基于簡(jiǎn)化四階矩法的各種截面鋼管混凝土軸壓承載力可靠度分析

丁發(fā)興，熊姝寧，向 平

(1. 中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南，長(zhǎng)沙 410075；2. 湖南省裝配式建筑工程技術(shù)研究中心，湖南，長(zhǎng)沙 410075)

現(xiàn)代建筑具有高層，大跨等特點(diǎn)，對(duì)柱的承載力要求高，而鋼管混凝土短柱(CFST)具有剛度大、承載力高、延性好和充分利用材料等優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際結(jié)構(gòu)中得到了廣泛的應(yīng)用。鋼管混凝土短柱能否在設(shè)計(jì)使用年限內(nèi)完成其在設(shè)計(jì)階段的預(yù)定功能，需要對(duì)其進(jìn)行可靠度評(píng)估。

可靠度理論從20世紀(jì)40年代發(fā)展起來，其主要的用途是評(píng)估各種結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)在加工以及使用階段完成預(yù)備功能的能力。結(jié)構(gòu)可靠度理論經(jīng)歷了第一代和第二代結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論[1]，第二代結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論采用基于矩法的可靠度理論，用統(tǒng)計(jì)矩反映荷載和抗力分布，進(jìn)而得出結(jié)構(gòu)的失效概率Pf及其相應(yīng)的可靠指標(biāo)β，如一次二階矩理論(FOSM)使用變量的前兩階矩，即均值和方差，該方法具有計(jì)算簡(jiǎn)便且表達(dá)公式簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)，因此在工程中得到廣泛應(yīng)用，如吳瑾等[2]采用一次二階矩法評(píng)估銹蝕鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)可靠度。林道錦等[3]為了計(jì)算鋼筋混凝土拱橋面穩(wěn)定性的剩余可靠度，提出一次可靠度方法與隨機(jī)有限元相結(jié)合的方法。黨育等[4]結(jié)合有限元方法和一次二階矩法，對(duì)隔震體系進(jìn)行模擬并分析其抗震可靠度。Mahdi Omidali等[5]采用FOSM對(duì)邊坡、船舶加筋板、樁和鋼筋混凝土橋柱等結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度分析。由于FOSM將函數(shù)展開成Taylor級(jí)數(shù)并取至一次項(xiàng)，故當(dāng)函數(shù)非線性程度較高時(shí)難以反映變量真實(shí)的概率分布特征，為了提高FOSM的精度，學(xué)者們提出改進(jìn)的一次二階矩法，如呂大剛等[6]在FORM的基礎(chǔ)上引入多級(jí)力控制 Pushover 分析方法，提出了一種FORM有限元可靠度方法。孟增等[7]提出了一種結(jié)合了修正的混沌控制算法與一次二階矩法的方法。蔣水華等[8]提出基于FORM的空間變異邊坡可靠度方法以及線抽樣法進(jìn)行了邊坡可靠性評(píng)估。

一次四階矩法采用功能函數(shù)的前四階矩進(jìn)行可靠度分析，結(jié)果的精度與一次二階矩法相比大大提高，因此學(xué)者們運(yùn)用高階矩法評(píng)估結(jié)構(gòu)的可靠性，如Li等[9]基于二次二階矩(SOSM)、二次四階矩(SOFM)和蒙特卡洛模擬(MCS)方法，評(píng)估了風(fēng)橋相互作用相關(guān)的各種參數(shù)對(duì)渦激振動(dòng)器的影響，鄒紅等[10]用矩法對(duì)CRTSⅡ型無砟軌道板橫向抗彎強(qiáng)度進(jìn)行時(shí)變可靠性評(píng)估。一次四階矩法對(duì)于非線性程度較高的功能函數(shù)，其計(jì)算精度較低，學(xué)者們?cè)诖嘶A(chǔ)上提出了一些改進(jìn)方法，如Li等[11]、Lu等[12]和Zhou等[13]分別提出了基于三階矩、四階矩和六階矩的鞍點(diǎn)近似法。俞登科等[14]利用矩法，對(duì)特高壓輸電塔的抗風(fēng)體系進(jìn)行可靠度分析。范文亮等[15]提出了一種適用于巖土工程的改進(jìn)四階矩方法，并進(jìn)行算例驗(yàn)證。杜永峰等[16]建立了基于二次四階矩可靠度理論的隨機(jī)魯棒性指標(biāo)，并對(duì)隔震結(jié)構(gòu)的抗倒塌能力進(jìn)行了評(píng)判。

