貝葉斯公式的微課教學設計與實踐

王 燕

(合肥師范學院 數學與統計學院，安徽 合肥 230601)

作為解決復雜概率問題的一個重要工具，貝葉斯公式是概率論教學中的重點和難點，同時又是貝葉斯統計的理論核心，以此為基礎發展起來的貝葉斯估計、貝葉斯網絡、貝葉斯分析、貝葉斯學習等理論在人工智能、數據挖掘、經濟預測、醫學診斷、質量監控等領域發揮著重要的作用，因此，學習和理解貝葉斯公式非常重要。

1 貝葉斯公式教學設計的思路

從學生熟悉的小故事、生活中遇到的實際問題和概率中經常列舉的質量檢測問題引申出教學內容，調動學生的學習興趣，激發學生的求知欲。通過引例，引導學生利用條件概率公式和全概率公式，推導出貝葉斯公式的具體形式及求解方法。在給出貝葉斯公式之后，對公式的條件、應用背景進行深入的解讀，讓學生更加深入地理解貝葉斯公式，并簡單介紹一下貝葉斯的生平，讓同學們認識到任何一個數學公式或者理論的產生都不是那么容易的。給出貝葉斯公式在信用問題中應用的例子，此案例既與學生所學專業背景有關，又能很好地體現課程思政，在講解例子的過程中，給同學們解釋了先驗概率和后驗概率，這是本節的難點，但基于實例對于兩個概念的理解是十分有利的。最后，進一步列舉貝葉斯公式的其他應用領域，擴展本節學習內容。課后思考題的選擇，是貝葉斯公式在“疾病診斷”中應用的案例，這個案例既有益于學生理解先驗概率和后驗概率，也能增強學生解決實際問題的能力。

2 貝葉斯公式教學過程的設計

2.1 創設情景，圖片案例引入

從“狼來了”的故事中村民們對小男孩的信任度如何急劇下降，體檢中某項指標出現異常時醫生讓患者復查的依據，產品出現質量問題時如何追究經濟責任等問題，一步步設問，引出微課教學內容——貝葉斯公式。

為了推導出貝葉斯公式，給出一個產品檢驗中的例子。引例與最開始提出的問題相契合，背景簡單，易于理解。

例1某工廠有三條生產線生產同一種產品，設三條生產線線的產量分別占總產量的0.25、0.35、0.40，又設這三條生產線的不合格品率依次為0.02、0.02、0.01。若該廠規定，出了不合格樣品要追究有關生產線的經濟責任，但該商品是哪一條生產線生產的標志已經脫落，問每條生產線應該承擔多大的責任？[1]

分析首先設出隨機事件，設A為抽取的產品為不合格品，B1,B2,B3分別表示抽取的產品是第i(i=1,2,3)條生產線生產的，則B1,B2,B3為樣本空間S的一個劃分，由題意可知三條生產線生產的概率分別為P(B1)=0.25,P(B2)=0.35,P(B3)=0.40，抽取的產品是第i(i=1,2,3)條生產線生產的，它正好是不合格品的概率分別是P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01，這些都是條件概率。

要追究三條生產線的經濟責任，即為計算這件不合格品正好屬于第i條生產線的概率，也就是考查P(Bi|A)(i=1,2,3)的值。

代入數據，可以求得

分析一下這些數據的意義，以P(B1|A)=0.3125為例，它表示如果這件產品是不合格品，它是第一條流水線生產的概率是31.25%，也就是第一條流水線要承擔的31.258%的責任。假設罰款100元，第一條流水線要罰31.25元。

通過比較可以看出，不合格品來自第三條流水線的可能性是最大的，因此，第三條流水線應該承擔最大的責任。

結論由條件概率的定義、乘法公式、全概率公式推導得到的這個公式實際上就是貝葉斯公式，把它一般化，就可以得到貝葉斯公式的精確表述。

2.2 貝葉斯公式

定理[2]設試驗E的樣本空間為S。A為E的事件，B1,B2,…,Bn為S的一個劃分，且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,…,n)，則

稱為貝葉斯公式。

解讀公式

1.對公式條件的條件進行解讀，B1,B2,…,Bn為S的一個劃分，保證了分母可以按全概率公式展開，P(A)>0,P(Bi)>0是為了保證公式中的兩個條件概率有意義。

2.公式中的A看成是結果，B1,B2,…,Bn看成是導致A發生的所有可能的原因，是一個“已知結果求原因”的公式。由于全概率公式是“知因求果”正向思維，而貝葉斯公式是“執果索因”逆向思維，也被稱為“逆概率公式”。

