連續排水邊界下考慮起始坡降的軟黏土固結解

陳 余，李傳勛

(江蘇大學土木工程與力學學院，江蘇，鎮江 212013)

經典太沙基固結計算時，常將排水邊界看作理想化的完全透水邊界，事實上，當砂墊層透水性不良時，土層的邊界條件大多數介于透水與不透水之間。同時，太沙基一維固結理論中也存在初始條件與邊界條件相矛盾的邏輯問題，太沙基固結理論中的排水邊界在初始的瞬間超靜孔壓有突變，忽略了固結過程本身是一個連續的過程。基于此，梅國雄等[1]提出了介于透水和不透水之間的連續排水邊界條件，對太沙基一維固結理論進行了有益的補充。

與完全透水邊界、完全不透水邊界及第三類排水邊界相比較，連續排水邊界具有適定性，適用于大多數軟黏土地基的邊界排水情況，能嚴格滿足固結模型的初始條件，且其在一定條件下能夠退化為完全透水邊界，因此進行基于連續排水邊界下土體固結理論的研究具有一定的理論意義和實際意義。張國英等[2]建立了連續排水邊界下一維均質地基固結模型，采用有限傅里葉變換方法求得超靜孔壓解答，分析了不同排水邊界界面參數下固結性狀的異同。蔡烽等[3]基于ABAQUS有限元軟件開發了連續排水邊界條件下固結計算的子程序，并將計算結果與連續排水邊界下固結解析解對比驗證子程序的可靠性，從而在技術上提供了連續排水邊界應用于實際有限元計算的途徑。在此基礎上，馮健雪等[4]給出了單級加載下考慮連續排水邊界的土層一維固結解析解，其在求解過程中連續排水邊界是基于瞬時加載建立的。Feng等[5]建立了同時考慮自重與外荷載引起的初始孔壓非均布和連續排水邊界的地基一維固結模型，并給出了該模型的解析解。需要指出的是，以上基于連續排水邊界的固結理論均沒有考慮土體的非線性固結特性。

事實上土體的非線性壓縮和滲透特性對土體固結性狀的影響不可忽視。基于此宗夢繁等[6]在初始有效應力和固結系數保持不變的基本假定下，得到了連續排水邊界下土體一維非線性固結模型解析解。宗夢繁等[7]進一步考慮土體的流變固結特性，得到瞬時和單級加載下考慮連續排水邊界的土體一維流變固結解析解。田乙等[8]在連續排水邊界下采用分數階Kelvin模型來描述飽和土體的流變特性，得到了分數階導數黏彈性飽和土體一維固結半解析解。李稱等[9]在已有的簡化降解固結模型基礎上引入連續排水邊界條件，建立了不同排水邊界下飽和城市固廢一維降解固結模型及其解析解。江文豪等[10]采用大應變幾何假定，研究了考慮連續排水邊界下飽和軟土的一維大變形固結問題。Zhang等[11]分析了連續排水邊界條件下豎井地基的超孔隙水壓力和平均固結度，探討了頂面排水能力、涂抹和井阻效應對固結性狀的影響。Tian等[12]在多級荷載和連續排水邊界條件下，利用超孔隙水壓力疊加公式，得到了超孔隙水壓力和固結度的解析解，得到了任意時變荷載作用下更一般的連續排水邊界。由此可見，盡管目前對連續排水邊界下土體的線性和非線性固結問題均有一定研究，但前述的對連續排水邊界下固結理論的研究均假定土中滲流遵從達西定律，而實際工程中軟黏土中的滲流在低水力坡降下常常會出現偏離達西定律的現象。試驗和實測均表明軟黏土中滲流在低水力坡降下可能會出現偏離達西定律的現象[13 ? 17]。其中Mitchell和Younger[14]的實驗數據顯示，在低水力坡降下的飽和黏土中滲流的實測流速很小甚至沒有滲流發生，這是在水力坡降較小的情況下，由于低滲透性黏性土中有粘滯阻力的存在所導致的。為進一步簡化飽和軟黏土中水的這一滲流現象，Miller和Low[18]提出了考慮初始水力坡降的滲流模型，即當水力坡降i小于起始水力坡降i0時，土中無滲流發生；只有當水力坡降i大于i0時，土中才會發生滲流。需說明的是，即使土中滲流在低水力坡降下沒有完全停止，但考慮起始水力坡降的滲流模型可看作是低水力坡降下流速極其微小的一種簡化模型，故有必要對考慮起始水力坡降的固結理論開展研究[19 ? 27]。目前考慮起始水力坡降的固結理論均認為土層的排水邊界為完全透水或完全不透水，但實際中土層邊界的透水性并不是完全理想化的，其排水邊界孔壓隨時間指數衰減的連續排水邊界更符合實際工況，尤其對存在起始水力坡降的黏性土的排水邊界更適用。

