極限狀態模糊性對地震易損性分析的影響研究：以鋼筋混凝土框架結構為例

于曉輝，李越然，宋鵬彥，呂大剛

(1. 哈爾濱工業大學結構工程災變與控制教育部重點實驗室，黑龍江，哈爾濱 150090；2. 哈爾濱工業大學土木工程學院智能防災減災工業與信息化部重點實驗室，黑龍江，哈爾濱 150090；3. 河北大學建筑工程學院，河北，保定 071002)

近年來，以風險為導向的新一代基于性能地震工程得到了研究人員的廣泛關注[1]。根據美國太平洋地震工程研究中心(PEER)提出的全概率風險決策框架[2]，地震風險分析被分解為3個基本模塊，包括：地震危險性分析、地震易損性分析和地震損失分析。其中，地震易損性分析是連接地震危險性分析與地震損失分析的橋梁，它用來確定工程結構在不同強度地震作用下發生不同極限狀態破壞的概率[3 ? 4]。近年來，地震易損性被廣泛應用于不同類型結構的地震安全評估中[5 ? 9]，已經成為工程結構地震安全評估的一種有效手段[10]。

地震易損性分析主要包括概率地震需求分析[11]和概率抗震能力分析[12]。其中，概率抗震需求分析用來建立地震動強度與結構響應之間的統計關系；概率抗震能力分析則用來定義不同極限狀態對應的結構抗震能力限值的概率分布。結構極限狀態的劃分與結構損傷水平緊密相關，通常依賴于工程經驗判斷，無法形成較為統一的標準。僅以倒塌極限狀態而言，如何來定義結構倒塌？不同的工程和研究人員對其定義均不同。因此，極限狀態的定義具有很強的“模糊性”。鑒于此，如何衡量地震易損性分析中極限狀態劃分標準的模糊性，定量評價極限狀態模糊性對地震易損性的影響是一個值得研究人員關注的問題。

早在1965年，美國著名的控制論專家Zadeh[13]率先提出了模糊集合(fuzzy sets)理論。其中，他提出采用“隸屬函數(membership function)”來實現現象差異的中間過渡，這突破了經典集合論中屬于或不屬于的絕對關系，并由此開創了模糊數學學科。近年來，模糊數學在地震易損性的相關研究中已經得到了一定應用。例如：黃龍生和姜淑珍[14]基于歷史地震資料，采用模糊綜合評估方法，開展了群體公路橋梁的地震易損性分析，獲得了公路橋梁的地震易損性矩陣。張桂欣和孫柏濤[15]提出了一種基于模糊層次分析的建筑物單體震害預測方法，并針對汶川地震中的若干結構震害數據進行了驗證。何浩祥等[16]提出了一種基于多元模糊評定的橋梁綜合地震易損性分析方法，實現了從橋梁單元易損性到橋梁體系易損性的過渡。Colangelo[17 ? 18]通過引入模糊-隨機模型，利用可靠度理論中的經典概率干涉方法，推導獲得了考慮極限狀態模糊性的地震易損性函數。然而，極限狀態的模糊性與所采用的隸屬函數緊密相關。采用不同類型的隸屬函數去描述極限狀態中存在的模糊性會導致地震易損性結果的不同。此外，極限狀態模糊性對地震易損性函數參數的影響也缺乏定量的評估。

針對上述問題，本文采用10種不同隸屬函數來表征極限狀態定義中的模糊性，采用模糊-概率模型推導獲得不同隸屬函數對應的地震易損性解析函數，定量評價不同隸屬函數對地震易損性函數的影響，給出考慮極限狀態模糊性的地震易損性函數修正方法。為說明上述研究思路，以4棟不同高度和不同設防烈度的RC框架結構為例，進行應用分析。

1 基本概念

1.1 模糊集與隸屬度

隨機變量X上的一個模糊集A是指：對任何x∈X，均有一個數μA(x)∈[0,1]與之對應。其中，μA(·)被稱之為模糊集A的隸屬函數，又被稱作模糊分布。μA(x)表示x對A的隸屬度[19]。根據隸屬度的定義，可知：當μA(x)=1時，元素完全屬于模糊集A；μA(x)=0時，元素完全不屬于模糊集A。圖1給出了經典集合論與模糊集中關于隸屬度的定義及其差異。由圖1可見，在經典集合論中，代表點的隸屬度非0即1。然而，在模糊集合論中，代表點對集合的隸屬度是在[0,1]。

