滲透數學文化 促進立德樹人

◎李江華 (江蘇省蘇州市吳縣中學,江蘇 蘇州 215151)

在蘇州市高二年級備課組長會議上，筆者開設了“矩陣的概念”公開課，受到一致好評，現將教學過程呈現給大家，請大家給予批評指正.

1 教學過程：

1.1 問題情境：

1.1.1 引子

視頻1：《黑客帝國》片段(時長47秒)

師：劇中的兩人在探討matrix是什么，它神秘且無處不在，由此提出：

問題1.matrix是什么？(板書“matrix”)

視頻2：《侏羅紀公園》片段(時長52秒)

問題2：影視傳媒中的逼真動畫是怎么制作的？

【設計意圖】視頻1中截取電影的片頭以及電影中兩個人在討論matrix的片段，電影片頭出現時的背景是大量數字和字母，這為矩陣中的元素只能是數字和字母打下伏筆；視頻中討論的matrix神秘且無處不在，激發學生探索學習的興趣.視頻2中的片段體現了動畫的逼真性，影視傳媒中的逼真動畫是怎么樣制作的，激發了學生學習新內容的欲望.

師：接下來這節課將為這兩個問題逐步揭開神秘的面紗.

1.1.2 數學文化

師：有同學見過這兩幅圖嗎？

生：沒有.

師：相傳，大禹治水的時候，有一次在洛河引水疏通河道，從干涸的河底浮出一只可以馱起上百人的巨龜，大禹認為這是一只神龜就將它放生了.不久后大龜騰云駕霧再次來到洛河，將一塊光芒四射的古老玉版獻給大禹，上面有一幅神秘的圖案，這張圖稱為“洛書”(又稱龜書).

在《易·系辭》以及朱熹的《易學啟蒙》中都提到過這幅圖.因為這兩幅圖有圖無字又神秘難解，人們又把它們叫作“無字天書”，古今中外很多學者都在研究這“無字天書”，不論他們的意見有多大的分歧，但是他們基本認同：“河圖洛書”是中國先民思維的結晶，是中國古代文明的一個里程碑，稱其為“宇宙魔方”.我國著名數學家華羅庚就曾說過“洛書可能作為我們和另外一個星球交流的媒介”，可以說洛書在數學史上有十分重要的地位.“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，五居中央”說的就是洛書，這也說明這些數字排列時是有規律、有次序的.

師：用數字表示出來就是這樣一個數字方陣，你能看出它有什么規律嗎？

生：橫、豎、斜數字相加都是15.

師：當然它的數字規律遠不止同學們看到的這么簡單，有興趣的同學課后可以去網絡或者其他資料上去查一查“洛書”的數字特征，你會發現還有很多神奇的數字規律.

【設計意圖】河洛文化，出現了歷史上最早的數陣，有意識地告訴學生，這里數字要講順序，為后面矩陣元素講順序做好鋪墊.通過讓學生了解中國古代數學文化，展示中國古代文明的魅力，感受中國文化的優越性，增強民族自信、文化自信，可以立德樹人.

師：公元1514年，在德國出現了一幅世界名畫《憂郁》，它的作者是一位精通數學的畫家阿爾布雷特·丟勒.在這幅木刻畫右上角有一個4行4列的矩形數表，這就是數學史上著名的“丟勒幻方”.說到幻方，史學家認為幻方出自中國，源于洛書，到了15世紀才傳到歐洲.

這樣的數字方陣又被稱為“縱橫圖”或者“魔方”.同學們在生活中還見過哪些類似的數字方陣或者矩形數表呢？

生：隨機數表、火車時刻表、數獨(備注：教師在這里簡單的介紹“數獨”的歷史，它是源于18世紀初歐拉的“拉丁方陣”)

【設計意圖】通過著名的“丟勒幻方”進行中外數學文化的滲透，同時按照時間軸線，將數字方陣演變成矩形數表，這為后面學生利用矩陣解決實際問題做了很好的鋪墊，有效突破教學難點.在學生舉例 “數獨”游戲時，教師進一步介紹其歷史，進行數學文化滲透.通過學生舉例，培養他們會用數學的眼光觀察世界，用數學的語言表達世界.