近年來，丁發(fā)興課題組[17 ? 24]提出了各截面鋼管混凝土軸壓承載力公式，且目前的研究工作主要集中在對(duì)圓形和方形鋼管混凝土軸壓承載力進(jìn)行可靠度評(píng)估，而對(duì)于其他截面形式，可靠度尚未開展評(píng)估，為此筆者主要工作如下：1)收集國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行的各種截面鋼管混凝土短柱軸壓承載力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，獲取基本隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)并建立構(gòu)件的功能函數(shù)；2)運(yùn)用新點(diǎn)估計(jì)法計(jì)算功能函數(shù)的前四階中心矩；3)利用簡(jiǎn)化四階矩法計(jì)算各種截面鋼管混凝土軸壓承載力公式可靠指標(biāo)β。

1 基本隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

功能函數(shù)的基本隨機(jī)變量包括抗力、恒荷載和活荷載。抗力的分布由多個(gè)基本隨機(jī)變量影響，包括混凝土軸心抗壓強(qiáng)度fc，截面尺寸D和B，鋼管厚度t，鋼材屈服強(qiáng)度fy，計(jì)算模式不定性系數(shù)kp。抗力的分布近似服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布[25]。

1.1 軸壓承載力公式

鋼管混凝土軸壓承載力公式為：

式中：R為根據(jù)公式計(jì)算出來的鋼管混凝土軸壓極限承載力；fc為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度；fy為鋼管的屈服強(qiáng)度；Ac為鋼管內(nèi)核心混凝土的面積；As為鋼管的橫截面積；k1為鋼管形狀約束系數(shù)，與截面形狀有關(guān)，表1給出了式(1)中不同形狀的截面所對(duì)應(yīng)的k1[17 ? 24]取值。表2列出了不同形狀截面的計(jì)算公式[17 ? 24]。

表1 鋼管形狀約束系數(shù)k1列表Table 1 Shape confinement coefficient of CFST

表2 不同截面鋼管混凝土柱Ac和As的計(jì)算公式Table 2 Calculation formula of Ac and As for concrete filled steel tubular columns with different sections

荷載效應(yīng)S[26]表達(dá)式如下：

式中：SGk為恒荷載效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)值；SQk為活荷載效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)值，僅考慮辦公室樓面活荷載和住宅樓面活荷載；γG為恒荷載分項(xiàng)系數(shù)；γQ為活荷載分項(xiàng)系數(shù)。

圖1 各種截面鋼管混凝土Fig.1 Sections of different shapes

由式(1)與式(2)可得鋼管混凝土軸壓極限狀態(tài)Z的方程為：

式中，kp為鋼管混凝土軸壓抗力計(jì)算模式不定性的隨機(jī)變量。

1.2 荷載的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

最常見的荷載效應(yīng)組合有兩種：1)SG+SL辦和2)SG+SL住，下標(biāo)G、L辦、L住分別代表永久荷載、辦公室活荷載和住宅建筑的樓蓋活荷載，恒載和活載組合時(shí)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表3。

表3 荷載組合時(shí)的荷載統(tǒng)計(jì)參數(shù)[27]Table 3 The statistical parameters of load combinations

1.3 幾何尺寸的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

普通鋼管混凝土的幾何參數(shù)有鋼管厚度t、截面直徑或厚度D以及截面長(zhǎng)邊邊長(zhǎng)B，均服從均值系數(shù)為1.00，變異系數(shù)為0.05的正態(tài)分布[27]。

1.4 計(jì)算模式不定性的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

反映構(gòu)件計(jì)算抗力與實(shí)際抗力差異的計(jì)算模式不定性隨機(jī)變量kp表達(dá)式如下：

式中：Nu為構(gòu)件軸壓承載力實(shí)測(cè)值；N0為按式(1)計(jì)算的構(gòu)件抗力值。

根據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50010?2010)[26]規(guī)定，立方體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值fcu,k與軸心抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值fck的關(guān)系如下：

式中，對(duì)于不超過C50級(jí)的混凝土，取αc1=0.76，對(duì)C80取αc1=0.82，中間按線性規(guī)律變化，大于C80的混凝土，按C50～C80的線性規(guī)律繼續(xù)插值；對(duì)C40以下混凝土取αc2=1.0，對(duì)C80取αc2=0.87，中間按線性規(guī)律變化，大于C80的混凝土，按C40到C80的線性規(guī)律繼續(xù)插值；混凝土強(qiáng)度的變異系數(shù)δc的取值按表4確定。