圖1 經典集合論與模糊集合論中的隸屬度含義差異Fig.1 Difference between memberships defined according to the classic sets and the fuzzy sets

1.2 隸屬函數

確定隸屬函數μA(·)的方法主要包括：統計實驗法、指派法、借用(已有客觀尺度)法、二元對比排序法等。本文采用指派法確定極限狀態的隸屬函數。指派法是一種基于檢驗并根據問題性質而直接采用典型隸屬函數來模擬模糊性的方法。根據問題中所要描述對象的模糊性大小，所指派的隸屬函數包括偏小型、中間型和偏大型，分別用來描述偏小、中間狀態、偏大的模糊現象。

地震易損性分析中的極限狀態定義包含大量工程經驗，不同工程和科研人員對同一極限狀態的理解也不盡相同，可認為屬于模糊性較大的情況。因此，本文采用偏大型隸屬函數來描述極限狀態定義存在的模糊性。采用模糊-概率積分的方法在地震易損性分析中考慮極限狀態模糊性，基本原理詳見第2節。本文考慮了10種不同類型的偏大型隸屬函數，如式(1)～式(10)所示。式中，α表示x的界限值；λ用來控制模糊區間的寬度。在所考慮的10種隸屬函數中，μ2(x)、μ3(x)、μ4(x)為冪函數型，μ5(x)、μ6(x)、μ7(x)為三角函數型，μ8(x)為指數型，μ9(x)和μ10(x)為對數型。μ1(x)較為特殊，其在整個模糊區間上模糊度為0.5，表示其在整個模糊區間上模糊性均達到最大。圖2給出了所考慮的10種隸屬函數的模糊分布曲線，以[(1?λ)×α，(1+λ)×α]為模糊區間，且在x=α界限值處取得最大模糊值。為說明模糊性的影響，圖2中以經典集合論中的非0即1的隸屬函數c(x)(見式(11))作為對比。

圖2 本文考慮的10種隸屬函數Fig.2 Ten membership functions considered in this paper

1.3 隸屬函數的模糊度參數與形狀參數

為了較為定量地衡量隸屬函數之間的差別，本節特引入模糊度參數和形狀參數分別來描述隸屬函數的模糊度大小以及隸屬曲線形狀特點。模糊性大小與模糊區間大小緊密相關，而模糊區間大小則由參數λ(λ>0)來決定(即：[(1?λ)×α, (1+λ)×α]為模糊區間)。具體而言，λ越大，模糊區間范圍越大，隸屬函數曲線越平緩，表示x在界限周圍的模糊性越大；λ越小，模糊區間范圍越小，隸屬函數曲線越陡，表示x在界限周圍的模糊性越小。當λ=0時，指數型隸屬函數μ2(x)、μ3(x)、μ4(x)與c(x)完全重合。這一結果表明：當λ=0時，隸屬函數所表征的模糊性消失，隸屬函數退化為經典集合論中非0即1的階躍型隸屬函數。綜上，λ可視為隸屬函數的模糊度參數。

為了更加全面地定量分析不同隸屬函數對地震易損性函數的影響時，本文提出了一個反映隸屬函數形狀特性的變量γ，該變量能夠反映隸屬函數曲線在模糊區間[(1?λ)×α, (1+λ)×α]上的形狀特征，如圖3所示。γ的定義如式(12)所示：

式中： |μk(x)?c(x)|表 示隸屬函數μk(x)與c(x)的差值；λα表示模糊區間(式(12)積分區間)的1/2，可計算為：[(1+λ) × α?(1?λ)× α]/2。因此，根據式(12)和圖3，通過與c(x)對比，γ可以定量化反映隸屬曲線形狀的“陡峭”和“平緩”程度。γ值越大，說明μk(x)與c(x)相差越大，模糊區間越大，因此，說明隸屬曲線形狀越“平緩”。反之，隸屬曲線形狀越“陡峭”。根據γ的定義式，γ=0表示隸屬函數與c(x)一致；γ=1表示隸屬函數在λ區間上的函數值皆為0.5，此時隸屬函數為μ1(x)。

圖3 隸屬度函數的模糊形狀參數的定義Fig.3 Definition of fuzziness shape factor of membership functions

值得說明地是，λ和γ分別用來描述隸屬函數的模糊度和形狀特征，前者反映模糊程度大小，后者反映隸屬函數形狀特征。根據式(12)，分別計算10種隸屬函數μi(x) (i=1,2,···,10)的形狀參數γ值，如表1所示。