1.1.3 學生活動1

活動1.1：將點P(1,3)的坐標表示為矩形數表；

活動1.2：電視臺舉辦歌唱比賽，甲乙兩名選手初、復賽成績如下表：

初賽復賽甲8090乙6085

請將表中的數據按照原來的位置排成一張矩形數表.

【設計意圖】學生通過自己動手表示出矩形數表，體會到數字的順序性很重要，否則與實際意義不符；也為后面矩陣的具體應用做了一個好的示范，要想表示生活中的矩陣，得到矩形數表是關鍵，有效突破了教學難點.同時通過活動1.3為后面數學史上產生矩陣的背景做好鋪墊，因為矩陣的產生背景正是為了解決線性方程組的問題.

1.1.4 數學史

師：矩陣的英文單詞正是前面視頻中兩位劇中人物探討的，神秘且無處不在的東西——matrix.

【設計意圖】通過數學史的介紹，一方面讓學生知道矩陣在歷史上產生的過程，了解相關的人和事，起到立德樹人的效果；另一方面讓學生了解引子中matrix的第一層面紗——中文意思.

1.1.5 學生活動2

師：那么究竟這個神秘又無處不在的矩陣是什么呢？我們今天就來研究矩陣的概念.類比我們在函數中所學冪函數的形式定義，你能給出矩陣的形式定義嗎？

【設計意圖】通過類比數學家書寫的矩陣，讓學生完成矩陣的書寫，培養學生用數學語言表達世界的能力；同時通過類比冪函數的形式定義，讓學生構建矩陣的概念，降低了難度，還讓學生體會了概念的生成過程，在這里體現了類比的數學思想.

1.2 建構數學

師：矩陣的概念、表示、書寫，矩陣的行、矩陣的列、矩陣的元素等概念(定義略).

思考1：矩陣(a23)與矩陣(a32)一樣嗎？

思考2：對于m×n矩陣，有多少個元素組成？

試一試：將前面的洛書的數字方陣和丟勒幻方表示成矩陣.

【設計意圖】把教材中概念的順序重新梳理，將第二種表示方法放在行、列、元素概念之后講解，更符合邏輯順序，更有利于學生的理解；通過兩個思考題加深同學們對概念的理解，通過試一試讓學生進一步體會矩陣的內涵.

1.3 數學運用

例1用矩陣表示下圖中的△ABC，其中A(-1,0),B(0,2),C(2,0).

例2某種水果的產地為A1,A2,銷地為B1,B2,請用矩陣表示產地Ai運到銷地Bi的水果數量(aij)，其中i=1,2,j=1,2.

B1B2A1a11a12A2a21 a22

拓展請根據游戲“剪刀、石頭、布”游戲的規則，做出一個三階矩陣(勝用1表示，負用-1表示，平用0表示).

思考生活中有哪些問題可以用矩陣來表示？請列舉幾個，并和同學交流.

【設計意圖】例1，例2中用矩陣表示實際問題是本節課的難點，通過前面的鋪墊，學生很容易將問題轉化為矩形數表，進而得到矩陣，有效地突破教學難點.其中例1體現了數形結合思想，例2與拓展培養學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界.

1.4 數學再建構

師：剛才例2拓展中有沒有同學得到的答案不一樣？他們是相等矩陣嗎？ 是不是兩個矩陣中的元素相同時，矩陣就相等呢？

師：由此我們可以給相等矩陣下個定義了(定義略)，其中行數和列數都相同的矩陣我們把它叫作同型矩陣.

1.5 數學再運用

練習

1.設矩陣A為二階矩陣，其元素滿足aij=-aji,i=1,2,j=1,2,a12-a21=1，試求A.

2.下面是由4個點A,B,C,D和連接它們的一些線組成的一個圖.試用矩陣M表示這4點間的直接連線條數(說明：同一個點之間的直線條數為0，如A到A之間直線條數記為0).

【設計意圖】通過例3加強學生對相等矩陣概念的理解，通過兩個練習體會矩陣的應用，練習2是著名的七橋問題，利用數學名題目進行文化滲透.

1.6 數學再建構

師：我們知道數字中最特殊的一個數是什么？

生：0.

師：類比數字中特殊的數0，矩陣中會不會也有一個類似特殊的矩陣呢？你會定義嗎？

生：零矩陣，所有元素都是0的矩陣.

