題，從而培養他們的解題能力，為數學核心素養的培養奠定基礎.

教師見到學生的學習熱情比較高，于是給學生布置一道自主練習的題目：

窮人向地主借錢，吝嗇的地主竟然滿口答應了下來，地主每天給窮人100塊錢，窮人從第一天開始還給富人一分錢，第二天還2分錢，此后每天所還錢數均為前一天的兩倍，約定期限為30天.問，最后窮人能否盈利.

學生自主思考問題，可以適當進行小組討論.教師巡視，觀看學生自主解題的成果.當大部分的學生解答完問題之后，教師邀請一名同學上臺分享自己的解題思路和解題過程.

生：首先要計算地主總共給了窮人多少錢，即T=100×30=3000元.然后計算窮人還給富人多少錢，即a1=1,q=2，單位為分，將其帶入到等比數列的前n項和公式中，換算之后可以得出S=10737418.23元，最后通過對比可以發現窮人最后虧了上千萬元.

師:這位學生做得非常好，這道題表面是一道比大小的問題，但是如果將數學元素找出來，并進行數學建模，可以發現其本質是等比數列前n項和的應用案例，同學們可以細細感悟一下這種思想轉化法的運用.

【設計意圖】布置這種數學問題的核心目的是鞏固等比數列前n項和的知識，輔助目的則是提高學生的學習興趣，激發他們的學習積極性以及自信心，從而構建高效的數學課堂，培養學生們的數學核心素養.

四、教后反思

數學核心素養并非借助某一節課程就可以培養成功，但是教師需要將數學核心素養的內容細化到每一節課中，甚至細化到每一個環節之中.在教學前期，教師要制定與核心素養相關的教學目標.然后深挖教材，制定科學合理的教學計劃，在各個環節融入核心素養.從本節課的教學情況來看，我主要講解等比數列中的一小節,即等比數列前n項和的推導與求解.在教學方法上，我利用情境教學法、生活化教學法、多媒體教學法等多種方法來豐富數學課堂，不僅幫助學生理解并掌握了相關的知識，更重要的是提高了他們的數學綜合能力，培養了他們的核心素養，這既符合新課標的要求，也是高中數學教學改革發展的必然舉措.

五、結論

通過上面的分析，我們可以發現高中數學核心素養的培養是一項長期的任務，任重而道遠.在應試化教育思想的影響下，高中數學教師想要改進自己的教學方法存在一定的難度.但是教師應該認識到核心素養的價值，通過培訓、網絡學習等手段提升自身的專業素質以及教學能力，探索培養學生核心素養的更優方法，從而提高高中數學的教學質量.正所謂“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索”.盡管現階段高中數學核心素養的培養尚且存在著問題，但是我們要始終堅信，在教師、學校以及學生的共同努力下，高中數學核心素養的培養任務定然會取得較大的突破.