表1 10種隸屬函數的形狀參數γTable 1 Calculated shape factors γ of ten membership functions

2 基于模糊-概率積分的易損性函數

2.1 模糊-概率積分的基本原理

根據經典的可靠度概率干涉理論，結構失效概率P可以表示為結構抗力R與結構需求S的卷積，可表示為：

式中：fRS為R與S的聯合概率密度函數；r和s分別為R與S的實現。

引入經典集合理論中的隸屬函數c(x)(見式(11))，式(13)可表示為：

采用模糊集中的隸屬函數μ(r,s)替換式(14)中的c(r,s)，獲得概率-模糊積分為：

式中，P′表示考慮模糊性的失效概率。

當λ=0時，式(14)和式(15)的解析表達式一致，即：P′=P。令R?=lnR和S?=lnS，式(15)改寫為：

2.2 考慮模糊性的地震易損性解析函數

地震易損性函數F(x)可分為：基于地震動強度的函數和基于變形的函數[3]。其中，采用基于變形的地震易損性函數，可以將地震易損性分析分解為概率地震需求分析和概率抗震能力分析。式(17)給出了常用的基于變形的地震易損性函數：

式中：mC和 βC分別表示對應不同極限狀態的結構抗震能力C的中位值和對數標準差；mD|IM和βD|IM分別表示在給定地震動強度IM下，結構需求D的中位值和對數標準差，可分別按式(18)和式(19)計算[11]：

式中：Di(i=1,2,···,N)為第i條地震動作用下的地震需求；N為地震動個數；系數 β0和 β1要通過對數線性回歸獲得。

基于式(17)，分別以C和D替換式(15)中的R和S，則有R?=C?和S?=D?。令t=C??D?，則有D/C=e?t。將式(16)進行變換，得到：

根據式(20)，可以推導獲得采用前4類隸屬函數μi(x)(i=1,2,3,4)來考慮極限狀態模糊性的地震易損性解析函數。基于剩余6類隸屬函數，無法利用式(19)直接獲得考慮極限狀態模糊性的地震易損性函數的解析表達式，需借助數值積分方法求解。

式中，系數αi和βi見表2。

表2 考慮極限狀態模糊性的地震易損性函數系數Table 2 Parameters of seismic fragility functions considered limit state fuzziness

2.3 考慮模糊性的地震易損性函數數值積分

若式(20)無法獲得解析解，可以采用蒙特卡洛法進行數值積分求解。將式(20)分解為2部分積分，第一部分積分域為 [ ?ln(1?λ),0]，假設t在區間 [?ln(1?λ),0]上服從均勻分布，概率密度函數為g(t)，則有：

式(20)的第二部分積分域為 [0,ln(1?λ)]，可表示為：

將式(23)和式(25)代入式(20)中，可以獲得考慮極限狀態模糊性的地震易損性的數值積分解為：

3 考慮極限狀態模糊性的RC框架結構地震易損性分析

3.1 RC框架結構

本文選取文獻[11]和文獻[20]中所采用的4個不同高度且具有不同設防烈度的RC框架結構為例，分析極限狀態模糊性對地震易損性的影響。這四個RC框架結構為：1) 結構F-1，3層結構，其設防烈度為VI度，設計基本加速度為0.05g；2) 結構F-2，5層結構，設防烈度為VI度，設計基本加速度為0.05g；3) 結構F-3，8層結構，設防烈度為VI度，設計基本加速度為0.05g；4) 結構F-4，10層結構，設防烈度為VI度，設計基本加速度為0.05g。采用OpenSees對結構在地震作用下的非線性反應進行分析。上述四個算例結構的設計和建模詳細信息可參見文獻[11]。為保證論文的完整性，給出四個框架結構的平面和立面布置，如圖4所示[11]。

圖4 算例結構 /mm Fig.4 Case structures

3.2 不考慮極限狀態模糊性的地震易損性分析

值得指出地是，考慮極限狀態模糊性的地震易損性分析，只需要在已有地震易損性分析結果基礎上，利用第2節中基于模糊-概率模型推導獲得的考慮極限狀態模糊性的地震易損性解析和數值解，即可計算獲得。因此，本文所提出的方法可以較為簡單有效地利用已有地震易損性分析結果，無須額外進行地震時程分析，即可在傳統地震易損性分析結果的基礎上考慮極限狀態模糊性的影響。

