多層次思維分析 多角度嘗試切入
——一道中考題的教學(xué)分析和啟示

◎陳 邠 (江蘇省蘇州市覓渡中學(xué),江蘇 蘇州 215000)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)提出有效實(shí)踐應(yīng)用的要求，即要求學(xué)生把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換成簡單的圖形，并通過分析圖形解決問題.本文以2019年蘇州市中考第27題為例，帶領(lǐng)學(xué)生一起嘗試從多角度分析圖形，探究高效解決圖形綜合題的途徑.引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生耐心細(xì)致、逆向剖析等多種思維品質(zhì).

1.試題呈現(xiàn)及分析

1.1 試題呈現(xiàn)

(1)直接寫出動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為________cm/s，BC的長度為________cm.

(2)如圖3，動(dòng)點(diǎn)M重新從點(diǎn)A出發(fā)，在矩形邊上按原來的速度和方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，在矩形邊上沿著D→C→B的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為v(cm/s)，已知兩動(dòng)點(diǎn)M、N經(jīng)過時(shí)間x(s)在線段BC上相遇(不包含點(diǎn)C)，動(dòng)點(diǎn)M、N相遇后立即同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，記此時(shí)ΔAPM與ΔDPN的面積分別為S1(cm2)，S2(cm2).

①求動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)速度v(cm/s)的取值范圍;

②試探究S1·S2是否存在最大值，若存在，求出S1·S2的最大值，并確定運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的值；若不存在，請說明理由.

1.2 試題分析

本題是四邊形綜合題，涉及了矩形的性質(zhì)、函數(shù)的圖像和性質(zhì)、三角形面積公式、梯形面積公式、平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn).本題綜合性強(qiáng)，正確理解函數(shù)圖像、合理分割圖形是解題關(guān)鍵.本題的三組問題對讀圖和分析的要求依次遞增，內(nèi)容上又前后聯(lián)系，較為全面地考查了學(xué)生的幾何直觀能力，試題信度、效度和區(qū)分度較高.本題雖為中考題，但對新初三學(xué)生來說，完全可以利用已學(xué)知識(shí)來解決.

2.教學(xué)過程分析

2.1 初級(jí)讀圖能力

解答第(1)小題的要求為具有初級(jí)讀圖能力，結(jié)合圖1和圖2，認(rèn)識(shí)到M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2.5秒時(shí)在B點(diǎn)，易得M點(diǎn)的速度.M點(diǎn)從B點(diǎn)到C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了5秒，進(jìn)而可得線段BC的長度.學(xué)生只要看懂此一次函數(shù)圖像中轉(zhuǎn)折點(diǎn)的含義就能解決問題，大多數(shù)學(xué)生可以很快完成.個(gè)別學(xué)生讀圖時(shí)誤將7.5秒當(dāng)作M點(diǎn)在線段BC上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求得線段BC的長為15厘米，導(dǎo)致下面的解答完全錯(cuò)誤.由此可見，在課堂練習(xí)中，學(xué)生都很容易忽視細(xì)節(jié)匆忙答題，那么在中考這樣高強(qiáng)度高壓力的狀態(tài)下，面對信息量較大的題時(shí)，學(xué)生更容易忙中出錯(cuò).因此，現(xiàn)階段我們要重視培養(yǎng)學(xué)生合理調(diào)整情緒，穩(wěn)住心態(tài)，沉下心來耐心仔細(xì)讀題的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

2.2 中級(jí)讀圖能力

2.3 高級(jí)讀圖能力

本題第(2)題第②小題是“探究S1·S2是否存在最大值，若存在，求出S1·S2的最大值，并確定運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的值;若不存在，請說明理由”.

解法一：

學(xué)生都知道求最值要構(gòu)造二次函數(shù)，他們的思考方向是如何用x的代數(shù)式分別表示S1、S2，然后做乘法求二次函數(shù)最值.常規(guī)做法如圖4，利用分割法把ΔAPM與ΔDPN分別分割成便于面積計(jì)算的圖形.

