微積分教學內容現代化的實踐探索

朱承澄

[摘? ? ? ? ? ?要]? 在微積分教學中堅持教學內容的現代化，吸收近代數學的思想方法和理論，引入零測度集的概念，借助勒貝格給出的黎曼可積的充要條件證明函數的可積性，簡化高等數學和數學分析中有關定積分性質的證明，既便于教師對定積分相關性質的講解，也有助于學生加深對定理的理解，進而提高學生的數學素養，是對微積分教學現代化的新探索。

[關? ? 鍵? ?詞]? 零集;黎曼可積;定積分性質;可積性條件

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2021）36-0098-02

一、引言

教學內容現代化既是教育現代化的主旋律，又是高校人才培養質量提升從教育大國到教育強國轉變的基本保證。教育現代化包含教育技術現代化和教學內容現代化兩方面。在微積分教學中，函數的黎曼可積性證明以及定積分性質的證明內容抽象、技巧性高、難度系數大，一直是大學數學教學中的重點和難點。通常的高等數學課堂上基本都是只介紹結論，不講證明。這樣處理雖然降低了學習難度，減少了學習負擔，但是不利于學生對定理結論的理解，也不利于學生數學素養的提高。而在通常的數學分析課堂上，雖然在介紹定理結論的同時，也講解定理的證明，但是其理論依據是用函數的達布上和與達布下和來描述可積的充要條件，證明過程煩瑣并且十分抽象，難以被學生接受，課堂教學效果不理想。因此，在教學過程中，我們對教學方法進行了相應的改進，在注重教育技術現代化的同時，堅持教學內容的現代化，吸收近代數學的思想方法和理論，改革教學內容，變革數學理論的呈現形式，提高課堂教學效果的教學理念，積極探索，大膽實踐，取得了比較理想的教學效果和一線教學實踐經驗。

二、黎曼可積的等價條件

微積分教科書[1-2]中的黎曼可積的充要條件是使用函數的達布上和與達布下和來描述的，反映了可積函數在分割對應的小區間上的振幅不能很大，但是沒有把被積函數的連續性與可積性之間的內在聯系完全展現出來。因此，學生對定積分知識的理解和掌握程度遠不如微分學理論的知識。但是定積分在后續的概率論與數理統計、常微分方程等理工科必修的課程中又要頻繁地使用，因此，如何讓學生透徹地理解黎曼可積的充要條件，可積函數類和定積分的相關性質是數學基礎課教師需要思考的問題。在近代數學中由勒貝格給出的一個揭示可積函數本質的定理，即勒貝格定理，則清晰地刻畫了可積性與連續性的內在聯系。在介紹這個定理之前，為了表述的方便，需要一個概念——零集[3-4]。

定義1 如果一個點集可以被總長度充分小的至多可數個開區間覆蓋，則稱這個點集為零測度集，簡稱為零集。

直觀上，零集可想象為“很小”的集合，不過零集仍然可能很復雜。特別是我們大家都熟知的有理數集是零集。若一個命題在某集合上除一個零集以外處處成立，就說它在這個集合上幾乎處處成立。

無論是文科生還是理科生，在中學數學中，在學習三角函數的時候，我們都接觸過振幅這個概念。一個函數的振幅等于這個函數的最大值減去最小值。結合上面給出的零集的定義我們可以得到下面的結論：

引理1 函數在一點處連續的充要條件是函數在這個點處的振幅為零。

對于這個引理1也很好理解，一個點的最大值和最小值都是它自己，因此振幅是零。借助零集的概念，勒貝格定理可以陳述為：

定理1 設f（x）是有限閉區間上的有界函數，則f（x）在限閉區間上黎曼可積的充要條件是f（x）在限閉區間上間斷點的集合是零集，即幾乎處處連續。

如前所述，通常的數學分析、高等數學和微積分教材中都是借助達布上和與達布下和去描述黎曼可積的充要條件，在這種描述中還會涉及分割以及分割的細度問題，這些知識都非常抽象，對于剛剛進入大一的學生來說，接受起來確實有一定的困難。所以多數學生學完了定積分之后只記得老師講過定積分是一個“分割，求和，取極限”的過程，至于怎么分割、為什么要求和、如何取極限，他們都是一頭霧水。作為高等數學教師或者數學分析教師，在講解分割的細度以及黎曼和的過程中看到學生坐在下面一臉迷茫的時候，也無數次思考過應該如何調整自己的教學方法或者改進自己的表達方式才可以讓學生真正明白定積分理論的本質。我們上面的定理1就給出了判定可積的另外一種方法，這種方法只需要了解零集概念和振幅就可以了。在教師授課的過程中零集的概念可以通過畫一條簡單的數軸讓學生直觀地理解如何用開區間來覆蓋這條數軸。而振幅只需要給學生復習一下高中學過的三角函數的知識，借助正弦函數和余弦函數的圖像就可以講解清楚。這樣的授課思路比講解達布上下和以及分割的細度要簡便不少，學生也更容易理解和接受。畢竟大一的學生剛剛經歷過高考，對高中的數學知識還是爛熟于胸的。這樣，數學分析、高等數學和微積分教材中關于定積分的可積函數類以及定積分性質的證明都可以直接應用定理1去簡化證明，進而提高教學效果。比如，連續函數（間斷點集合是空集）、有有限個間斷點的函數、單調函數（間斷點為至多可數個）、黎曼函數（間斷點集合是有理數集）等滿足定理1的條件，它們的間斷點集合都是零集，從而這些函數都可積。即有下面的可積函數類。

定理2（連續必可積） 若一個函數在閉區間上連續，則此函數在這個閉區間上可積。

定理3（單調必可積） 若一個函數是閉區間上的單調函數，則此函數在這個閉區間上可積。