本文同時考慮軟黏土中滲流存在起始水力坡降以及土層表面的連續排水邊界特性，對軟黏土地基一維固結理論展開研究，并著重分析邊界系數b和起始水力坡降i0對固結性狀的影響。本文提供的固結理論模型適用于大多數軟黏土地基的排水固結計算，尤其是黏粒含量較多導致的土中滲流在低水力坡降下存在起始值的工況，進而為該類工程地基的固結變形計算提供重要的理論支持。

1 邊界條件的分析及固結模型的建立

如圖1所示，無限均布荷載q0施加于均質黏土層，黏土層厚度為H，土層頂面是連續排水邊界，其界面排水系數為b，土層底面為完全不透水邊界，土體壓縮模量為Es。

圖1 軟土地基一維固結模型Fig.1 One-dimensional consolidation model of soft ground

本文在建立固結模型時采用了Terzaghi固結理論中除軟黏土中水滲流服從達西定律以外的其他基本假定。

土中滲流考慮存在的起始水力坡降，其值為i0，以重力方向向下為正，則土中滲流規律[18]可以表示為：

式中：i為水力坡降；kv為黏土層的滲透系數；v為黏土層中水的流速；i0為起始水力坡降，其值可以由黏性土的滲透試驗來確定。滲透系數的室內測定可采用常水頭法獲得，通過測試不同水頭下的滲透系數，繪制出滲流速度和水力坡降的關系曲線，曲線與水力梯度坐標軸的交點可確定起始水力坡降。土層頂面連續排水邊界處的孔壓應滿足[1]：

式中：u為超靜孔隙水壓力；t為時間；b為連續排水邊界界面系數，反映土體排水能力，界面參數是通過孔隙水壓力傳感器測量出的土體不同位置和時間的超靜孔隙水壓力再反演獲得[28]。b值越大邊界排水性越好，當b→∞，連續排水邊界退化為完全透水邊界。土中滲流存在的起始坡降必然引起固結過程中的邊界移動，記t時刻移動邊界距離透水面的距離為h(t)，此時滲流鋒面z=h(t)處超靜孔隙水壓力u及水力坡降i應該滿足的邊界條件為[19]：

式中：z為深度； γw為水的重度。

根據側限條件下孔隙比變化與豎向有效應力變化間的關系，可建立滲流前鋒以上土體的一維固結控制方程：

式中，cv為固結系數，cv=kvEs/γw。控制方程對應的連續排水邊界為式(2)，起始水力坡降引起的移動邊界表達式為式(3)和式(4)。模型的初始條件為：

2 固結模型的解析解答

2.1 滲流移動邊界未到土層底面的解析解

至此，該問題對應的固結模型已建立完備。

為方便求解做如下變量代換，令：

將式(7)代入式(3)～式(6)中，則固結控制微分方程、邊界條件及初始條件轉化為：

將w(z,t) 和q0e?bt按關于z的固有函數進行傅里葉正弦級數展開，即：

進而t時刻z≤h(t)的超靜孔壓表達式為：

當h(t)

當t趨近于無窮(固結已完成)時，如果滲流鋒面仍不能至土層底面，此時土中殘留孔壓沿深度分布為：

根據式(3)表達的移動邊界處超靜孔壓需滿足的條件，結合式(14)超靜孔壓在z=h(t)處的表達式，可得到滲流移動邊界隨時間變化規律為：

應用無量綱變量，式(15)對應的無量綱表達式為：

本研究初步提示，早期足量肝素用于STEMI患者，有助于改善冠脈血流、改善心功能，且并不增加出血事件。但，本研究為單中心研究，樣本數量有限，還需要以后更大樣本量的研究。

按t時刻孔壓定義的平均固結度Upt為：

將超靜孔壓表達式代入，平均固結度可進一步表達為：

根據有效應力原理，可將有效應力表達為：

進而可得到t時刻土體沉降量St為：

式中： σ′為有效應力；Es為土體壓縮模量，在無側向變形條件下，豎向應力和應變的比值，反映土體對豎向壓縮變形的抵抗能力。令固結時間向無窮遠處發展，根據殘留孔壓分布可得到移動邊界能到達土層底面與移動邊界始終不能到達土層底面的最終沉降量，其表達式為：