鑒于上述，由于文獻[20]中已經較為詳細地給出了上述四個RC框架結構的地震易損性分析過程和結果，因此，本節僅給出不考慮極限狀態模糊性的地震易損性分析結果。其中，采用100條地震動作為輸入，以譜加速度Sa作為地震動強度參數，以結構最大層間位移角θmax為地震需求參數，采用云圖法[11]建立概率地震需求模型。結構的極限狀態劃分為4級：輕微破壞、中等破壞、嚴重破壞和完全破壞。采用隨機Pushover方法[12]建立不同極限狀態對應的概率抗震能力模型。表3和表4分別給出了上述四個RC框架對應的概率地震需求模型參數和概率抗震能力模型參數。將表中給出的需求和能力模型參數代入式(16)，即可獲得地震易損性曲線。

表3 概率地震需求模型參數Table 3 Probabilistic seismic demand model parameters

表4 概率抗震能力模型參數Table 4 Probabilistic seismic capacity model parameters

3.3 考慮極限狀態模糊性的易損性分析

基于3.2節中不考慮極限狀態模糊性的地震易損性分析結果，根據2.2節和2.3節中方法，獲得考慮極限狀態模糊性的地震易損性曲線。僅以一種隸屬函數μ3(x)為例，給出四個算例結構在考慮和不考慮極限狀態模糊性情況下的地震易損性曲線，如圖5所示。由圖5可見，考慮極限狀態模糊性的地震易損性曲線要比不考慮極限狀態模糊性的地震易損性曲線更為平緩。極限狀態模糊性對完全破壞狀態的地震易損性影響要高于其對其他三個狀態地震易損性的影響。第4節將定量評價極限狀態模糊性對地震易損性的影響，進一步討論不同隸屬函數描述極限狀態模糊性對地震易損性的影響。

圖5 考慮和不考慮極限狀態模糊性的地震易損性曲線Fig.5 Seismic fragility curves with and without considering fuzziness in limit states

4 極限狀態模糊性對易損性的影響

4.1 極限狀態模糊性對易損性的影響系數

本文提出了一個影響系數 ηP來定量評價極限狀態模糊性對地震易損性的影響，如式(27)所示：

式中，[0,xup]為積分區間，本文取xup=2.0g。對于譜加速度Sa而言，Sa=2.0g這一強度已足夠大能使其對應的失效概率接近為1。因此，式(27)所示的積分可以對極限狀態模糊性對地震易損性曲線在較寬區間內的影響給出評估； ΔPmax表示考慮和不考慮極限狀態模糊性的地震易損性曲線的最大絕對概率差，可表示為：

4.2 極限狀態模糊性大小的影響

僅以3層結構F-1為例，將結構在嚴重破壞狀態對應的考慮和不考慮極限狀態模糊性的地震易損性曲線進行對比，如圖6所示。其中，采用隸屬函數μ4(t)來描述極限狀態模糊性，關注不同模糊度參數λ取值對地震易損性的影響。

圖6 λ值對考慮極限狀態模糊性的地震易損性的影響Fig.6 Effect of λ values on seismic fragility curves considering fuzziness in limit states

由圖6可見，λ取值越小，考慮極限狀態模糊性的地震易損性曲線與傳統地震易損性曲線越接近。當λ增大時，考慮模糊性的易損性曲線趨于平緩，且逐漸偏離傳統易損性曲線。當λ→0時，考慮模糊性的易損性曲線與傳統易損性曲線基本重合。在實際地震易損性的相關研究中，λ的取值受研究人員主觀因素影響較大。若研究人員認為所采用的極限狀態定義存在較大的模糊性，可以取較大的λ值。反之，可以取較小的λ值。

4.3 隸屬函數的影響

仍以3層結構F-1為例，采用不同隸屬函數來描述極限狀態模糊性，對比結構在嚴重破壞狀態對應的考慮和不考慮模糊性的地震易損性曲線，如圖7所示。僅研究隸屬函數對地震易損性的影響，在此取λ定值為0.5。由圖7可見，采用不同隸屬函數獲得的考慮模糊性的地震易損性曲線并不相同。為了定量評估隸屬函數選擇對考慮模糊性的地震易損性結果影響，采用ηP作為評價指標。圖8給出了10種隸屬函數對結構F-1、F-2、F-3和F-4在嚴重破壞極限狀態時地震易損性結果的影響。由圖8可以看出，隨著γ的增大，不同隸屬函數對易損性的影響也逐漸顯著。綜合圖7的結果，在本文所考慮的隸屬函數中，按照ηP的大小進行排序為：

