淺談利用單位圓解決三角函數(shù)問題

◎韓 燁 (吉林師范大學(xué),吉林 長春 130000)

1.通過單位圓探究三角函數(shù)

1.1 認(rèn)識(shí)單位圓

在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有一個(gè)十分關(guān)鍵的數(shù)學(xué)工具，那就是——“圓”.圓具有渾然天成的美感，“單位圓”是我們對(duì)圓進(jìn)行的更為深入細(xì)致的定義.在我們以往的學(xué)習(xí)當(dāng)中對(duì)“單位圓”進(jìn)行這樣的定義：以“1”為半徑的圓叫作單位圓.單位圓的方程為：x2+y2=1，由單位圓我們可以誘導(dǎo)出復(fù)平面、幾何反演變換、指數(shù)映射等等相關(guān)問題.

“單位圓”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)著十分重要的地位，是解題的好幫手，是開啟三角函數(shù)學(xué)習(xí)的金鑰匙.在解決三角函數(shù)的問題中單位圓有著十分廣泛的應(yīng)用，對(duì)我們能夠正確理解和運(yùn)用正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)的定義和性質(zhì)，繪制函數(shù)的圖像有重要的作用.我們也能夠更加直觀地得到三角函數(shù)的一些信息.為了更好更快地解決三角函數(shù)的相關(guān)問題，熟練掌握并靈活運(yùn)用單位圓的概念和性質(zhì)是首要準(zhǔn)備.

1.2 認(rèn)識(shí)三角函數(shù)

三角函數(shù)的定義:三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，三角函數(shù)通常是以角度為其自變量，再由角度對(duì)應(yīng)任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或其比值為因變量的函數(shù)，或者也可以用單位圓中的對(duì)應(yīng)線段的長度來進(jìn)行定義，我們把這樣的函數(shù)稱為三角函數(shù).三角函數(shù)是我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要的一環(huán)，其地位與重要性影響著接下來諸多內(nèi)容的學(xué)習(xí).

1.3 利用單位圓探究三角函數(shù)

“終邊定義法”作為我們最早認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的方法，的確在初期的學(xué)習(xí)中占據(jù)著主要的地位，但隨著學(xué)習(xí)的深入、知識(shí)的豐富、方法的更新以及問題的復(fù)雜程度增加，終邊定義法已經(jīng)失去明顯的優(yōu)勢，不利于后期知識(shí)的學(xué)習(xí).所以我們提出了更為簡單清楚的方法.

為了追求更為簡便的方法，獲得更為直觀的表達(dá)，“單位圓定義法”出現(xiàn)在我們的視野當(dāng)中.假如我們用更為直觀的“單位圓定義法”來對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行定義的話，對(duì)理解三角函數(shù)來說是否更有幫助？為了解決這一問題，我們將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想貫穿于其中，同時(shí)在定義三角函數(shù)的過程中我們運(yùn)用了單位圓的特點(diǎn).

單位圓定義法的引入，對(duì)正弦、余弦函數(shù)的計(jì)算過程帶來更為容易理解的簡化.同時(shí)，也更好地凸顯出三角函數(shù)最為重要的特點(diǎn)——周期性.在一定程度上來說，我們可以將三角函數(shù)的基本性質(zhì)(周期性，奇偶性)看作是圓的一種直觀表達(dá)，把單位圓當(dāng)作學(xué)習(xí)三角函數(shù)的載體，使得我們可以更好地將兩者結(jié)合在一起共同學(xué)習(xí).

引入了單位圓，利用單位圓的特性,運(yùn)用三角函數(shù)與單位圓之間的重要聯(lián)系.舉例來說我們可以通過某一角的三角函數(shù)值來確定其在單位圓上與之對(duì)應(yīng)的坐標(biāo),也可以通過已知單位圓上與之對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)來確定角所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值等一些有關(guān)的問題.我們不難看出單位圓的重要地位，作為經(jīng)常應(yīng)用的一種簡單方法，單位圓以其直觀性，具象化常常出現(xiàn)在我們的解題過程當(dāng)中.對(duì)此我們應(yīng)該重點(diǎn)推廣單位圓在三角函數(shù)中的應(yīng)用，為接下來的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

通過利用單位圓的對(duì)稱性和具象性，充分調(diào)動(dòng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將這一思想貫穿于全部的解題過程當(dāng)中，有利于我們解決三角函數(shù)的問題.將單位圓的優(yōu)勢發(fā)揮到極致，使原本有些難以理解的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)變得簡單明了.