表4 混凝土強(qiáng)度的變異系數(shù)[26] /(%)Table 4 Variation coefficient of concrete strength

筆者收集了國(guó)內(nèi)外460個(gè)圓形、340個(gè)矩形、16個(gè)六邊形、30個(gè)八邊形、71個(gè)橢圓形和29個(gè)圓端形截面鋼管混凝土短柱軸壓承載力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[17 ? 23, 28 ? 77]，其 中 包 括 本 書 中 提 到 的37個(gè) 圓形、20個(gè)矩形、8個(gè)六邊形、8個(gè)八邊形、8個(gè)橢圓形和26個(gè)圓端形截面鋼管混凝土實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。所有946個(gè)數(shù)據(jù)的鋼管外截面尺寸與厚度比值在20～220，構(gòu)件長(zhǎng)厚比L/B(或L/D)≤7，立方體抗壓強(qiáng)度fcu在25 MPa～120 MPa，鋼管的屈服強(qiáng)度fy在180 MPa～650 MPa。

將各隨機(jī)變量的取值代入式(1)，得到Nu，再利用式(4)求得kp，各截面鋼管混凝土的計(jì)算模式不定性系數(shù)kp統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表5，并對(duì)每個(gè)kp的概率分布進(jìn)行Jarque-Bera檢驗(yàn)，顯著性水平為5%，結(jié)果表明kp服從正態(tài)分布。

表5 普通鋼管混凝土軸壓公式計(jì)算模式不定性統(tǒng)計(jì)參數(shù)Table 5 The statistical parameters of calculation model uncertainty

1.5 材料性能的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

由于規(guī)范中只給出了C60以下混凝土材料性能的變異系數(shù)，故筆者利用文獻(xiàn)[78]給出的演繹法推算混凝土材料性能的均值系數(shù)和方差，鋼材材料性能的均值系數(shù)和方差見文獻(xiàn)[78]，鋼材和混凝土性能的統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表6。

表6 材料性能指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)[25- 26, 78]Table 6 The statistical parameters of material

2 可靠度方法

2.1 基于降維模型的新點(diǎn)估計(jì)法

對(duì)于含有n個(gè)隨機(jī)變量的功能函數(shù)G(X)，Zhao等[79]提出了基于n點(diǎn)估計(jì)的一維減維模型：

一維減維模型將功能函數(shù)化為n個(gè)單變量函數(shù)而簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，但當(dāng)功能函數(shù)有較強(qiáng)的非線性時(shí)，用一維減維模型求功能函數(shù)的前k階矩時(shí)精度不高，則采用二維減維模型代替原功能函數(shù)。對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行逆正態(tài)變換，且利用文獻(xiàn)[80]給出的公式對(duì)功能函數(shù)G(X)進(jìn)行二維減維，則功能函數(shù)可以寫為：

Zhao等[79]提出了新點(diǎn)估計(jì)法來計(jì)算功能函數(shù)的前k階矩，其核心思想是通過逆正態(tài)變換(Rosenblatt變換)[81]將原始隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間，再利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的估計(jì)點(diǎn)和權(quán)重估計(jì)函數(shù)的前四階矩。非正態(tài)隨機(jī)變量的估計(jì)點(diǎn)可表示為：

式中：Φ(U)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的分布函數(shù)；FX(X)為原變量的分布函數(shù)；xj為一般隨機(jī)變量；uj為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的估計(jì)點(diǎn)ui和權(quán)重Pi為：

式中，yi和wi是加權(quán)函數(shù)為exp(?y2)的Hermite積分的橫坐標(biāo)和權(quán)重[82]，于是可求得七點(diǎn)估計(jì)的ui和Pi[79]，取值見表7。

表7 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的估計(jì)點(diǎn)和權(quán)重Table 7 Sampling points and weights of standard normal variables

2.2 基于立方正態(tài)分布的簡(jiǎn)化四階矩法

由可靠度指標(biāo)定義，可得到基于二階矩法的可靠度指標(biāo)βSM和基于四階矩法的可靠度指標(biāo)βFM的關(guān)系[83]：

式中，zs為標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)變量。

Zhao等[84]提出了簡(jiǎn)化四階矩計(jì)算公式，其基本原理是將隨機(jī)變量Z標(biāo)準(zhǔn)化后的變量zs近似表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量u的三次多項(xiàng)式：

