遞推思想及其應用

【摘 要】遞推思想是數學中的重要思想方法，用它來解決與正整數有關的問題或操作次數較多的問題時，通過建立相鄰項的關系就能使復雜的整體問題轉化為簡單多次的局部問題。本文旨在介紹遞推思想在數列、函數、計數問題中的

應用。

【關鍵詞】遞推思想;數列;應用

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）16-0171-02

遞推思想是探索數學規律，通過有限認識無限的一種數學思想，在高中階段培養學生用遞推思想思考問題的能力，可以促進學生數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養的提升[1]。本文旨在介紹此法在數列、函數等相關問題中的應用，注重分析問題、解決問題的思維過程，滲透思想方法，能提高學生解決問題的能力。

1? ?數列問題

例1：（2018年上海市浦東新區高三二模）已知數列{an}中a1=1，前n項和為Sn，若對任意的n∈N *，均有Sn=an+k?k（k是常數，且k∈N *）成立，則稱數列{an}為“H（k）數列”。若數列{an}為“H（2）數列”，且a2為整數，試問是否存在數列{an}，使得|an2?an?1an+1|≤40對一切n ≥ 2，n∈N *成立？如存在，求出a2的所有可能值;如不存在，說明理由。

【分析與解】an+1=an+3?an+2an+3=an+2+an+1（n∈N *），所以an+2=an+1+an（n ≥ 2），|an2?an?1an+1|=|an2?an?1（an+an?1）|=|an?12?anan?2|=…=|a32?a2a4|=|a32?a2a3?a32|≤40（n ≥ 3），因為S1=a3?2，a1=1，所以a3=3，|9?3a2?a22|≤40，且n=2時，|a22?3|≤40，所以a2=0，±1，±2，±3，±4，±5，?6。

【點評】{an}從第二項起是斐波那契數列，雖可求通項，但以通項代入會導致繁復的運算。于是考慮將整體的恒成立問題通過遞推關系轉化為只與前幾項有關的局部運算，使問題得以簡化。

例2：（高中數學聯賽模擬題）數列{an}中，a1是正整數，an=[]，n ≥ 2，其中[x]表示不超過實數x的最大整數。求證：存在正整數N，使得aN=N。

【分析與解】若a1=1，命題已成立。若a1≥2，經計算知{an}的前若干項單調遞增，而正整數數列bn=n遞增且趨于正無窮，類似于連續函數的零點存在定理可知存在正整數N，使得aN=bN，所以，單調性與臨界點是解決問題的關鍵。首先證明存在正整數m，使得am ≤ m。反之對任意正整數n都有an≥ n+1，因為an=[]≤，

所以an2 ≤ nan?1，an?12≤（n?1）an?2，…，a22 ≤ 2a1，相乘得an2an?1…a2 ≤ n！a1，所以（n+1）2?n…2 ≤ an2an?1…a2a1≤ n！?a12，即an ≥ n+1對任意正整數n都成立，矛盾。所以存在正整數m，使得am ≤ m。若am=m，命題已成立，否則設N是最小的正整數使得aN ≤ N?1，則N?1 ≥ aN=[]>?1，所以aN?1

【點評】本題先作直觀分析，再利用高斯函數的性質x?1<[x]≤ x建立遞推不等式，將正整數的相等關系通過離散性轉化為不等關系求解，從而將數列的整體性質轉化為簡單多次的局部性質來解決。

2? ?函數問題

例3：（2017年上海市建平中學高三三模）若定義在R上的函數 y= f（x）滿足：對于任意實數x，y，總有 f（x+y）+ f（x?y）=2 f（x） f（y），則稱f（x）為“類余弦型”

函數。

若f（x）為“類余弦型”函數，且對于任意非零實數t，總有為f（t）>1，證明：函數f（x）為偶函數;設有理數x1，x2滿足|x1|<|x2|，判斷f（x1）和f（x2）的大小關系，并證明。