根據按變形定義的計算公式Ust=St/St→∞，最終得到按變形定義的平均固結度Ust。

2.2 滲流移動邊界到達土層底面的解析解

當滲流移動邊界到達土層底面時，可在式(14)中令h(t)=H獲得t時刻超靜孔壓表達式為：

在滲流鋒面能發展至底面的條件下，當t趨近于無窮(固結完成)時，此時殘留孔壓沿深度分布為：

根據平均固結度的定義：

得滲流移動邊界已到達土層底部的平均固結度Upt：

根據不考慮側向變形條件下的壓縮量計算公式算得土層沉降量St為：

進而得到按變形定義的平均固結度Ust為：

3 解析解的退化驗證

3.1 基于連續邊界條件的固結模型解析解的退化

前文提到b是排水邊界的界面系數，其反映地基土體邊界的排水性能，其值越大，邊界的透水性越好；相反，其值越小，邊界的透水性越差。如果令b趨近于無窮大，那么連續排水邊界條件下的固結模型就退化為完全透水邊界下考慮起始比降的一維固結模型。滲流移動邊界未到達土層底面的超靜孔壓計算式退化為：

當0

當h(t)

式(29)和式(30)正是王坤等[21]初始孔壓均布條件下考慮起始比降的一維固結解解析解。滲流移動邊界X與時間因子Tv的關系式退化為：

滲流移動邊界未到達土層底面時按孔壓定義的平均固結度和沉降量的計算式退化為：

滲流移動邊界到達土層底面時按孔壓定義平均固結度和沉降量的計算式分別退化為：

3.2 不考慮起始水力坡降時解析解的退化

如果忽略考慮起始水力坡降的存在，考慮起始水力坡降的滲流定律就退化為達西定律，此時如果令i0=0(R=0)，超靜孔壓的解析表達式退化為：

式(36)恰好是張國英等[2]連續排水邊界條件下均質地基單面排水一維固結解析解。按孔壓定義的平均固結度和沉降量的計算式分別退化為：

以上退化說明，現有的僅考慮起始水力坡降而忽略復雜排水邊界的固結解析解及達西定律下考慮連續排水邊界的固結解析解均是本文解析解的特例。

3.3 本文解析解與已有文獻的對比

由3.1小節知，當B取值足夠大可近似看作完全透水邊界，再根據文獻[27]，將完全透水邊界下的超靜孔壓隨時間變化的關系曲線與B=100 000時本文模型的超靜孔壓與時間的關系曲線進行對比，發現兩者曲線幾乎重合，如圖2所示，再次驗證了本文固結解析解的正確性與可靠性。

圖2 已有文獻解與本文解析解的對比(B=100 000)Fig.2 Comparison between existing solution in literature and analytical solution (B=100 000)

4 固結性狀分析

影響本文固結模型性狀的主要因素是土中滲流存在的起始水力坡降和邊界透水性能兩方面。因此，本文將重點分析無量綱變量R及反映界面參數b的無量綱變量B對固結性狀的影響。

如圖3所示，某工程地基土體為均質飽和軟土，其上堆載了5 m高的路基填土，路基填土對地基土層頂面瞬時施加了100 kPa的恒荷載，整個地基土層處于正常固結狀態(土層自重作用下的固結變形已完成)，地基土層底部為完全不透水層。土層固結計算的相關參數見表1。

圖3 黏性土層的邊界條件Fig.3 Boundary conditions of cohesive soil

表1 計算分析所用參數Table 1 Parameters adopted in the following analysis

4.1 基于R對固結性狀的影響

對同一地基土層而言，R值反映了外荷載和起始水力坡降的影響。故研究不同R值下地基土體的固結性狀也就反映了荷載和起始水力坡降對固結性狀的影響。

起始水力坡降i0的存在致使土中超靜孔壓不能完全消散，且當i0取值大于q0/(γwH)(R>1)時，移動邊界始終不能達到土層底面，在施加荷載后瞬間從排水面至滲流移動邊界處的土層發生滲流。當i0取值小于q0/(γwH) (R<1)時，移動邊界以下至不排水面的土層不發生滲流，但隨固結時間的推移，滲流移動邊界將最終發展至土層底面，整個土層均會發生滲流，即滲流鋒面最終能發展至土層底面。圖4分別給出當R>1和R<1情況下的移動邊界隨時間的發展過程。從圖中可發現，滲流移動邊界向土層底部發展的快慢與R值的大小密切相關，R值越大，移動邊界下移速度越慢，R值越小，滲流移動邊界下移速度則越快。當R值大于1時，滲流前鋒則不能到達土層底面，其最終停留位置為1/R。在連續排水邊界下，R值對固結性狀的影響與完全透水邊界下相比并未發生明顯改變，其固結性狀與文獻[24]描述的固結性狀基本一致。

