正交三極化MIMO系統有益入射角譜分布的研究

戴勇 李偉 汪大洋 趙金城 海凜

【摘要】? ? 基于相關矩陣研究入射波角度擴展對多極化MIMO系統性能的影響。發現使用三個正交極化天線元的MIMO系統在采用一定的入射波角譜分布時，能夠使相關矩陣中特定元素的值增加，這種增加對系統容量有提升作用。通過建模對提升關鍵相關性系數的條件進行分析，得到能獲得更高信道容量的散射體角度擴展。

【關鍵詞】? ? MIMO? ? 多極化? ? 相關系數? ? 信道容量

引言：

關于MIMO系統的研究已經非常廣泛，通常采用EDOF[1]、相關矩陣秩[2]、信道矩陣乘以其共軛轉置的特征值[3]等標準對系統性能進行衡量。但EDOF和特征值都是一系列隨機數值，對系統性能的描述并不直觀;而相關矩陣是一個有著確切數值的矩陣，且對相關矩陣各元素的功能已經有了較深入的分析，可以更加直觀地看出其對系統性能的影響。

一般來說，天線分集的目標就是降低子信道之間的相關性，從而提升系統容量。但相關系數實際上可以分成交叉相關系數和收發相關系數兩類[4-5]，其數值的降低對系統容量分別起到增加和降低的作用。因此，在本文的研究中傾向于選擇以相關性系數作為標準進行衡量，得到各類相關系數的具體數值，就能夠對系統的大致性能進行評估。

在過去以相關系數作為衡量標準的研究中，常采用Kronecker積方法[6-7]，利用收發相關矩陣近似獲取整個相關矩陣。但該矩陣中所有的交叉相關系數恰好均是通過近似計算獲得，這就導致無法精確對系統的真實性能進行分析。而我們在采用非Kronecker積建模方法進行研究的時候，發現正交三極化MIMO系統在某些散射體分布的情況下可以實現交叉相關系數的提升，從而使得系統性能有所增加。本文對這一情況的實現過程和原理進行詳細分析。

一、信道模型獲取相關系數

1.1 MIMO系統的物理模型

對MIMO系統相關性的計算，一般通過對接收信號在散射體擴展角度范圍內進行積分獲取。然而[6-7]等采用的模型僅能描述發射天線之間的相關性或接收天線之間的相關性，所以必須采用Kronecker積方法。為避免這種情況，我們選擇了一種描述信號整個傳播過程的信道模型[8]，其中MIMO系統的信號傳播示意圖如圖1所示，對接收端來說，接收信號來自于方位面和俯仰面這一角度擴展內的散射體，其中和是方位面內的平均入射角和入射角度擴展范圍，和分別為俯仰面內的平均入射角和入射角度擴展范圍。Ω描述的是當前入射信號所在方向的立體角，簡便起見假設散射體在ΔΩ內的分布密度為常數，在ΔΩ以外沒有散射體存在。

為便于分析，我們采用和文獻[8]中相同的設置，令散射體相對收發端所在的方向角一一對應，并且散射體相對發射端的分布與相對接收端的分布對稱，如圖1所示，其中發射信號從左邊的坐標原點出發，到達散射體S1再經過S2，然后到達接收端。而S1相對發射端的所在位置，和S2相對接收端的相對位置完全對稱。

以散射矩陣描述發射信號的電場經由Ω散射體后發生的變化，即

（1）

式中，，和為復高斯變量，其方差由XPD、CPR等環境參數決定。

正交三極化MIMO系統的天線編號1、2和3分別代表沿x、y和z軸極化的電流元天線。第k個天線元的方向圖函數為，在和方向上的分量分別是和，則發射天線m到接收天線n之間的子信道響應為