過P點(diǎn)作PF⊥AB交AB于F點(diǎn)，延長FP交DC于E點(diǎn).

由平行線性質(zhì)得AF=DE=2，

∴CE=BF=3，PF=4，則PE=6.

∴S1=S△APF+S四邊形PFBM-S△ABM=-2x+15，

S2=S△DEP+S四邊形EPMC-S△DCM=2x.

解法二：

除了常規(guī)分割法外，有沒有其他求S1·S2的方法呢？如果把△APM與△DPN看作一個(gè)整體，S1+S2的值是不是更容易求得呢？在此提示下，學(xué)生很快找到S1+S2=S四邊形ABCD-S△PAD-S△DCM-S△ABM=15.

∴S2=15-S1=2x，下面的解題步驟與解法一相同.

解法二的本質(zhì)其實(shí)與解法一相同，仍是用x的代數(shù)式分別表示S1、S2，然后做乘法求二次函數(shù)最值，只是S2換成用作差法求得.

解法三：

在解法二的基礎(chǔ)上，求S1+S2有沒有更簡便的方法呢？計(jì)算發(fā)現(xiàn)S1+S2的值是定值后，由此我們是否可以不借助于x的代數(shù)式，直接求得S1·S2的最大值呢？學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)：△APM與△DPN同在△AMD中，△AMD的面積是矩形的一半，只需找到△ADP中AD邊上的高，就可以很快得到S1+S2的值.

如圖6，過P點(diǎn)作PF⊥BC交BC于F點(diǎn)，延長FP交DA于E點(diǎn).根據(jù)平行線性質(zhì)得PF=3，則PE=2.

∵S1+S2=S△DAM-S△DPA=15，

解法三從問題出發(fā)，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)S1+S2的值為定值，直接求得S1·S2的最大值，此逆向思維分析方法明顯優(yōu)于前兩種解法.

3.教學(xué)啟示

3.1 培養(yǎng)平穩(wěn)的心態(tài)、耐心細(xì)致的思維品質(zhì)

中考是對學(xué)生綜合能力的全方位考查，不僅檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，也考驗(yàn)了學(xué)生的心理抗壓能力.反思我們的日常教學(xué)，考慮到學(xué)生實(shí)際情況，我們往往會(huì)選擇情境簡潔、問題結(jié)構(gòu)容易領(lǐng)會(huì)的題目作為例題，導(dǎo)致學(xué)生對閱讀量大的題不適應(yīng)，在考場上看到這樣的題就底氣不足.

好題的標(biāo)準(zhǔn)是“表述形式簡潔、流暢”，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)容易被誤讀為“情境簡潔”，進(jìn)而又錯(cuò)誤地認(rèn)為是“便于解題者快速領(lǐng)會(huì)問題結(jié)構(gòu)”的題目.教師應(yīng)當(dāng)在日常教學(xué)中結(jié)合學(xué)生學(xué)情，主動(dòng)滲透有一定閱讀量、數(shù)形關(guān)系相對復(fù)雜的題目給學(xué)生，并限定解題時(shí)間，使學(xué)生習(xí)慣于在壓力下解決問題，培養(yǎng)學(xué)生平穩(wěn)的心態(tài)和高壓下依舊保持耐心細(xì)致的思維品質(zhì).發(fā)展這樣的品質(zhì)不僅有利于學(xué)生短期的學(xué)業(yè)發(fā)展，更有利于他們終生的工作和學(xué)習(xí).

3.2 合理利用“模型”，注重變式教學(xué)

在本題的解題過程中，大部分學(xué)生到第(2)題的第②問已沒有解題方向.即便得到解法一，過程也較為煩瑣，分割部分過多，多塊面積計(jì)算也耗費(fèi)較多時(shí)間.

