利用練習(xí)課教學(xué)，實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通
——模型思想在數(shù)學(xué)練習(xí)課中的教學(xué)體驗(yàn)

◎黃 赤 (湖南省湘潭市湘潭縣天易水竹學(xué)校，湖南 湘潭 411100)

有很多學(xué)生認(rèn)為要學(xué)好初中數(shù)學(xué)是一件很困難的事.根據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)，這些學(xué)生存在的問題，分為以下幾種情況：

①將學(xué)不好初中數(shù)學(xué)的原因歸結(jié)為小學(xué)階段的應(yīng)用題沒學(xué)好；②學(xué)習(xí)定理時(shí)，沒有認(rèn)真理解定理的推導(dǎo)，不知道如何用幾何語言表達(dá)自己的想法和思路，能想出答案，但寫不出規(guī)范過程；③對已學(xué)知識沒有歸納、總結(jié)，無法將方法進(jìn)行靈活運(yùn)用；④看不出題目中的隱含條件，無法把已知條件、圖形語言與需要證明的結(jié)論相聯(lián)系.

針對以上四種妨礙學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的情況，我嘗試將數(shù)學(xué)模型融入練習(xí)課教學(xué)中，針對性地進(jìn)行模型訓(xùn)練，在學(xué)生掌握一些常用結(jié)論的推導(dǎo)后，再進(jìn)行同類習(xí)題的練習(xí).經(jīng)過由陌生到熟悉的過程，學(xué)生輕松體會(huì)到成功的喜悅，自然而然就提高了學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而增強(qiáng)了解題能力.

因此，練習(xí)課的重點(diǎn)是：熟悉模型，熟悉模型中固定結(jié)論的推導(dǎo)及原理.例如，講解湘教版八下數(shù)學(xué)課本的復(fù)習(xí)題1第7題，我們是這樣做的：

例1如圖1(左)，已知∠AOB=30°，P是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，CP∥OB，交OA于點(diǎn)C，PD⊥OB，垂足為點(diǎn)D，且PC=4，求PD的長.

從題中我們發(fā)現(xiàn)，將角平分線和平行線相結(jié)合，可以得到一個(gè)等腰三角形，這是由一般到特殊的過程，歸納為：

模型一：

角平分線+平行線得等腰三角形(如圖1).

學(xué)生通過探究，發(fā)現(xiàn)平行線、角平分線、等腰三角形，三個(gè)結(jié)論中任取其中兩個(gè)條件，就可以推導(dǎo)出另一個(gè)結(jié)論，正是知其二而得一.接著我們發(fā)現(xiàn)這道題中還涉及角平分線的性質(zhì)，于是我們又深入探討角平分線的性質(zhì)，得到以下兩種與角平分線有關(guān)的類型.

類型1角平分線的性質(zhì)

已知：OP平分∠AOB，過點(diǎn)P作PF⊥OA,PE⊥OB,

則：PE=PF，△OEP≌△OFP并對稱.

歸納為：

模型二：

角平分線+兩垂直得對稱全等(如圖2左).

類型2角平分線+一垂直

已知：OP平分∠AOB，PC⊥OP于點(diǎn)P,延長CP交OB于點(diǎn)D,

則：點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，PC=PD，△OCD是等腰三角形，△OCP≌△ODP(這個(gè)全等不是三線合一來的，而是利用角邊角定理證明出來的，這是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn).)

歸納為：

模型三：

角平分線+一垂直得等腰三角形(如圖2右).接下來再讓學(xué)生練習(xí)下列7個(gè)習(xí)題.

①如圖3，平行四邊形ABCD的周長為20 cm，AE平分∠BAD.若CE=2 cm，則AB=________.

②如圖4，在平行四邊形ABCD中，∠D=100°,∠DAB的平分線AE交DC于點(diǎn)E，連接BE，若AE=AB.求∠EBC的度數(shù).

③如圖5，點(diǎn)D、E分別是AB，AC的中點(diǎn)，BE是∠ABC的平分線，有下列結(jié)論：①BC=2DE；②DE∥BC；③BD=DE；④BE⊥AC.其中正確的是( ).

A. ①② B. ①②③ C.①②④ D.①②③④

這三個(gè)題中圖形的形狀雖然與圖1不一樣，但其條件與我們研究的模型一相同，所以學(xué)生在理解了模型一的基礎(chǔ)上，對于這類問題就能迎刃而解.

④如圖6，OP平分∠AOB，PE⊥OB于點(diǎn)E，PE=5,求點(diǎn)P到OA的距離的最小值.

⑤如圖7，在Rt△ABC,∠ABC=90°,CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，BF∥DE交CD于點(diǎn)F.求證：DE=BF.

⑥如圖8，△ABC中∠A=90°,AB=AC，BD是∠ABC的平分線，請說明AB+AD=BC.

通過這道題回顧作輔助線的常用方法——截長補(bǔ)短法.

⑦如圖9，已知在四邊形ABCD中，BC>AB,AD=CD,BD平分∠ABC，求證：∠BAD+∠BCD=180°

⑧如圖10，AD∥BC，點(diǎn)E在線段AB上，DE，CE分別為∠ADC，∠BCD的平分線.求證：CD=AD+BC.

第⑧題的圖10，讓我們很容易聯(lián)想到三垂直模型，于是做如下訓(xùn)練.

例2如圖11，∠DCE=90°,CD=EC,DA⊥AB于點(diǎn)A，EB⊥AB于點(diǎn)B,試猜想AB與AD、BE之間的關(guān)系，并證明.

三垂直模型中，我們可以得到既定的結(jié)論：∠ACD=∠E,當(dāng)DC=CE時(shí)，兩三角形全等.

如圖12 ，AB=BC,BC⊥AB于點(diǎn)B,FC⊥CB于點(diǎn)C，E為BC上一點(diǎn)，BE=CF,試探究AE與BF之間的關(guān)系，并證明.

圖11與圖12都有三個(gè)垂直，所以基本結(jié)論相同，利用互余找出相等的角，如果有線段相等，那么就會(huì)有全等三角形.

三垂直模型與一線三等角模型是很相似的，學(xué)生由八年級升入九年級，隨著知識的增加，用發(fā)散思維讓學(xué)生自己研究這些數(shù)學(xué)模型，將結(jié)論進(jìn)一步完善，所謂“授之以漁”，才是教師教學(xué)的主要目的.

由此發(fā)現(xiàn)，在習(xí)題教學(xué)中融入模型思想訓(xùn)練后，學(xué)生在做習(xí)題時(shí)，只要遇到類似模型的問題就能更快速、準(zhǔn)確地找到解題的方法和途徑，還會(huì)在復(fù)雜問題中，分解出自己所熟悉的模型，從中“化繁為簡”，提高了解題速度，優(yōu)化了解題過程，豐富解題內(nèi)涵.

但凡事過猶不及，過分地強(qiáng)調(diào)和突出“模型”，容易導(dǎo)致學(xué)生忽視知識的本源，放棄最自然的解題思路的形成，從而禁錮了思維.所以我們主張，模型的應(yīng)用需要學(xué)生具有一定的知識和能力的積累，不宜以模型思維包打一切.在講授模型法解題的同時(shí)，更應(yīng)注意突出模型的知識本源，形成基于通性通法的自然思路，這才是提高解題能力、優(yōu)化思維品質(zhì)的必由之路.

“問渠那得清如許？為有源頭活水來.”為提高學(xué)生的解題能力，在練習(xí)課中利用模型教學(xué)是一個(gè)很好的途徑.