式中，系數(shù)l1、k1和k2見詳文獻(xiàn)[84]。

對(duì)式(11)進(jìn)行z-u轉(zhuǎn)換，可得到：

式中，系數(shù)p和系數(shù)D見文獻(xiàn)[84]。以上關(guān)系可以簡(jiǎn)寫為u=S?1(zs)。

由式(10)和式(12)可得，基于四階矩法和二階矩法的可靠度指標(biāo)[85]的關(guān)系為：

而傳統(tǒng)一次二階矩法的可靠度指標(biāo)計(jì)算公式為：

2.3 可靠度計(jì)算步驟

根據(jù)前述2.1的簡(jiǎn)化四階矩法，可以求得鋼管混凝土軸壓承載力公式的可靠度指標(biāo)β。

1)確定影響可靠度的隨機(jī)變量為截面尺寸(D,B)、鋼管厚度(t)、荷載效應(yīng)(SGk,SQk)、計(jì)算模式不定性(kp)、混凝土強(qiáng)度(fc)、鋼管強(qiáng)度(fy)，利用MATLAB對(duì)基本隨機(jī)變量進(jìn)行抽樣，獲得抗力R統(tǒng)計(jì)參數(shù)；

2)建立功能函數(shù)Z=G(X)，對(duì)功能函數(shù)進(jìn)行降維處理，利用隨機(jī)變量R、SGk、SQk的統(tǒng)計(jì)參數(shù)以及新點(diǎn)估計(jì)法計(jì)算G(X)的前四階矩；

3)用簡(jiǎn)化四階矩法求得可靠度指標(biāo)βFM。

3 可靠度結(jié)果與分析

3.1 截面形狀和含鋼率的影響

運(yùn)用基于一維與二維降維模型的簡(jiǎn)化四階矩法計(jì)算可靠度指標(biāo)，設(shè)置變化參數(shù)為截面形狀和含鋼率。荷載組合為SG+SL住，取荷載比ρ為1.0，混凝土類別為C40，鋼材類別為Q235。

圖2為不同截面形狀的可靠度指標(biāo)變化規(guī)律，可見由于八邊形、六邊形、橢圓形和圓端形截面鋼管混凝土短柱軸壓承載力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)少，其δkp較小，故抗力R的δR較小，由式(14)可知，可靠度指標(biāo)β較大，而圓形和矩形截面的δkp較大，故可靠度指標(biāo)β較小。由于本文的功能函數(shù)為一維函數(shù)，采用一維降維模型和二維降維模型得到的結(jié)果幾乎完全相同，故以下均用一個(gè)圖表達(dá)結(jié)果。

圖2 截面形狀和含鋼率變化對(duì)鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標(biāo)的影響Fig.2 Influence of section shape and steel ratio on reliability index

圖3和圖4分別為圓形截面和全部截面統(tǒng)計(jì)的計(jì)算模式不定性系數(shù)下，截面形狀和含鋼率變化對(duì)鋼管混凝土軸壓承載力公式可靠度指標(biāo)的影響規(guī)律，可見：1) 鋼管混凝土軸壓承載力公式可靠度指標(biāo)都能滿足目標(biāo)可靠度指標(biāo)3.2[86]的要求，由于圓形截面統(tǒng)計(jì)的δkp較大而全部截面統(tǒng)計(jì)的δkp較小，導(dǎo)致全部截面統(tǒng)計(jì)計(jì)算模式不定性系數(shù)下鋼管混凝土軸壓承載力公式可靠度指標(biāo)偏大，但可靠度指標(biāo)差別不超過5%，因此對(duì)于不同截面形式，均采用全部截面統(tǒng)計(jì)計(jì)算模式不定性系數(shù)分析其他參數(shù)的影響；2) 由于圓形、六邊形和八邊形截面的鋼管形狀約束系數(shù)k1較大，使得功能函數(shù)的方差較大，導(dǎo)致可靠度指標(biāo)較小；3) 隨著含鋼率α增大，力比Φs=fyAs/(fcAc)均值增大而鋼管對(duì)混凝土的約束效率降低，變異系數(shù)不變，導(dǎo)致抗力隨機(jī)變量的變異系數(shù)略增大，使得可靠度指標(biāo)β略減小。此外，對(duì)隨機(jī)變量R、SQk、SGk進(jìn)行隨機(jī)取樣，代入功能函數(shù)Z，其失效區(qū)間的占比隨著含鋼率的增加呈非線性增長(zhǎng)，故結(jié)構(gòu)的失效概率隨著含鋼率的增加而增加。

