基于模態(tài)參數(shù)及BAS-PSO優(yōu)化算法的軟基水閘有限元模型參數(shù)修正方法

李火坤，王 剛，余 杰，魏博文，黃 偉，黃錦林

(1. 南昌大學建筑工程學院，南昌 330031；2. 廣東省水利水電科學研究院，廣州 510610)

據(jù)統(tǒng)計，中國建成的流量超5 m3/s及以上的水閘達103 878座[1]，其在防洪、灌溉、航運等方面發(fā)揮著不可替代的作用。然而，復雜的服役環(huán)境和水流的常年侵蝕給長期服役的水閘帶來不同程度的安全隱患，尤其是坐落于軟基上的水閘(軟基水閘)，易出現(xiàn)閘室不穩(wěn)定、結構損傷、閘基滲流破壞、底板脫空等問題[2 ? 4]，嚴重影響水閘工作效能的發(fā)揮。因此，水閘結構健康監(jiān)測及性能評估研究對于保證水閘的長期安全運行具有重大意義。準確可靠的有限元模型是結構健康監(jiān)測的基礎[5 ? 6]，但由于模型參數(shù)的不確定性，使得建立的有限元模型不能準確地反映水閘結構真實的動力學特性，進而影響水閘損傷識別和性態(tài)評估的精度。當前，基于實測信息的水閘有限元模型參數(shù)修正方法是一種比較可靠的方法。

在工程結構領域中，有關有限元模型參數(shù)修正方法按實測信息可分為基于靜力信息的有限元模型參數(shù)修正方法和基于模態(tài)參數(shù)的有限元模型參數(shù)修正方法。近年來，隨著測試技術和系統(tǒng)辨識理論的蓬勃發(fā)展，基于模態(tài)參數(shù)的有限元模型修正方法發(fā)展迅速，克服了靜力信息難以在線監(jiān)測的局限性，引起了諸多學者的廣泛關注。李晰等[7]采用FDD法識別出實際結構的模態(tài)參數(shù)，以此結合零階近似法來修正鋼管混凝土連續(xù)梁拱橋有限元模型；Chen等[8]提出了基于不完整模態(tài)數(shù)據(jù)的更新有限元動力學模型方法，通過建立結構修正參數(shù)與模態(tài)數(shù)據(jù)之間的精確關系，采用迭代求解法來確定結構參數(shù)；Girardi等[9]提出了基于歐幾里德范數(shù)中測量頻率和計算頻率的最小值來修正有限元模型；Hofmeister等[10]提出了以有限元模型振型MAC計算值與實測值之間的誤差最小來構建有限元模型修正的目標函數(shù)；Kang等[11]提出了基于頻率計算值和實測值之間相對誤差的目標函數(shù)來修正有限元模型參數(shù)，通過改進的人工魚群算法實現(xiàn)了優(yōu)化求解。選擇合理可靠的智能算法對水閘有限元模型參數(shù)修正尤為重要。目前，已有諸多算法應用于有限元模型參數(shù)修正，如遺傳算法(GA)[12]、粒子群算法(PSO)[13]、烏鴉搜索算法[14]及改進算法[15 ? 17]等，但由于許多智能算法存在一定的局限性，如群體算法存在計算效率較低的問題，個體算法存在難以實現(xiàn)全局收斂的問題等，有待進一步改進。

為此，本文結合模態(tài)參數(shù)和基于天牛須搜索算法的粒子群(BAS-PSO)優(yōu)化算法，提出一種軟基水閘有限元模型參數(shù)修正方法。首先，將改進的變分模態(tài)分解法(IVMD)和隨機子空間法(SSI)相結合，提出精確識別水閘振動模態(tài)參數(shù)的IVMDSSI法；其次，基于支持向量回歸(SVR)原理，建立表征軟基水閘待修正參數(shù)和模態(tài)參數(shù)之間非線性關系的GA-SVR代理模型；構建軟基水閘有限元參數(shù)修正的目標函數(shù)，并提出一種BAS-PSO優(yōu)化算法進行優(yōu)化求解；最后，將本文方法應用于軟基水閘物理模型，驗證方法的有效性。