【分析與解】可取滿足條件的一個函數——雙曲余弦函數f（x）=進行判斷，得 f（x1）< f（x2）。問題只要求證明有理數相關結論，而有理數可用整數表示，所以考慮將所給函數方程表示為某種整數條件再建立遞推關系求解。令x=1，y=0得2f（0） f（1）=2f（1），由f（1）>1知f（0）=1。令x=0得 f（y）+ f（?y）=2 f（y），所以 f（y）=

f（?y）對任意實數 y都成立，所以f（x）是偶函數。設 y≠0，令x=ky（k∈N*）得 f（（k+1）y）+f（（k?1）y）=2 f（ky） f（y）>2 f（ky），所以f（（k+1）y）? f（ky）> f（ky）?f（（k?1）y）>…> f（y）?f（0）>0，所以對任意非零實數 y，數列{ f（ky）}k≥1單調遞增。設有理數|x1|=，|x2|=，其中p是非負整數，q，r，s是正整數，由|x1|<|x2|知 ps

f（x1）=f（|x1|）=

=f（|x2|）=f（x2）。

綜上，有理數x1，x2滿足|x1|<|x2|時， f（x1）< f（x2）。

【點評】本題針對有理數的條件建立函數值數列的遞推不等式，將任意兩個有理數的函數值的大小關系轉化為同一數列的單調性求解，遞推關系的建立至關

重要。

3? ?計數問題

例4：（2018上海市復旦大學附屬中學高一期中考試）對任何有限集S，記 p（S）為S的子集個數。設 M={1，2，3，4，5}，則對于所有滿足 ABM的有序集合對（A，B），求 p（A） p（B）的總和。

【分析與解】記 Mn={1，2，…，n}，p（A）p（B）的總和為Tn，容易計算T1=7。對任意的ABMn，設n+1時（A，B）變為（A'，B'）。若n+1B，則A'=A，B'=B，

p（A'）p（B'）=p（A）p（B）;若n+1∈B＼A，則A'=A，B'=B∪{n+1}，p（A'）p（B'）=2p（A）p（B）（A=B時也有A'=A，B'=B）;若n+1∈A，則A'=A∪{n+1}，B'=B∪{n+1}，

p（A'）p（B'）=4p（A）p（B）。所以，對任何有序對（A，B）總有

p（A'）p（B'）=7p（A）p（B） ，從而 Tn+1=7Tn ，故Tn=7n 。

【點評】本題可對A的元素個數討論，利用子集個數公式和二項式定理求出 i 元素子集時 p（A） p（B）的總和，再求所有的總和，這樣就將變成完全局部化的處理。遞推方法則考慮到了從n到n+1的變化情況及其關系，并將局部關系應用到整體來解決，是與元素個數有關的計數問題的常用方法。

例5：（2017年上海市長寧區高三二模）設x1、x2、…、x10 為1、2、…、10的一個排列，則滿足對任意正整數m、n，且1 ≤m

A.512? ? ? ?B.256? ? ? ?C.255? ? ? ?D.64

【分析與解】考慮最大項的位置，建立遞推關系。設x1，x2，…，xl是1、2、…、l的一個排列，滿足條件的排列個數記為 Al，顯然A1=1。當l ≥ 2時，考慮最大項l的位置。若xk=l，則l+k=xk+k ≤ xk+1+k+1，所以xk+1 ≥ l?1，故只能有xk+1 = l?1，以此類推可知xn=l?n+k（n=k，k+1，…，l），即xn+n=l+k（n=k，k+1，…，l），特別地，若x1 = l，則只有一種排列：xn=n+1?l（n=1，2，…，l）。又因為當n

作差得Al+1=2Al，又因為A1=1，所以Al=2l?1（l∈N*），A10=512。

【點評】本題考慮極端情況，通過最大項的位置決定其他項的取值，得到l?1階遞推關系再求通項，既有局部遞推關系的建立，也有利用遞推關系處理整體問題的思維方式，都是化繁為簡的基本思想的體現。

上述實例是中學階段利用遞推思想解決問題的部分應用，遞推思想不僅在數列、函數、計數問題上有所應用，還在眾多數學分支如組合、概率、組合、矩陣問題的研究中顯示出獨特的魅力，有較高的理論和應用價值。把握好遞推思想，運用好遞推關系不僅可以提高學生的數學素養，更對學生今后進行學術問題的研究起到非常重要的作用[2]。綜上，數學解題的過程是一個不斷經歷探索思考的過程，遇水善于搭橋，逢山敢于開路，只有經歷這樣的過程才能提高學生的思維能力和水平。

【參考文獻】

[1]曹程錦.遞推思想及其應用[J].中等數學，2018（3）.

[2]凌世芳.例談地推思想在中學數學中的應用[J].中學數學，

2012（3）.

【作者簡介】

何正華（1990～），男，漢族，浙江蘭溪人，碩士，中學二級教師。研究方向：中學數學教學。