用函數(shù)觀點處理遞推數(shù)列的模式

◎賈廣素 齊 偉 (山東省孔子國際學(xué)校,山東 濟寧 272000)

一、利用函數(shù)的圖像研究數(shù)列的性質(zhì)

若將數(shù)列{an}的遞推式記成an+1=f(an)，a1=f(x)，則a2=f(a1)=f(f(x))，a3=f(a2)=f(f(f(x)))，…，此過程可如此繼續(xù)下去，數(shù)列的遞推問題實質(zhì)就是函數(shù)的迭代問題，可以用“蛛網(wǎng)模型”作圖展示，直觀分析出函數(shù)的單調(diào)性、有界性、周期性等.

A.2019 B.2018 C.4038 D.4037

(2019年清華大學(xué)THUSSAT測試)

(2019年杭州市二模擬)

解析考慮函數(shù)f(x)=-x2+cx-1，在同一坐標系中作出f(x)=-x2+cx-1與y=x的圖像.

如果c≤0，則a2≤0，不滿足{an}單調(diào)遞增，從而知c>0.由a2=-1+c-1>a1=1，知c>3.

如果AB段不是單調(diào)遞增的話，就會出現(xiàn)如圖所示左右擺動轉(zhuǎn)圈圈的情況，這顯然不滿足{an}單調(diào)遞增.

二、利用不動點理論簡化遞推關(guān)系

當已知數(shù)列的首項a1和遞推式an+1=f(an)時，可以提煉an+1與an的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)，若方程f(x)=x有根x0(此根為函數(shù)y=f(x)圖像與函數(shù)y=x圖像交點的橫坐標)，就可以將遞推式變成以下兩種情形：

情形一an+1-x0=f(an-x0)，令bn=an-x0，代入消元得bn，將問題轉(zhuǎn)化為研究數(shù)列{bn}；

(2020年山東省模擬考試)

從而原不等式得證.

C.當b=-2時，a10>10 D.當b=-4時，a10>10

(2019年浙江省高考)

對于選項C：令an+1=an=x，x=x2-2，即x2-x-2=0，由(x-2)(x+1)=0，則x=-1或x=2，令a=-1，則a10=-1<10，故C錯誤；

三、利用函數(shù)的值域研究數(shù)列的范圍

對于已知數(shù)列首項a1和遞推式an+1=f(an)，求證：G(an)

(2020年濟南市一模)

四、將數(shù)列前n項和問題轉(zhuǎn)化為項的范圍

如果所證式一側(cè)為某個數(shù)列的前n項和的形式，我們也可將待證不等式的另一側(cè)看作是另一個數(shù)列的前n項和，通過研究相對應(yīng)項之間的大小關(guān)系，從而使不等式的證明得以解決.

(1)判斷x>0時，f(x)-h(x)的零點個數(shù)，并加以說明；

(2)正項數(shù)列{an}滿足a1=1，ane-an+1=f(an).

①判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性，并加以證明；

(2020年山東省三校聯(lián)考)

令φ(x)=ex-x-1，x>0,從而φ′(x)=ex-1>0，所以φ(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，又φ(x)>φ(0)=0，所以f(x)-h(x)>0，從而f(x)-h(x)的零點個數(shù)為0.

(2)由于ane-an+1=f(an)，知an+1=lnan-lnf(an)，從而可知

an+1-an=lnan-lnf(an)-an=lnan-[ln(ean-1)-an]-an=lnan-ln(ean-1)

由(1)知，當an>0時，有1+an

從而an+1

令g(x)=2xex-e2x+1(x>0)，從而g′(x)=2ex+2xex-2e2x=2ex(1+x-ex)，由(1)知1+x-ex<0，從而g′(x)<0，g(x)

結(jié)束語

遞推數(shù)列作為高考數(shù)學(xué)的一塊十分重要的內(nèi)容，如何用函數(shù)的方法統(tǒng)一高效地幫助學(xué)生思考此類問題是高中教師備考的重點，希望本文能給大家提供一些幫助.