1.4 單位圓在三角函數(shù)中的作用

通過學(xué)習(xí)單位圓為接下來學(xué)習(xí)三角函數(shù)做好鋪墊.靈活利用單位圓，學(xué)會(huì)十分巧妙地構(gòu)造單位圓，把單位圓作為解決三角函數(shù)問題的橋梁，將問題帶入到單位圓的圖形之中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，使解題變得具象化，體現(xiàn)了單位圓的重要性.

掌握了具有直觀、形象等特點(diǎn)于一身的單位圓，以及學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想來理解問題，能夠?qū)?shù)形結(jié)合的思想熟練運(yùn)用于三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、推導(dǎo)過程的理解當(dāng)中，能夠解決多種三角函數(shù)的相關(guān)問題.使三角函數(shù)的問題由難化易，思路明了，快速準(zhǔn)確.

單位圓在三角函數(shù)中的廣泛應(yīng)用，在以下幾個(gè)方面表現(xiàn)得尤為突出：

(1)練掌握三角函數(shù)的公式.由于單位圓具有對(duì)稱的特性，我們可以引發(fā)學(xué)生對(duì)單位圓對(duì)稱性的思考與應(yīng)用，通過討論、畫圖等操作，我們不難看出，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可以通過單位圓上所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)及其坐標(biāo)間的關(guān)系來進(jìn)行表達(dá).從而使公式二到公式六，這五個(gè)公式形成一個(gè)整體，便于理解記憶，方便表達(dá)與運(yùn)用.

(2)定義任意角的三角函數(shù).傳統(tǒng)的在直角三角形中定義三角函數(shù)的方法已經(jīng)不能滿足我們的需要，所以我們將在單位圓中對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行定義.這種定義方法更加靈活實(shí)用，有利于我們解決復(fù)雜的問題.首先我們通過觀察點(diǎn)所在的區(qū)域來確定各函數(shù)值的正負(fù)，再通過具體坐標(biāo)計(jì)算出函數(shù)值.這一方法將廣泛應(yīng)用于三角函數(shù)的計(jì)算當(dāng)中，對(duì)推廣三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式有著至關(guān)重要的作用.

(3)推廣誘導(dǎo)公式.在三角函數(shù)的解題過程中誘導(dǎo)公式有著重要的地位，是解答三角函數(shù)問題必不可少的手段之一.通過觀察直角坐標(biāo)系中的單位圓，利用單位圓的幾何直觀效果，我們不難看出角α的終邊與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，并且與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)的絕對(duì)值相等且符號(hào)相反.

(4)利用單位圓中的三角函數(shù)線熟練地繪制三角函數(shù)的圖像.我們可以快速地從圖像上直觀發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的特性，解決有關(guān)三角函數(shù)問題時(shí)靈活地利用三角函數(shù)線可以達(dá)到事半功倍的效果.

不同于其他函數(shù)單調(diào)枯燥的解題過程，三角函數(shù)有著諸多的解題方法，而我們經(jīng)常使用的方法主要是定義法和圖像法，其中圖像法以其直觀方便的特點(diǎn)常常被用于解答較為復(fù)雜的三角函數(shù)問題.當(dāng)我們解答三角函數(shù)的問題時(shí)首先要弄清楚三角函數(shù)的性質(zhì).在掌握三角函數(shù)的性質(zhì)并且對(duì)三角函數(shù)建立起初步的認(rèn)識(shí)之后，我們發(fā)現(xiàn)以往的方法具有一定的局限性，在面對(duì)復(fù)雜的問題時(shí)，應(yīng)該尋求更加簡便的方法來解決問題.面對(duì)這樣的情況我們巧妙地引入了單位圓，通過運(yùn)用單位圓本身直觀的形象，準(zhǔn)確簡便等特性，利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，使三角函數(shù)問題由難化易，由繁變簡，思路明確，方法準(zhǔn)確.