1 軟基水閘有限元模型參數(shù)修正

1.1 基于IVMD-SSI的軟基水閘振動模態(tài)參數(shù)識別

為精確地挖掘軟基水閘振動響應信號中含有的振動模態(tài)參數(shù)，提出IVMD-SSI法來開展軟基水閘振動模態(tài)參數(shù)識別。首先，基于IVMD方法對水閘振動響應信號進行降噪處理，將噪聲信號從水閘振動信號中分離并濾除，保留信號中結構工作特征信息；隨后，利用SSI法對降噪后的信號進行識別，得到水閘振動模態(tài)參數(shù)。

1.1.1 軟基水閘振動響應信號的降噪處理

變分模態(tài)分解(VMD)作為一種多分量自適應信號分解方法，能夠通過求解約束變分問題來將振動信號f分解成K個有限帶寬的本征模態(tài)函數(shù)(IMF)，從而實現(xiàn)降噪處理。約束變分問題描述如下：

式 中： δ(t) 為 狄 拉 克 分 布；uk′(t) 為 第k′個IMF；j為復數(shù)單位；ωk′(t) 為第k′個IMF的中心頻率。為求解上述變分約束模型，引入二次懲罰因子和Langrange乘法算子使得變分約束模型轉換成非約束變分問題，則有：

式中： α是二次懲罰因子；λ(t)是Langrange乘法算子。通過交替方向乘子算法在頻域內求解式(2)，計算增廣Langrange函數(shù)的鞍點，即式(1)的最優(yōu)解，并不斷地迭代更新和優(yōu)化uk′、ωk′和λ，從而實現(xiàn)信號分解。

然而，傳統(tǒng)的VMD算法進行降噪時需預設K值，而K值的選取直接影響到信號分解的準確性。為避免K值不確定性所帶來的偏差，利用互信息法來改進VMD算法以實現(xiàn)K值的自適應選取，表達式如下：

式中：I(XI,YI) 為IMF分量XI和YI的互信息系數(shù)；H′(XI) 和H′(YI) 分別為IMF分量XI和YI的熵；H′(XIYI) 為IMF分量XI和YI的聯(lián)合熵。計算各IMF分量的歸一化互信息系數(shù)(NMIC)，并設定NMIC閾值[18]為0.02，當分量分解至NMIC小于閾值時，表明該分量與原信號不相關，此時信號已分解充分，由此自適應確定K值。

1.1.2 軟基水閘振動模態(tài)參數(shù)的識別

SSI是一種通過建立隨機狀態(tài)離散空間模型來識別結構模態(tài)參數(shù)的方法，其基本原理如下：

對于有N個測點，且每個測點數(shù)據(jù)長度為l，可將IVMD降噪輸出的測點響應數(shù)據(jù)組成2Nc×l的分塊Hankel矩陣：

式中，Y0|c?1為Hankle矩陣中第1行的下標起始時刻為0、終點時刻為c?1的所有測點組成的Hankle矩陣的塊。根據(jù)統(tǒng)計序列原理，當l/c足夠大時，可以認為l→∞，把Hankel矩陣的行空間分成“過去”行空間和“將來”行空間，并對Hankle矩陣進行QR分解：

由系統(tǒng)矩陣A1和輸出矩陣C1可識別出軟基水閘振動模態(tài)參數(shù)。

1.2 GA-SVR代理模型

本文從材料參數(shù)的角度出發(fā)，選擇對水閘結構模態(tài)參數(shù)影響較大的彈性模量E和密度 ρ[19 ? 20]作為待修正參數(shù)x={E,ρ}，構建表征軟基水閘待修正參數(shù)和模態(tài)參數(shù)之間的非線性數(shù)學關系的GA-SVR代理模型，其基本思路如下：采用拉丁超立方抽樣法(LHS)[21]生成較小的待修正參數(shù)樣本集，將其輸入有限元模型并得到相應的模態(tài)參數(shù)集，依據(jù)非線性映射原理將參數(shù)輸入空間映射至高維空間，利用線性可回歸的超平面來擬合軟基水閘待修正參數(shù)和模態(tài)參數(shù)之間的非線性數(shù)學關系，并利用遺傳算法優(yōu)化求解模型中的正則化參數(shù)C和核函數(shù)參數(shù)g，從而建立表征軟基水閘待修正參數(shù)和模態(tài)參數(shù)之間的非線性數(shù)學關系的GA-SVR代理模型。其中，SVR的基本原理如下：