圖3 截面形狀和含鋼率變化對(duì)鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標(biāo)的影響Fig.3 Influence of section shape and steel ratio on reliability index

圖4 截面形狀和含鋼率變化對(duì)鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標(biāo)的影響Fig.4 Influence of section shape and steel ratio on reliability index

3.2 混凝土和鋼管強(qiáng)度等級(jí)的影響

鋼管混凝土的荷載組合為SG+SL住，取荷載比ρ為1.0，含鋼率α為0.04，鋼材類別為Q235。圖5所示為混凝土類別變化對(duì)可靠度指標(biāo)的影響規(guī)律，可見隨著混凝土等級(jí)的增加，隨機(jī)變量fc的變異系數(shù)減小，導(dǎo)致抗力隨機(jī)變量的變異系數(shù)減小，使得可靠度指標(biāo)β變大。

圖5 混凝土類別對(duì)鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標(biāo)的影響Fig.5 Influence of concrete type on reliability index of axial bearing capacity of concrete filled steel tube

鋼管混凝土的荷載組合為SG+SL住，取荷載比ρ為1.0，含鋼率α為0.04，混凝土類別為C40。圖6所示為鋼材類別變化對(duì)可靠度指標(biāo)的影響規(guī)律，可見隨著鋼材等級(jí)的增加，隨機(jī)變量fy的變異系數(shù)略微減小，使得可靠度指標(biāo)β略微增大。

圖6 鋼材類別對(duì)鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標(biāo)的影響Fig.6 Influence of steel type on reliability index of axial bearing capacity of concrete filled steel tube

3.3 荷載比和荷載組合的影響

鋼管混凝土的荷載組合為SG+SL住，取含鋼率α為0.04，混凝土類別為C40，鋼材類別為Q235。圖7所示為荷載比變化對(duì)可靠度指標(biāo)的影響規(guī)律，分析結(jié)果表明，當(dāng)僅有荷載比為變量且ρ約為1.0時(shí)，利用條件極值求得SGk+SQk值較小，故失效概率較小，可靠度指標(biāo)較大，而兩者方法的計(jì)算結(jié)果略有差別：1) 采用MCS法時(shí)，當(dāng)ρ=2.0時(shí)，可靠度指標(biāo)最小，而ρ=0.5～1.0時(shí)，可靠度指標(biāo)較大且極差不超過0.03；2) 采用簡(jiǎn)化四階矩法時(shí)，當(dāng)ρ=0.25時(shí)，可靠度指標(biāo)最小，而ρ=0.5～2.0時(shí)，可靠度指標(biāo)的極差約為0.05，當(dāng)ρL=1.0時(shí)，可靠度指標(biāo)最大。

圖7 荷載比對(duì)鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標(biāo)的影響Fig.7 Influence of load ratio on reliability index of axial bearing capacity of concrete filled steel tube

鋼管混凝土的荷載比ρ為1.0，含鋼率α為0.04，混凝土類別為C40，鋼材類別為Q235。圖8所示為活載類別變化對(duì)可靠度指標(biāo)的影響規(guī)律，可見由于辦公室活載的均值系數(shù)小于住宅樓面活載的均值系數(shù)，而二者的方差相差很小，故荷載組合為恒載和辦公室活載時(shí)，荷載效應(yīng)較小，可靠度指標(biāo)較大。

圖8 活載類別對(duì)鋼管混凝土軸壓承載力可靠度指標(biāo)的影響Fig.8 Influence of live load category on reliability index of axial bearing capacity of concrete filled steel tube

4 結(jié)論

本文采用簡(jiǎn)化四階矩法對(duì)鋼管混凝土軸壓承載力公式進(jìn)行可靠度分析，結(jié)論如下：

(1) 不同截面形狀的鋼管混凝土軸壓承載力公式均高于3.7，滿足目標(biāo)可靠指標(biāo)3.2[86]的要求。

(2) 對(duì)于同一截面形狀的鋼管混凝土軸壓構(gòu)件，當(dāng)辦公室活載：恒載=1.0時(shí)，混凝土強(qiáng)度越高，可靠指標(biāo)略增大。