圖7 隸屬函數對考慮模糊性的地震易損性的影響Fig.7 Effect of membership on seismic fragility considering fuzziness in limit states

圖8 10種隸屬函數對應的ηP值及其隨λ的變化Fig.8 Values of ηP corresponding to ten membership considered and the corresponding variation with λ

μ1(x)>μ4(x)>μ2(x)>μ6(x)>μ10(x)>μ8(x)≈μ7(x)>μ3(x)>μ9(x)>μ5(x)

將隸屬函數形狀對地震易損性結果的影響按ηP值大小分成5個等級，如表5所示。針對四個算例結構，計算10種隸屬函數對地震易損性的影響等級。結果表明，對地震易損性影響較高的隸屬函數為：μ1(x)、μ2(x)、μ4(x)和μ6(x)。隨著λ值的增大，極限狀態模糊性對易損性的影響等級顯著增加，影響程度可以達到V級(ηP>15%)。對于其他隸屬函數，當λ>0.7時，其對地震易損性的影響程度也較為明顯，影響等級可以達到III級，5%<ηP<10%。綜上，要合理考慮極限狀態的模糊性，要綜合考慮隸屬函數和λ值的影響。

表5 基于ηP的隸屬函數形狀對地震易損性影響等級劃分Table 5 Classification of effect of membership functions on seismic fragility curves using ηP

5 考慮極限狀態模糊性的易損性修正

根據第2節，通過模糊-概率積分可獲得考慮極限狀態模糊性的地震易損性函數。但是，這種方法獲得的地震易損性解析函數通常較為復雜。為解決這一問題，本文提出了一種較為簡化的考慮極限狀態模糊性的地震易損性函數修正方法。該方法基于模糊-概率積分法獲得的地震易損性結果，假設考慮極限狀態模糊性的地震易損性函數仍然服從對數正態分布，通過建立地震易損性函數中位值和對數標準差與模糊度參數λ之間的回歸關系，實現極限狀態模糊性對地震易損性函數的修正。

將式(18)代入式(17)中進行變換，獲得基于地震動強度參數的易損性函數，如式(29)所示[3]：

式中，未考慮極限狀態模糊性的地震易損性函數中位值mR和對數標準差 βR，按式(30)和式(31)計算：

式中，a1、a2、b1、b2為回歸參數，受隸屬函數形狀影響，不同隸屬函數對應不同的回歸參數。

修正后的地震易損性函數為：

圖9 和與λ的關系Fig.9 Relationships between and and λ

6 結論

本文考慮10種隸屬函數來描述極限狀態模糊性，考慮不同模糊度的影響，采用模糊-概率積分法推導了考慮極限狀態模糊性的地震易損性函數。以4個RC框架結構為例，開展了考慮極限狀態模糊性的地震易損性分析，研究了在極限狀態模糊性中考慮不同隸屬函數和不同模糊度對地震易損性結果的影響，給出了考慮極限狀態模糊性修正的地震易損性函數。得到如下結論：

(1) 采用不同隸屬函數考慮極限狀態模糊性對地震易損性結果影響較為顯著。隨著模糊度的提高，不同隸屬函數對應的考慮極限狀態模糊性的地震易損性分析結果差異也逐漸增加。

(2) 在本文所考慮的10種隸屬函數中，μ1(x)、μ4(x)、μ2(x)和μ6(x)對地震易損性的影響較大，在模糊度較大時(λ>0.7)，極限狀態模糊性對易損性的影響可以達到15%以上。對于其他隸屬函數μ3(x)、μ5(x)、μ7(x)、μ8(x)、μ9(x)和μ10(x)，當模糊度較大時(λ>0.7)，極限狀態模糊性對地震易損性的影響在5%～10%。

(3) 采用本文提出的考慮極限狀態模糊性修正的地震易損性函數可以較好地體現極限狀態模糊性對地震易損性的影響。

值得指出地是，考慮極限狀態模糊性的地震易損性函數選取受研究人員主觀意愿控制。若研究人員認為在地震易損性分析中所采用的極限狀態模糊性較大，就可以選取較大的λ值，同時根據自己的經驗去選取特定的隸屬函數，并利用本文推導的相應的考慮極限狀態模糊性的地震易損性函數進行分析。反之，研究人員可以選擇較小的λ值或者不考慮極限狀態的模糊性。但是，本文提供的考慮極限狀態模糊性的地震易損性解析函數，為工程人員更加客觀地考慮極限狀態定義中存在的經驗性問題提供了一條解決方案。