2.解題中的具體應(yīng)用及技巧

2.1 比較三角函數(shù)值的大小

解題技巧：比較函數(shù)值以及對(duì)應(yīng)角的大小等問題通常出現(xiàn)在填空或選擇題當(dāng)中，比較基礎(chǔ)但不容忽視.在比較三角函數(shù)值大小的問題時(shí),有時(shí)會(huì)出現(xiàn)如上題當(dāng)中三角函數(shù)值與角直接進(jìn)行比較的類型，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)不同角的函數(shù)值需要比較，如果問題不能通過直接比較或簡單的計(jì)算得出結(jié)論,那我們不妨換一種思路，可以尋求另外一種解題方法.解決此類問題主要運(yùn)用單位圓在三角函數(shù)中的應(yīng)用來進(jìn)行思考,將普通的比較問題經(jīng)由數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為圖形的形式，將所有的角以及數(shù)值都結(jié)合在同一個(gè)單位圓當(dāng)中，便于比較與計(jì)算.

2.2 求三角函數(shù)的定義域

解題技巧：在遇到需要我們使用簡便方法來解決所求變量的取值范圍問題時(shí),單位圓起著不容忽視的作用,它比通常的三角函數(shù)解題過程更加直觀,對(duì)提高解題效率有很大的幫助,同時(shí)能夠掌握更多解題的技巧和方法.但在使用此方法解題時(shí),需要學(xué)生對(duì)平面直角坐標(biāo)系有一定認(rèn)識(shí)和掌握,并且對(duì)坐標(biāo)系中各個(gè)象限的性質(zhì)及規(guī)律能夠熟練掌握，這樣才能夠又快又準(zhǔn)地解決此類求范圍的問題.

2.3 求三角函數(shù)值

2.4 證明三角函數(shù)不等式

證首先根據(jù)題目條件構(gòu)建單位圓如圖1，得，sinα=QP，cosα=OQ.

在△OPQ中，QP+OQ>OP.

所以，sinα+cosα>1.

通過比較面積的表達(dá)式，不難發(fā)現(xiàn)存在這樣一種關(guān)系:S△OPB+S△OPA

綜上，問題得以證明.

3.結(jié)語

本文著重介紹了利用單位圓探究三角函數(shù)，以及在基本題型中單位圓的初步應(yīng)用.通過以上對(duì)單位圓在三角函數(shù)中的應(yīng)用的探究，我們不難發(fā)現(xiàn)，單位圓對(duì)解決三角函數(shù)問題的作用重大.由于單位圓的直觀性使它成為研究三角函數(shù)的一個(gè)不可或缺的重要工具.當(dāng)我們面對(duì)三角函數(shù)問題時(shí)，首先運(yùn)用單位圓，再結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，然后借助圖像，利用圖像將問題直觀地呈現(xiàn)出來，從而達(dá)到所求目標(biāo).在我們關(guān)注一個(gè)概念的同時(shí)，更應(yīng)該注重它的應(yīng)用和推廣.

數(shù)形結(jié)合思想是伴隨我們整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯始終的思想，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的靈魂.“數(shù)”與“形”密不可分，緊密相關(guān).“數(shù)”與“形”只有在充分結(jié)合的情況下才能夠發(fā)揮出最大的作用.在三角函數(shù)的解題過程當(dāng)中，單位圓的身影時(shí)常出現(xiàn).作為解決三角函數(shù)問題的好幫手而出現(xiàn)的單位圓，無疑將數(shù)形結(jié)合的解題方法和優(yōu)勢發(fā)揮得淋漓盡致.

單位圓的引入為解決三角函數(shù)問題架設(shè)了新的橋梁，提供了有力的幫助，當(dāng)運(yùn)用單位圓解決三角函數(shù)一些基礎(chǔ)的問題時(shí)，單位圓成了不二選擇，奠定了單位圓在解決三角函數(shù)問題中的重要地位.