基于PBL問題驅動下的定理課模式探究
——以切線長定理為例

◎彭渭榮 (廣東省佛山市順德區容桂實驗學校，廣東 佛山 528300)

一、教學內容分析

(1)教材內容：“切線長定理”是人教版九年級上冊第二十四章“圓”的第二節的內容，主要學習切線長定理及其簡單應用，著重研究切線長定理的證明過程.

(2)教材處理：教材把切線長定理及三角形內切圓合為一課時，為了初高銜接需要，本節課側重切線長定理圖形的構建及模型的形成、發展、應用過程.

(3)地位作用：本節課的內容是切線長定理，是直線與圓位置關系的重點內容，體現了直線和圓不同位置關系的基本圖形構造、變換及等量關系和位置關系的高度融合，既是前面知識的拓展，又是今后學習幾何的基礎模型.

二、學情分析

學生已具備一定的幾何基礎，會進行簡單的證明推理，但數學建模能力還比較欠缺.

三、教學目標

(1)通過預設提問和生成性追問讓學生整合前面的舊知，為新知識的生成做好鋪墊.引導學生經歷觀察、猜想、驗證、證明的數學過程，從而在理解切線長定義，掌握切線長定理及基本模型的基礎上，能初步運用；

(2)通過學生的動手實踐和相互交流及自主體悟，形成邏輯連貫的思維體系，提升學生學習數學的成就感.

四、教學難點和重點，關鍵點

(1)教學難點：如何設置相關問題引發學生在已掌握知識的基礎上利用關聯性思維去探究新知.

(2)教學重點：切線長定理.

(3)教學關鍵點：老師如何設置相關問題驅動學生在猜想的基礎上，利用實踐去提取信息，最后通過嚴謹的數學邏輯證明，形成定理.

五、突破重難點和關鍵點的策略

(1)通過預設性提問和生成性追問引導學生對舊知進行整合、應用，通過設置層層深入的問題，用巧妙的語言調動學生積極思考，采用不斷追問的方式，逐步引向深入，培養學生嚴謹的思維習慣.

(2)根據本節課的教學目標，教學時采用直觀演示實驗以及猜想論證法，對學生加以引導、啟發，讓學生經歷觀察、畫圖、猜想、論證，以及討論、分析、演示相結合的教學過程，意在幫助學生通過自己動手試驗、分析歸納，從自己的實踐中獲取知識，并通過討論加深對知識的理解[1].

六、教學過程

環節一:預設性提問，孕育切線長定理.

問題1：直線和圓的位置關系有幾種？追問：如何判定？

問題2：切線的定義是什么？追問：切線和半徑有什么位置關系？

【設計意圖】通過預設性提問，連鎖性追問為切線長定理進行知識儲備.

環節二:承啟性追問，構建定理基本圖形.

問題3：過平面內一點作已知圓的切線，會有怎樣的情形呢？

提示：從點與圓的不同位置關系去思考

問題4：如圖1，點A在⊙O上，P是⊙O外一點，∠OAP是直角，PA是⊙O的切線嗎？為什么？

圖1

圖2

問題5：如何過⊙O外一點P作⊙O的切線？

作法：①連接圓外一點P與圓心O；

②以PO為直徑作圓，交⊙O于點A、點B,則PA、PB是⊙O的切線(如圖2).

【設計意圖】通過承啟性問題和聯想性追問引發學生進行關聯性思考，學生回答圓外一點可以做兩條切線后，在課堂中自然生成問題6，問題6的解決過程和結果為問題7的解決提供了方法和路徑，三個問題的解決過程，實際上就是切線長定理基本圖形的搭建過程.

環節三:探索性實踐，再現定理的發現過程.

問題 6：仔細觀察圖 2 所示的圖形，你能猜想出什么結論？

猜想：線段________________， 角________________.

問題7：改變點的位置，結論是否還成立(點在圓外)？你還可以通過什么樣的辦法去驗證？

學生和老師活動：學生通過觀察猜想，初步得出結論，老師通過幾何畫板軟件的展示，引導學生觀察在點的位置改變時，線段、角度的等量關系是否仍然成立，并激發學生去嚴謹驗證的欲望.

【設計意圖】學生通過觀察線段和角的等量關系，感受形變質不變的辯證思維和哲學思想的浸潤.提升學生在各種情境中進行數學表達、數學運用和數學闡述的能力[2].

問題8：試用文字語言敘述所得的結論？

切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.

判斷正誤：(1)切線是一條與圓相切的直線，不能度量.

( )

(2)切線長是一條線段的長，它是一個數，可以度量.

( )

(3)切線長就是切線的長度.

( )

問題9：如何用嚴謹的數學符號語言證明切線長定理？

切線長定理的題設是：已知：如圖2，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點分別為點A，B.

切線長的結論是：求證：PA=PB，∠OPA=∠OPB.

證明：(略).

【設計意圖】學生在自主探索后，形成了碎片化的結論，老師通過追問，引導學生將零碎的結論進行整合，形成完整的切線長理論.在學生有了成功體驗之后，教師引導學生根據數學的嚴謹性原則，繼續通過演繹推理證明結論[3].

環節四:模仿應用，體驗切線長定理.

1.已知：如圖3，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F，

(1)圖中共有幾對相等線段？分別是什么？

(2)若AF=4，BD=6，CE=8，則△ABC的周長是________；

(3)若AB=9，BC=15，AC=12，則AF=________，BD=________，CE=________.

圖3

2.如圖4，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，

(1)若PB=12，PO=13，則AO=________；

(2)若PO=10，AO=6，則PB=________；

(3)若PA=4，AO=3，則PO=________；PD=________；

【設計意圖】引導學生進行簡單的模仿應用，讓學生初步習得應用切線長定理的經驗，同時，讓學生收獲繼續探索的信心.

環節五：拓展外延，凝練模塊化幾何圖形.

如圖5，P是圓外一點，PA，PB是圓的兩條切線，A，B是切點，我們知道AP=BP，∠APO= ∠BPO.

圖5

問題10：若連接AB,OA,OB，你還可以推出哪些結論(角、邊、弧)？

【設計意圖】通過觀察圖形會發現圓心和這一點的連線為圓的對稱軸，利用對稱性還可得到更多的邊等、角等、弧等的結論.因此，環節5的設置是讓學生在學習了數學定理后可以把相關知識凝練成一個模塊化的知識鏈，讓定理的特征和本質顯性化.定理的延伸和拓展是數學定理教學過程中不可或缺的一環，對于培養學生思維的完整性和深刻性起著非常重要的作用[4].

環節六：遷移強化，運用和內化切線長定理.

已知,如圖6，PA,PB分別與⊙O相切于點A、B，PO與⊙O相交于點D，且PA=4 cm,PD=2 cm.求半徑OA的長.

圖6

【設計意圖】此環節的設置是讓學生學會運用切線長定理來解決線段、角的問題，加深對切線長定理的理解，使學生學會發現、分析、解決問題，培養學生正確應用所學知識的能力.不同難度題目的設置是為了滿足不同層次的學生的學習需求，讓不同的學生的數學能力都可以有所發展.

環節七：微縮課堂，歸納提升.

圖7