經歷模型構建過程，讓數學學習更有價值
——“平均數”教學設計解析

◎周國寧 (東營市晨陽學校，山東 東營 257091)

“平均數”是統計與概率領域一個非常重要的統計模型.平均數的本質是反映一組數據的集中趨勢，具有直觀、簡明的特點，所以在日常生活中經常用到，比如平均速度、平均身高、平均成績等.因此，在教學平均數時，學生需要充分地體驗平均數的意義，明確平均數的求法，體會平均數的價值.如何讓學生在自主建構中理解平均數模型呢？下面我將針對本節課的設計談談自己的看法.

一、創設情境，經歷數學抽象過程

師：同學們，你們喜歡籃球嗎？

前不久，班里舉辦了一場趣味投籃大賽，他們的投籃情況怎么樣呢，咱們一起去看一看.

(出示統計圖)

這是一組和二組的投籃情況統計圖，從這兩幅圖中，你能知道哪些數學信息呢？

生：……

(這里學生要關注到人數和每個人的投籃個數)

師：現在，請你們來當當小裁判，看看這兩組，哪組的投籃水平高一些？

生：分別算出兩組隊員投進的總個數，用總個數來代表他們的投籃水平.

師：我們再來看第三、第四組的投籃情況統計圖，從這兩幅圖中，你能知道哪些數學信息呢？

現在，兩組的人數不同，還能不能用比較總個數的方法來判斷哪組的投籃水平高呢？

生：兩組人數不相同，再用總個數來代表他們的投籃水平就不公平了.

師：請同學們想一想，到底應該用一個什么樣的數來代表他們的投籃水平呢？你能不能找到這樣一個數？

一個好的生活情境，能引發學生強烈的問題意識和探究欲望，有利于培養學生的創新意識.這就要求解決問題的素材是學生熟悉的，或是感受過的、能夠理解的，與他們的生活密切相關的.課堂伊始，教師通過“你們喜歡籃球嗎”的話題，迅速拉近了與學生的距離.接著，教師提出問題“如果你來當裁判，你認為哪組投籃水平高”，學生通過討論交流，認為應該通過計數的方法選出水平比較高的小組.通過這個環節，學生在課堂上完成了“問題數學化”的過程，實現了“用數學”.

當兩組的人數不相同時，再用總個數來代表他們的投籃水平就不公平了.那應該用一個什么樣的數來代表他們的投籃水平呢？當舊方法不能解決新問題時，學生產生了學習新知識的迫切需要，為接下來的自主探究創造了良好的條件.更重要的是，學生體會到了學習平均數的必要性，了解了數學知識的來龍去脈，體會了數學知識的形成過程及其作用.

二、自主探究模型，滲透核心素養

師：接下來，請同學們小組合作來解決這個問題.

合作要求：

1.組內交流，形成統一意見.

2.可以在探究單上畫一畫、寫一寫，也可以算一算.

師：老師選取了兩幅有代表性的作品，出示作品1.

師：先來看第一幅作品，請你說清楚，你們是用哪個數代表了這兩組的投籃水平？你們是怎么找到這個數的？

生：……

師：誰和他的方法一樣？像這樣，把多的補給少的，就可以使每個人投進的個數同樣多， 我們就可以用同樣多的這個數來代表整個組的投籃水平.這種方法可以叫作“移多補少”法.

通過“移多補少”的方法，我們找到了5來代表第三組的投籃水平，4來代表第四組的投籃水平.所以，第三組的投籃水平高一些.

師：我們再來看第二幅作品，請你說清楚，你們是用哪個數代表了這兩組的投籃水平？你們是怎么找到這個數的？

生：……(4+6+5)÷3=5(個)

師：你能解釋一下算式每部分的含義嗎？

生：4+6+5是求總數(板書)，3是人數(師：也就是平均分成的份數，板書“份數”)，5是平均每人投中的個數.

師:你解釋得真清楚，誰也用了這種方法？像這樣，先把每個人的投籃個數合起來，再除以人數，也能使每個人的投籃個數同樣多，我們就用同樣多的這個數來代表整組的投籃水平.這種方法叫作“先合并再平均分”通過“先合并再平均分”的方法，我們也找到了5來代表第三組的投籃水平，4來代表第四組的投籃水平.所以，第三組的投籃水平高一些.

數學模型是數學學習中不可或缺的，不僅可以為數學的語言表達和交流提供橋梁，而且是解決現實問題的重要工具.學生的自主探究熱情被充分地激發，探究起來就會事半功倍，最終，學生通過兩種方法，為每一組找到了一個有代表性的數.其一為“移多補少”法，學生在操作中理解了“這個有代表性的數”的特點就是使每個人投的個數看起來同樣多；其二為“先合并再平分”方法，學生從算法角度加深了對“這個有代表性的數”的理解，并且體會到它不是指每個人投的實際個數，而是把所有人投的總個數平均分給每個人后得到的數.