式中，C為正則化參數(shù)。通過引入Lagrange乘子，得到拉格朗日函數(shù)，依據(jù)優(yōu)化條件，SVR的對偶問題可轉化為如下問題：

本文采用徑向基函數(shù)作為SVR的核函數(shù)，SVR的回歸方程如下：

式中， σ 為徑向基核函數(shù)的寬度參數(shù)。

1.3 軟基水閘有限元模型參數(shù)修正的目標函數(shù)

以軟基水閘振動模態(tài)參數(shù)與GA-SVR代理模型計算模態(tài)參數(shù)之間的相對偏差最小來構建目標函數(shù)，則目標函數(shù)可表示為：

1.4 BAS-PSO優(yōu)化算法

天牛須搜索(BAS)算法是由Jiang等[24]提出的個體尋優(yōu)算法，具有收斂速度快、效率高的特點，但對于多目標函數(shù)尋優(yōu)求解時，受個體的局限性難以考慮多變量之間的相關性。PSO算法作為群體尋優(yōu)算法，具有良好的全局收斂能力，并且能夠有效地克服個體尋優(yōu)的局限性，但傳統(tǒng)的粒子群算法計算效率較低，難以滿足要求。為此，本文將BAS算法和PSO算法相結合，提出一種BAS-PSO優(yōu)化算法，該算法不僅考慮了變量之間的相互作用，還提高了優(yōu)化求解的效率，其基本思路是將粒子群中個體視作天牛個體，基于BAS算法確定個體最優(yōu)適應度值，基于PSO算法更新群體，以此搜尋最優(yōu)解。BAS-PSO優(yōu)化算法的基本原理如下：

BAS-PSO優(yōu)化算法基本步驟如下：1)采用MATLAB編程軟件，隨機生成大小為200的粒子種群，定義最大迭代數(shù)為25，初始學習c1和c2分別為1.5和1.7，并確定適應度函數(shù)；2)將種群粒子視作天牛個體，定義兩須之間的距離為0.04，迭代步長的取值范圍為[0, 0.2]，采用BAS算法計算當代種群粒子的適應度值，確定天牛個體最優(yōu)位置，并更新個體最優(yōu)解和局部最優(yōu)解；3)采用PSO算法對粒子群的位置和速度進行迭代更新，并重復步驟2)，計算更新后種群的最優(yōu)解；4)當算法達到迭代次數(shù)25或者gbest小于10?6時，則停止搜索并輸出最優(yōu)解，否則將繼續(xù)重復步驟3)，直至搜索到滿足收斂準則的值為止。

1.5 軟基水閘有限元模型參數(shù)修正流程圖

基于模態(tài)參數(shù)及BAS-PSO優(yōu)化算法的軟基水閘有限元模型參數(shù)修正方法流程圖如圖1所示。

圖1 軟基水閘有限元模型參數(shù)修正流程圖Fig.1 Flow chart of parameter updating of finite element model of sluice on soft foundation

2 軟基水閘物理模型實例

2.1 軟基水閘物理模型基本情況

以某一原型軟基水閘工程為背景實例，制作比尺為1∶10的單孔軟基水閘物理模型，其示意圖如圖2所示。水閘結構采用鋼筋混凝土澆筑，軟基采用細沙、礫石及黏土填充，軟基四周設置混凝土邊墻約束，軟基水閘物理模型如圖3所示，其基本尺寸如下：水閘長為1.44 m、寬為1.36 m、高為1.6 m，底板厚為0.16 m，閘墩厚為0.16 m，前后工作橋寬分別為0.32 m和0.4 m，工作橋厚為0.04 m，軟基長為3.04 m、寬為2.96 m，地基高為0.54 m。本文對軟基水閘物理模型開展了人工脈沖激勵下的振動響應測試，將徑向加速度傳感器對稱布置于水閘左右兩側。在右側閘墩頂部從左至右布置4個測點，編號為B1～B4；在B4號測點處自上而下布置6個測點，編號為B5～B10，傳感器布置情況如圖4所示。傳感器采用BY-S07高精度振動傳感器，如圖5所示，振動測試時采用速度檔，測試頻響范圍為1 Hz～100 Hz。本文在兩次不同的人工激勵下開展振動測試，以此作為計算工況和驗證工況。