3.貝葉斯公式的歷史：最早是英國的數學家貝葉斯提出來的，所以以他的名字命名。他所發表的有關貝葉斯公式的文章很長一段時間內在學術界都沒有引起什么反響，可時至今日，貝葉斯公式已經發展成一整套統計推斷方法——貝葉斯統計，應用非常廣泛。

2.3 應用——信用問題[3]

例2某商業銀行對創業人群提供小額貸款，某人承諾兩年內還清貸款，否則視為不守承諾。假設對該人的信任度為0.7，可信的人不遵守承諾的概率為0.1，不可信的人不遵守承諾的概率為0.8。若此人兩年內未還清貸款，求銀行對此人的信任度為多少？

解讀名詞信任度，就是指可以被相信的程度，是一個人是可信的人的概率的大小。

分析這個人兩年內未還清貸款，即為一個不遵守承諾的人，可信的人可能會不遵守承諾，不可信的人也可能會不遵守承諾，所以這個人可信與否構成了不遵守承諾的所有可能原因，很明顯，這兩個原因是互斥的。如果把創業人群看成是一個樣本空間，那他們就是樣本空間的一個劃分，問題是若此人兩年內未還清貸款，求銀行對此人的信任度為多少？也就是求：若這個人未遵守承諾，他是一個可信的人的概率是多少？這是一個“已知結果求原因”的問題，可以應用貝葉斯公式解答。

由貝葉斯公式得，

結論若這個人未及時還清貸款，他的信任度將由0.7降至0.23，其信用程度大大降低。

延伸1貝葉斯公式的一個重要應用，就是在新信息的條件下，對B事件概率的重新估計。一般來說，貝葉斯公式中，A事件未發生前Bi事件的概率定義為先驗概率，有了A事件這個新信息后，再對Bi事件發生的概率的估計定義為后驗概率，貝葉斯公式正是在計算這個后驗概率。這道題目中，P(B)為先驗概率，P(B|A)為后驗概率。

延伸2進一步思考下面的問題：如果此人之后再次提出貸款申請，承諾兩年內還清貸款，銀行批準。若此人兩年內又未還清貸款，求銀行對此人的信任程度變為多少？

這個人第二次未及時還清貸款后，其信任度已經下降到0.036，從0.7到0.23，再到0.036，貝葉斯公式從數量上體現了這個人的信任度是如何急劇下降的。

如此低的信任度，將給個人的征信帶來污點，以后這個人的房貸、車貸、信用卡等都會受到影響。貸款額度要比別人的少，利率要比別人的高。如果逾期嚴重，甚至坐飛機、高鐵，住賓館都無法透支消費，子女無法上重點學校，失信寸步難行。

延伸3貝葉斯公式的應用遠不止此，在疾病診斷、經濟預測、刑偵決策和質量控制等凡是用到概率預測的地方，都會用到貝葉斯公式，貝葉斯公式無處不在。

2.4 小結

1.貝葉斯公式是一個平凡的公式，它是由條件概率、乘法公式和全概率公式推導得出的；

2.貝葉斯公式又是一個神奇的公式：它是逆概率公式，實現了P(A|Bi)到P(Bi|A)的轉化；它是一個由果求因的公式，與全概率公式正好相反；它本質上體現了利用樣本信息對先驗概率的修正。

2.5 思考題

思考題某一地區肝癌的發病率為0.0004，先用甲胎蛋白法進行普查。醫學研究表明，化驗結果是存在錯誤的。已知患有肝癌的人其化驗結果99%呈陽性(有病)，而沒有患肝癌的人其化驗結果99.9%呈陰性(無病)。現某人的檢驗結果呈陽性，問他真患肝癌的概率是多少?

延伸思考

1.檢驗結果呈陽性是否一定患有肝癌？

2.這種普查對于診斷一個人是否患有肝癌有無意義？

3 教學總結

關于貝葉斯公式的微課設計，主要有以下幾個特點：

(1)步步緊扣，教學設計體現完整性與邏輯性。各個教學環節和內容的設計銜接緊密，邏輯性強，體現了設計的完整性與合理性，前面的案例與后面的例題講解形成了首尾呼應的良好效果。

(2)遵循規律，教學過程注重數學思想方法的滲透。教學過程中通過一步步的設問引出今天的教學內容，主體按照“由引例引出貝葉斯公式—貝葉斯公式的精確表述—回到貝葉斯公式的應用”的順序組織教學內容，使學生能全面認識所學內容，形成完整的知識框架，還能培養學生應用數學解決實際問題的意識。

(3)合理選擇，開發案例教學中的思想政治元素。誠信是社會主義核心價值觀的重要組成部分，是做人做事的基本準則。通過講解貝葉斯公式在信用問題中的應用的例子，建立了誠信模型，教育學生做人做事要講誠信[4-6]。