師：非常好，請注意它的寫法.

思考0矩陣都相等嗎？

生：不是的，要看行和列.

【設計意圖】因為這個概念比較簡單，故在課堂最后的時候呈現這個概念，通過類比學生很容易給出定義，體現了類比思想.

1.7 課堂小結(略)

1.8 課堂結束語

師：我們身邊的矩陣：

李開復在卡內基·梅隆大學攻讀博士時，用隱馬爾可夫模型開發了語音識別系統，將英文識別率提升到96%左右，并且由此榮獲了1988年《商業周刊》授予的“最重要科學創新獎”.目前計算機處理的都是數字信號，而信號在計算機中就是以矩陣的方式存儲的，常見的語音信號就是一個一維矩陣，圖像信號就是一個二維矩陣，視頻則可以看成是由一幀幀的圖像所組成的三維矩陣.動畫為什么這么逼真，是因為用到了矩陣的乘法，動畫背后就涉及數量驚人的矩陣運算，引子中的兩個問題的神秘面紗終于揭開了.

最近，在上海舉辦的第94期院士沙龍“人工智能助力城市安全”專題活動中，徐匡迪院士呼吁更多的數學家投身到算法研究中去.因為人工智能的基石是數學，其核心是算法，而算法中最基本的運算是矩陣運算.希望同學們學好矩陣，學好數學，將來為我國的人工智能助力，為我國的科技發展助力.最后送大家一句培根的名言——數學是打開科學大門的鑰匙.

【設計意圖】首先在結構上與本課的引子相呼應，保持結構的完整，其次通過了解矩陣在我們身邊的具體應用，進一步激發學生學好矩陣，學好數學的興趣，最終達到立德樹人的效果.

2 教學感悟

(1)以課堂為載體滲透數學文化

課堂教學是學生學習知識的主要途徑，對數學文化的學習，應更多地體現在課堂教學之中.正如張奠宙先生所說“數學文化必須走進課堂”，數學的文化內涵往往以潛移默化的形式存在，只有教師有意識地將文化觀念滲透于數學課堂教學之中，才能讓學生感悟這種“看不見的文化”.[1]數學文化融入數學課堂教學現狀不容樂觀，大部分教師都是按照課本的要求進行教學，很少有教師尋求這一部分知識在歷史上是怎么出現的.著名數學家柯朗在《數學是什么》的序言中這樣寫道：“今天，數學教育的傳統地位陷入嚴重的危機.數學教學優勢竟變成一種空洞的解題訓練.數學研究已出現一種過分專門化和過于強調抽象的趨勢，而忽視了數學的應用以及與其他領域的聯系.”數學的文化教育價值在中學數學教學中沒能充分體現出來，我們只是教給學生知識的結果而忽略了知識的生成過程，這樣的知識體系就是無根之木，無源之水.[2]因此在數學課堂中，進行數學文化與數學教學的結合研究是非常必要的.本節課筆者的設計意圖是從上古時期“河洛文化”的數字方陣開始，演變到16世紀的“丟勒幻方”，再到19世紀矩陣的產生，進而讓學生構建矩陣的概念.

(2)以數學文化為抓手進行德育教育

當前，我國的數學課程標準開始強調過程性課程目標(問題解決、強調體驗、數學思考)，強化學生的個性發展，同時關注學生的數學應用能力，而不是局限于對靜態知識的記憶和模仿.面對新課標，我們教師也要改變教育理念，教學方法.當今國際數學課程普遍重視數學課程應具有的數學文化價值，重視學生人文教育，關注學生的“人文雙基”教育，關注學生的情感、態度、價值觀教育，這要求教師在教學中滲透數學文化，為學生的健全人格的培養提供有力的支撐，為培養新時代的創新型人才提供可能.[3]本文通過文化背景介紹，讓學生明確矩陣的發展階段，并從歷史的角度明確矩陣的來源和應用，為學生的深刻認識做好鋪墊.從矩陣產生的歷史，聯系到課堂學習內容，進一步激發學生學習的興趣.最后與學生分享成功者的事例，讓學生體會數學的科學價值、應用價值、人文價值、美學價值，提高學生的文化素養，這樣就把數學文化的理念扎扎實實落實到課堂教學中.