圖2 軟基水閘模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of sluice

圖3 軟基水閘物理模型Fig.3 Physical model of sluice

圖4 傳感器布置圖Fig.4 Sensor arrangement

圖5 BY-S07傳感器Fig.5 BY-S07 sensor

2.2 軟基水閘振動模態(tài)參數(shù)辨識

以計算工況為例，采用IVMD法對典型測點(B7)進行信號分解，利用互信息法確定模態(tài)數(shù)為4，經(jīng)過IVMD分解得到的4個信號分量時程線(如圖6所示)，其NMIC值如表1所示，可知，各個信號分量的NMIC值均大于閾值0.02，滿足分解要求。將典型測點信號分量進行重構，得到B7測點降噪前后時程線和功率譜密度曲線(如圖7和圖8所示)，由圖8可知，原始信號中的低頻噪聲得到了有效地剔除。采用SSI法對降噪后的信號進行模態(tài)識別，得到軟基水閘振動模態(tài)參數(shù)，如表2所示，其中，水閘前四階固有頻率分別為20.43 Hz、24.78 Hz、60.85 Hz和70.41 Hz，第一階振型為同向振動，第二階振型為反向振動，第三階振型為同向扭動，第四階振型為反向扭動，且各階阻尼比均在3.11%以內。

圖6 B7測點信號分量時程線Fig.6 Time history of signal components of B7

表1 B7測點信號分量的NMIC值Table 1 NMIC of signal components of B7

圖7 B7測點降噪前后時程線Fig.7 Time history before and after de-noising of B7

圖8 B7測點降噪前后功率譜密度曲線Fig.8 Power spectrums before and after de-noising of B7

表2 水閘振動模態(tài)參數(shù)識別結果Table 2 Modal parameter identification results of sluice

2.3 軟基水閘有限元模型

由于水閘鋼筋布置和混凝土養(yǎng)護存在差異，且地基不同區(qū)域的填充材料和壓實度不同，導致其彈性模量和密度不同。因此，可將水閘分為底板A、左閘墩B、右閘墩C和工作橋D四個區(qū)域，地基分為上層E、中層F和下層G三個區(qū)域。運用ANSYS有限元軟件建立軟基水閘有限元模型，如圖9所示，地基四周及底部采用法向約束來模擬地基邊墻的作用，工作橋與閘墩的連接方式采用搭接，有限元模型共劃分有91 602個單元和106 150個節(jié)點。

圖9 軟基水閘有限元模型Fig.9 Finite element model of sluice

2.4 支持向量機代理模型的建立

對水閘工作橋D的彈性模量和密度進行檢測，得到其彈性模量和密度分別為19.04 GPa和2512 kg/m3，并以此作為參考來確定水閘其他區(qū)域彈性模量和密度的取值范圍；根據(jù)文獻[25]，確定地基彈性模量和密度的取值范圍，如表3所示。采用LHS法在彈性模量和密度的取值范圍內隨機生成750組樣本數(shù)據(jù)，并將其輸入有限元模型進行模態(tài)計算，得到的750組頻率和歸一化振型系數(shù)，其中700組數(shù)據(jù)作為樣本集，50組數(shù)據(jù)作為測試集。設置模型的初始參數(shù)如下：初始種群大小為200，最大代數(shù)為25，交叉率為0.9，變異率為0.1，C的取值范圍為[0.1, 100]，g的取值范圍為[0.1, 1000]。使用GA算法搜索模型中最優(yōu)的正則化參數(shù)C和核函數(shù)參數(shù)g，并建立相應的GASVR代理模型。以頻率和典型測點為例，引入均方誤差(MSE)、平均絕對百分誤差(MAPE)、相關系數(shù)(R2)作為評價指標來量化GA-SVR代理模型的擬合精度，結果如表4和表5所示。