究其原因，一方面，平時(shí)在分割法教學(xué)中，為了讓學(xué)生更直觀地認(rèn)識(shí)圖形特征，往往采用單一三角形或梯形讓學(xué)生分割，一旦出現(xiàn)組合圖形學(xué)生就無法進(jìn)行知識(shí)遷移.我們在平時(shí)教學(xué)中注重了題型模式，但對模型本質(zhì)挖掘還不夠，要提升學(xué)生分析和探究的能力，合理利用“模型”，避免機(jī)械化做題.“模型化解題”教學(xué)不是為了讓學(xué)生存儲(chǔ)更多解題技巧，而是通過建模過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括、知識(shí)遷移等探究能力，不斷優(yōu)化思維方式.

另一方面，要提高學(xué)生的思維變式能力，依賴于變式教學(xué).教師有時(shí)不知如何去變，也不敢去變，怕變出“問題”，無法收回.對一個(gè)問題進(jìn)行變式，要從問題情境出發(fā)，認(rèn)識(shí)到本質(zhì)，通過類比、歸納找到相關(guān)問題間的內(nèi)部聯(lián)系和差異，從而構(gòu)造出同質(zhì)異體的變式問題.只有在教學(xué)中注重變式教學(xué)，才能提升學(xué)生思維的寬度和廣度，最終促進(jìn)學(xué)生思維的成長.

3.3 逆向思維剖析問題，幾何直觀“看”出關(guān)系

對于本題第(2)題的第②問，相較于本題解法一，解法二看似分割方式有所簡化，但思維本質(zhì)相同.都是由因?qū)Ч淳C合法，從已知條件出發(fā)，綜合圖形相關(guān)性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合，推導(dǎo)出結(jié)論.而解法三是執(zhí)果索因，即分析法，從需要求解的問題出發(fā)，尋找能夠得到結(jié)論的條件，不斷向已知條件靠攏，得到所有信息解決問題.在日常教學(xué)中，我們的例題講解也一直采用分析法，倡導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)過程中使用分析法，這樣的思維方式更有的放矢，特別是對一些較為復(fù)雜的問題，逆向思維有時(shí)會(huì)使問題瞬時(shí)簡化，難題也就迎刃而解了.從思維層次來看分析法是顯然高于綜合法的.

解法三要求學(xué)生第一步能看出S1+S2的值是定值，然后才能向下推進(jìn).如何能“看出”這一關(guān)系呢？需要幾何直觀.通過初步觀察已知圖形的組成部分，結(jié)合條件，即各部分之間的關(guān)系，來感知(視覺——幾何直觀)和分析(思維——邏輯推理)圖形.幾何直觀的培養(yǎng)來自學(xué)習(xí)過程中經(jīng)驗(yàn)的積累，在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)不斷給學(xué)生提供機(jī)會(huì)嘗試探究問題，累積分析問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展幾何直觀能力，進(jìn)而有效提升思維能力.

4.結(jié)束語

蘇州市中考卷的第27、28題一般為綜合性較強(qiáng)、包含信息較多的題型，每題中各個(gè)小問題的難度也會(huì)階梯式上升.學(xué)生往往發(fā)現(xiàn)一條有用信息就急于答題，忽略題中其他關(guān)鍵點(diǎn)，沒有整體觀，解題思路是單一零散的.當(dāng)做到難度較大的部分，又希望能夠套用現(xiàn)成解題模式，放棄主動(dòng)分析問題的本質(zhì)結(jié)構(gòu).究其原因還是學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的把握不夠透徹，對探究的信心不足.

教師不管在新授課還是習(xí)題課中，都應(yīng)給予學(xué)生探究、嘗試、分析、歸納的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生具有整體、全面、系統(tǒng)的思維能力和數(shù)學(xué)直觀，多角度深入思考，掌握解決問題的本質(zhì)，進(jìn)而達(dá)成提高思維品質(zhì)的目標(biāo)，將來才能不論遇到何種挑戰(zhàn)都能從容面對.