（2）

子信道之間的相關性系數可以寫成

（3）

其中

（4）

通過式（2）～式（4），我們就能夠計算出任意入射角譜擴展下各子信道之間的相關系數。

1.2相關系數的計算

給定入射角分布，即和、和，則各子信道之間的相關系數計算舉例如下：

（5）

通過這樣的模型，可以將積分式完全轉化為三角函數的四則運算，從而能夠精確計算出所有的相關系數，然后組成完整的相關矩陣：

二、相關性與信道容量

2.1 MIMO系統的相關性研究

當時，我們任取和進行計算，例如，，精確計算得到的相關矩陣如下：

（6）

從上式可以看出，所有非零的相關系數即ρ11，22，ρ11，33，ρ21，12，ρ31，13，ρ22，33，ρ32，23均為交叉相關系數。

由于文獻[4-5]指出，不同于傳統的收發相關系數，交叉相關系數（即對應收發端均不使用同一根天線的子信道之間的相關系數）的增加反而會帶來系統容量的提升。因此，在前述的條件下，也就是當散射體擴展角度對稱時，系統容量必然有所提升，甚至能夠超過所有子信道完全不相關的理想情況。而我們的研究目標變成：在何種角度擴展下，能夠盡可能地使交叉相關系數的數值提升，從而獲得盡可能高的系統容量。

2.2容量的計算

根據文獻[9-10]，MIMO信道容量的上界與各種相關系數有著直接的關系，可以由下式描述2x2 MIMO系統的性能：

（7）

式中為容量影響因子，m為發射天線數量，Es /N0為信噪比，si為交叉相關系數，r和t為傳統收發相關系數。這個式子基本描述了不同相關系數對信道容量的影響，我們將其推廣到3x3或者更多收發天線的情況，得到：

（8）

對計算出的相關系數進行分析可以得到如下結論：在的情況下，收發相關系數即（8）式中rj和tj必然為零，且能夠影響的交叉相關系數si有限。此時問題變為如何盡可能提升這幾個相關系數的取值，以及在無法同時提升的情況下，如何使其平方和最大。

根據式（3）-式（5），我們可以繪制出入射角譜擴展與各相關系數平方的關系圖，如圖2所示。

圖2? ? 相關系數平方隨散射體分布的變化

從圖2可以看出，ρ11，33和ρ31，13取值較小，受環境影響的變化幅度也比較小。而其余相關系數的變化明顯，ρ22，33和ρ32，23在較小的時候取值變大，ρ21，12在較小的候取值變大，而ρ11，22在和都比較小的時候獲得最大值。綜合考慮以上情況，將利用式（7）進行計算，可以得到入射角譜擴展與容量影響因子的關系，如圖3（a）所示。

從圖3（a）可以看出，最高的信道容量上界在深紅色區域獲得，即很小的時候，或者和都在60°以下的時候。由于所有子信道互不相關的理想情況下容量影響因子為1，圖中任一點的情況都可以獲得比理想情況更優秀的系統性能。

此外，我們還可以利用解析模型以獲得平均信道容量，因為MIMO解析模型可以通過已知的統計參數，即相關矩陣和各子信道的功率，產生出符合這些統計特征的隨機信道響應。其結構如下：

（9）

其中Hw是所有元素獨立同分布的隨機矩陣，R為已知的相關矩陣。將前面計算出的相關矩陣代入解析模型，并將各子信道功率進行歸一化，然后采用蒙特卡洛方法進行仿真，可以直觀反映出入射角譜擴展與平均容量的關系，如圖3（b）所示。

可以看出3（a）和圖3（b）的結論有著高度的一致性，即入射角的，且很小或和都在60°以下的時候，可獲得較高的平均信道容量，且比起所有子信道完全互不相關的理想情況下的平均容量（約為8.22 bit/s/Hz）有著明顯提升。

三、結束語

本文在散射體相對收發端連線呈對稱分布的情況下，分析了入射角譜擴展和相關矩陣的關系，得到了在一定入射角譜擴展的情況下，部分交叉相關系數可以得到有效增加，從而獲得系統性能的提升。

目前對于非零和情況下的研究并沒有得到足夠的結論;另外過去的研究中雖然包括了含3個電流元和3個磁流元組成的全極化天線[6]，但本文中并沒有考慮，因為相關矩陣極為龐大和復雜。下一步我們將會進行更深入的研究。

參? 考? 文? 獻

[1] L. Zhu， S. Wang and J. Zhu， “Adaptive Beamforming Design for Millimeter-Wave Line-of-Sight MIMO Channel，” in IEEE Communications Letters， vol. 23， no. 11， pp. 2095-2098， Nov. 2019.

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[10]C. Oestges， B. Clerckx， D. Vanhoenacker-Janvier and A. Paulraj， “Impact of diagonal correlations on MIMO capacity： application to geometrical scattering models，” 2003 IEEE 58th Vehicular Technology Conference. VTC 2003-Fall （IEEE Cat. No.03CH37484）， 2003， pp. 394-398 Vol.1.