表3 彈性模量和密度取值范圍Table 3 Ranges of elastic modulus and density

表4 頻率評價指標Table 4 Evaluation index of frequency

表5 典型測點歸一化振型系數(shù)評價指標Table 5 Evaluation index of mode shape normalized coefficients of type measuring point

2.5 BAS-PSO優(yōu)化算法求解

基于式(17)建立最優(yōu)化數(shù)學模型，采用BASPSO優(yōu)化算法對其進行優(yōu)化求解，得到軟基水閘各分區(qū)彈性模量和密度，結果如表6所示。同時與自適應慣性權重的PSO算法(AWPSO)[26]和BAS算法進行對比，如圖10所示；可知，BAS-PSO優(yōu)化算法在第12代時收斂，而AWPSO算法和BAS算法分別在第16代和第14代收斂，且BAS-PSO優(yōu)化算法計算的適應度值更小，表明該算法具有更快的收斂效率和更高的精度。

圖10 優(yōu)化算法對比Fig.10 Comparison of optimization algorithms

表6 模型參數(shù)修正計算結果Table 6 Calculation results of model updated parameters

2.6 結果驗證

為驗證該方法的準確性，將彈性模量和密度的修正結果輸入有限元模型，得到頻率對比結果(如表7所示)和振型對比結果(如表8和圖11所示)。從對比結果來看，對于頻率而言，最大相對誤差為?4.75%，表明修正后參數(shù)計算所得的頻率與模態(tài)識別的頻率在數(shù)值上比較吻合；對于測點歸一化振型系數(shù)而言，大部分測點在數(shù)值和規(guī)律上都吻合較好，其識別值與計算值之間的相對誤差都在12.73%以內，僅有三個測點歸一化振型系數(shù)稍大，即第一階B10測點的相對誤差為?16.95%，第二階B20測點的相對誤差為22.93%，第四階B19測點相對誤差為?14.38%，主要是由于位于閘墩底部的測點振動幅值較小，受噪聲干擾大，導致振型識別產(chǎn)生一定的偏差。總體而言，基于修正后參數(shù)的軟基水閘計算模態(tài)參數(shù)與軟基水閘振動模態(tài)參數(shù)吻合較好，該方法是合理可靠的。

圖11 振型對比結果Fig.11 Comparison of mode shape

表7 頻率對比結果Table 7 Comparison of frequency

表8 測點歸一化振型系數(shù)對比結果Table 8 Comparison of mode shape normalized coefficients of measuring points

續(xù)表8

3 結論

本文提出了一種基于模態(tài)參數(shù)及BAS-PSO優(yōu)化算法的軟基水閘有限元模型參數(shù)修正方法，主要結論如下：

(1) 基于軟基水閘振動響應信號，提出了IVMDSSI法來識別軟基水閘振動模態(tài)參數(shù)，避免了VMD算法中參數(shù)不確定性所產(chǎn)生的偏差，有效地剔除了信號中的噪聲成分，并極大地提高了水閘振動模態(tài)參數(shù)的識別精度。

(2) 選擇對水閘模態(tài)參數(shù)影響較大的彈性模量和密度作為待修正參數(shù)，建立了反映軟基水閘待修正參數(shù)與模態(tài)參數(shù)之間非線性關系的GA-SVR代理模型，大大減少了有限元正分析的計算量，提高了參數(shù)修正的計算效率和計算精度。

(3) 提出了基于GA-SVR代理模型計算模態(tài)參數(shù)與水閘振動模態(tài)參數(shù)之間相對偏差最小的目標函數(shù)，構建了軟基水閘有限元模型參數(shù)修正的最優(yōu)化數(shù)學模型，將有限元模型參數(shù)修正問題轉換為目標函數(shù)優(yōu)化求解問題。

(4) 提出了一種BAS-PSO優(yōu)化算法，既保留了BAS算法的高收斂速度和PSO算法的高收斂精度，又克服了BAS算法難以考慮變量之間的相互作用的問題。經(jīng)過工程實例驗證表明，本文方法合理可靠且具有良好的可行性，可為軟基水閘有限元模型參數(shù)修正提供一條新思路。