圖4 R對移動邊界的影響Fig.4 Influence of R on moving boundary

圖5為Tv=0.3時超靜孔隙水壓力隨深度變化曲線。可發現同一深度處達西定律下(R=0)土中超靜孔壓殘留值最小，超靜孔壓殘留值會隨R值增大而增大。這說明R值影響超靜孔壓的消散速率，其消散速率隨R值增大而逐漸減慢。同時，達西定律(R=0)下隨著固結時間的推移，超靜孔壓能夠在固結完成時消散完成，即超靜孔壓的最終殘留值為0。圖6為不同R值下z/H=0.5處超靜孔壓隨時間消散過程，可發現達西定律下超靜孔壓消散最快，且其能夠最終消散至0。R值一旦大于0，則超靜孔壓就不能最終消散至0。且R值越大，超靜孔壓消散速率越慢，同時刻下超靜孔壓殘留值越大。

圖5 R對z/H -u/q0曲線的影響(Tv=0.3)Fig.5 Influence of R on z/H -u/q0(Tv=0.3)

圖6 R對u/q0-Tv曲線的影響(z/H=0.5)Fig.6 Influence of R on u/q0-Tv(z/H=0.5)

以上超靜孔壓消散規律直接反應至土層固結度表現為，當R=0(達西定律)時，由于最終超靜孔壓能夠完全消散，此時平均固結度能到達100%。一旦R值不等于0，鑒于超靜孔壓最終不能完全消散，則土層平均固結度最終值就不能到達100%。同一時刻下平均固結度隨著R值的增大而減小。且R值越大，孔壓消散完成的時間會越短，因此固結度達到穩定值的時間也越短，如圖7所示。

圖7 R對固結度Up的影響Fig.7 Influence of R on average consolidation degree Up

4.2 基于B對固結性狀的影響

界面系數b的大小反映了排水面邊界的透水性情況，通過對b值大小的控制，可以得到不同透水性邊界條件的固結模型。事實證明，排水邊界透水性的強弱對固結性狀有著顯著影響。

隨著界面排水能力的降低(B值變小)，土中超靜孔隙水壓力消散減慢，滲流移動邊界下移速率亦會減慢，如圖8所示。B值越小，移動邊界到達底部的時間越長；B值越大，移動邊界到達土層底部的時間越少，當B=100 000時，連續排水邊界可以近似看作完全透水邊界，此時移動邊界隨時間的下移速度最快。

圖8 B對滲流移動邊界的影響Fig.8 Influence of B on moving boundary

圖9為不同界面參數下Tv=0.8時超靜孔壓隨深度分布曲線圖。通過計算發現滲流移動邊界在Tv=0.8時已移動至土層底面。從分布曲線中可發現，同一深度處超靜孔壓值隨B值的減小而逐漸增大。說明該時刻土中超靜孔壓在完全透水邊界下消散最快，殘留的超靜孔壓值最小。隨著B值的減小，超靜孔壓消散速率逐漸減慢，土中殘留的超靜孔壓逐漸增大。

圖9 B對z/H-u/q0曲線的影響(Tv=0.8)Fig.9 Influence of B on z/H-u/q0(Tv=0.8)

同樣的，固結性狀在某深度處超靜孔壓隨時間消散曲線中也有所展現。圖10為在z/H=0.1處的超靜孔壓隨時間變化的曲線，該組曲線進一步描述了無量綱變量B對超靜孔壓消散的影響。B值越大，某深度處的超靜孔壓消散速率越快，同時也越接近于完全透水邊界下的u/q0-Tv曲線。這樣的固結性狀在固結度隨時間發展曲線中進一步展現，如圖11所示，B值越大，相同時間下地基固結度越高，且完全透水邊界下土層的平均固結度最大。

圖10 B對u/q0-Tv曲線的影響(z/H=0.1)Fig.10 Influence of B on u/q0(z/H=0.1)

圖11 B對固結度Up的影響Fig.11 Influence of B on average consolidation degree Up

5 結論

考慮軟黏土地基中存在的不同透水性邊界及土中滲流存在的起始水力坡降，在太沙基一維固結理論的基礎上重新建立并推導了一維固結控制方程，得到其解析解，結論如下：

(1)給出了基于連續排水邊界和起始水力坡降的軟土一維固結解析解。該解答為同時考慮起始水力坡降和不同透水性邊界的實際軟土固結計算提供了可供參考的計算方法。

(2)本文解可退化為考慮起始水力坡降的一維線性固結解析解，也可退化為達西定律下考慮連續排水邊界的軟土一維固結解析解。這兩種情況下的解析解均是本文解析解的特例。

(3)連續排水邊界下起始水力坡降對軟黏土固結性狀影響與完全透水邊界下相比，并未發生明顯改變。

(4)連續排水邊界對起始水力坡降所引起的移動邊界下移速度影響較大，透水性越差，移動邊界下移速度越慢。但總體而言，考慮起始水力坡降后連續排水邊界排水能力對超靜孔壓消散的影響與達西定律下相比沒有發生明顯改變。