三、成功構建模型，提升學生認識

師：同學們可真會學習.用移多補少和先合并再平分的方法為每組找到了一個能代表整組水平的數.比較一下這兩種做法，他們有什么共同點嗎？

師：誰來說說你的想法？

生：……

師：掌聲送給他，說得多棒啊！

的確，無論是移多補少，還是先合并再平均分，都是為了使原來不相同的幾個數看起來同樣多.同樣多的這個數就是這組數據的平均數.(板書)

5就是6，4，5的平均數，

誰能像老師這樣說一說4是誰的平均數？

生：4就是1，7，3，5的平均數.

師：我們用平均數代表了整個組的投籃水平，由此我們知道，平均數可以代表一組數據的整體水平.

自主探究使學生理解了這個“有代表性的數”的本質，接下來教師引導學生溝通兩種方法，總結它們的共同點，那就是使每個人投的個數看起來同樣多.在此基礎上明確“這個有代表性的數”就是這一組數據的平均數，可謂水到渠成.

四、深入研究模型，發展深度思維

1.體會平均數的虛擬性

師：平均數這么好用，你能不能在統計圖中直觀地表示出平均數的位置，讓人一眼就看出平均數是幾？在你的探究單上試一試.

生：……

師：用一條虛線表示平均數，就能讓人一眼看出平均數是幾.

師：同學們再想一想，5是英英投的個數嗎？是曉麗投的個數嗎？是果果投的個數嗎？那5是誰投的？

生：……

師：平均數并不是真實存在的，它只是一個虛擬的數.

2.體會平均數的取值范圍

師：請你仔細觀察，把平均數與每個數量比一比大小，你有什么發現？

生：……

師：平均數比最大的數小，比最小的數大.

3.體會平均數隨著數據的變動而變動

師：剛才我們通過比較平均數知道，第四組的投籃水平要低一些，你能不能想個辦法來提高一下第四組的平均數呢？

生1：去掉苗苗.

師：想象一下，去掉苗苗，這一組的平均數會怎么變？(出示PPT)

生2：讓苗苗多投幾個？

師：想象一下，假如苗苗投了5個，這一組的平均數會怎么變？(出示PPT)

師：如果小紅發揮失常，投進的個數降低到4個，這一組的平均數會怎么變？(出示PPT)

(這幾頁PPT展示到同一張中)

師：經過了這么多的體驗，關于平均數你有什么想對大家說的？

生：……

師：平均數就是這么敏感，當其中的數據發生變化時，平均數也會發生變化，但不論平均數怎么變，它的范圍肯定是不變的，一定是介于最大數和最小數之間.

4.尋找生活中的平均數

師：其實平均數在我們的生活中有著廣泛的應用，你都在哪里見過平均數？

生：平均分，平均身高，平均體重，平均壽命等.

明確了平均數的概念后，教師引導學生借助條形統計圖的特點，以虛線的形式畫出平均數所在的直線，并使學生通過一系列活動，在體驗中感受了平均數的虛擬性、敏感性和取值范圍，并尋找了生活中的平均數，拓展了平均數模型的應用情境.至此，學生成功構建了平均數這一統計模型，了解了平均數的意義和求法，體會了平均數的特點和價值.

五、拓展應用模型，鞏固意義和求法

師：下面這些問題，同樣需要我們借助平均數的特點來解決.

師：冬冬來到一個池塘邊.低頭一看，平均水深110厘米.冬冬樂開了花，這水也太淺了，我的身高是150厘米，下水游泳一定沒危險.你們覺得冬冬的想法對嗎?

生：……

師：說得真好!想看看這個池塘水底下的真實情形嗎?

(師出示池塘水底的剖面圖)

師：看來，認識了平均數，對于我們解決生活中的問題還真有不少幫助呢.

下面是四年級一班第一小組一次單元檢測的成績單，你能算出第一小組的平均成績嗎？

姓名張娟李濤王剛李麗劉麗成績(分)8590999195

數學建模的最終意義是解決問題，這就要求學生不僅要理解平均數的意義，還要學會熟練地求一組數據的平均數，通過習題的設計，學生不僅拓展了平均數的情境，了解平均數的價值，而且在計算、判斷、討論、思考等過程中深入理解并掌握了平均數模型.

六、回顧學習過程，形成方法意識

師：同學們，我們來回顧一下這節課的學習過程.

我們先是在問題情境中，遇到了“人數不一樣時，哪組的投籃水平高”的問題，體會到了學習平均數的必要性.接著，我們通過自主探究，用移多補少和先合并再平分的方法找到了平均數.最后我們用平均數的知識解決了生活中的問題，在這個過程中，我們深刻地體會到，平均數代表一組數據的整體水平.

在本課教學中，學生以“問題數學化”為開端，產生了“我要學”的主動需求，自主構建了“平均數”這一統計模型，解決了生活中的更多問題，不僅完整經歷了“建模—入模—出模”的全過程，而且在感悟中積累了數學建模活動經驗，提升了數學素養.

模型思想的構建，不是一個課例就能概括全面的.作為一線教師，我們應該利用好課堂這一主戰場，不斷嘗試新的教學模式，讓學生真正體會到數學的價值，并學會用數學創造更大的價值.