具有黏滯性的相互作用Sharma-Mittal全息暗能量模型的宇宙學演化

吳亞波， 徐東方， 陳博海,3， 董 微

(1.遼寧師范大學 物理與電子技術學院，遼寧 大連 116029；2.廈門外國語學校 高中物理組，福建 廈門 361012； 3.北華航天工業學院 基礎科學部，河北 廊坊 065000)

天文觀測數據表明[1-2]，宇宙目前正處于加速膨脹階段.對此，國際上提出各種具有負壓強的暗能量模型來解釋宇宙晚期加速膨脹[3-5]，其中，宇宙學常數是最簡單的暗能量模型[6-8]，該模型的態參數方程(EoS)為wde=-1.雖然宇宙學常數模型成功解釋了一些宇宙演化現象，但其仍無法解決巧合性問題和精調問題[7,9-11].于是，人們又陸續提出并研究了諸如Quintessence[12-13]、Phantom[14]、K-essence[15-17]和 Chaplygin gas[18]等暗能量模型.此外，受全息原理[19-21]啟發而提出的暗能量模型也被用來解釋宇宙的加速膨脹.此類暗能量模型有全息暗能量模型[22](HDE)、Agegraphic暗能量(ADE)模型[23]和Ricci暗能量模型[24]等.

近年來在宇宙學的研究中，還通過使用不同的熵以及全息原理提出了一些新形式的全息暗能量模型，如Renyi全息暗能量(RHDE)模型[25]、Tsallis全息暗能量(THDE)模型[26]和Sharma-Mittal全息暗能量(SMHDE)模型[27].目前RHDE模型和THDE模型已被廣泛討論[28]，但對于SMHDE模型，有關它的黏滯性對宇宙學量演化影響以及幾何診斷方法等相關性質目前尚沒有討論過，這正是本文的研究動機和研究內容.

1 Sharma-Mittal全息暗能量模型

Jahromi和Moosavi等通過結合Sharma-Mittal熵和全息原理，提出了一種新形式的全息暗能量模型，稱為Sharma-Mittal全息暗能量模型[27].

Sharma-Mittal熵由Sharma和Mittal引入[29]，它是一個雙參數熵，定義為

(1)

其中，A=4πL2，L是事件視界，R和δ是兩個自由參數.通過對Sharma-Mittal熵的參數R加以適當的限制：R→0及R→1-δ，就可以重新得到Renyi熵和Tsallis熵.當考慮UV截斷和IR截斷時，可得到暗能量密度為

(2)

因哈勃視界L=1/H，則Sharma-Mittal全息暗能量模型(SMHDE)的暗能量密度可表示為

(3)

其中，c2是常數，R與δ稱為模型參數.在本文的討論中，將模型參數取為R=3 300和δ=-165時，SMHDE模型可以表現出較好的宇宙學行為.

在均勻且各向同性的FRW宇宙中，度規表示為

ds2=-dt2+a2(t)(dr2+r2dΩ2).

(4)

在Sharma-Mittal全息暗能量模型中忽略重子及輻射成分，宇宙僅由暗能量(de)和暗物質(dm)構成.則此模型的Friedmann方程可寫為

(5)

(6)

利用方程(6)，可將方程(5)重新表示為

Ωde+Ωdm=1.

(7)

當Sharma-Mittal全息暗能量模型的暗能量和暗物質之間存在相互作用，且不考慮黏滯性(ζ=0)時，它們的能量守恒方程為

(8)

(9)

其中，“.”表示對時間t求導，Qi是暗能量和暗物質之間的相互作用項.相互作用項的選取有多種形式，本文選取Q1=3b2Hρde和Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)這兩種形式，式中b2是耦合參數.可以注意到，當b2=0時可以退回到無相互作用的情況.用wde=pde/ρde來表示SMHDE模型的態參數(EoS).將方程(5)左右兩邊對時間t求導，并將結果代入方程(9)中，可以得到

(10)

為使其形式更為簡潔，在這里定義Ξ=Gπc2H2(πδ/H2+1)R/δ-(2Ωde-1)(πδ+H2).利用上述方程，減速參數q可寫為

(11)

將Sharma-Mittal全息暗能量模型的暗能量密度對時間t求導，從而得到

(12)

聯立方程(8)、方程(10)和方程(12)，無相互作用時Sharma-Mittal全息暗能量模型的態參數可表示為

(13)

此外，由方程(10)和方程(12)，其能量密度參數Ωde對lna導數可寫為

(14)

其中，“′”表示對lna的導數，i=1,2.

(1)當i=1，即相互作用項為Q1=3b2Hρde時

(15)

(16)

(17)

(2)當i=2，即相互作用項為Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時

(18)

(19)

(20)

根據SN397、BAO以及宇宙微波背景輻射(CMB)等觀測數據的限制[30]，本文取Ωde0=0.73，H0=67.此外，值得強調不失一般性，在本文下面的討論中，將模型參數R和δ取為R=3 300，δ=-165.根據以上各表達式，能描繪出Sharma-Mittal全息暗能量模型中黏滯系數和耦合參數對各宇宙學量(如能量密度參數Ω、減速參數q及態參數wde)演化規律的影響.

圖1描述了無黏滯性，且相互作用項分別取Q1=3b2Hρde和Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時，SMHDE模型中耦合參數b2對各宇宙學量演化的影響.從圖中可以看出，耦合參數b2對該模型各宇宙學量的影響隨相互作用項的不同而不同.在未來(z<0)Q2條件下的各宇宙學量均發生了高度簡并，這說明與Q2相比，耦合參數b2對Q1條件下的宇宙學量影響更大些.兩種不同相互作用形式下SMHDE模型的密度參數的演化圖像都表明，暗能量的占比在逐漸增大，這與目前天文觀測相符合.而從兩者的態參數隨紅移z的演化曲線可以得出：Q2條件下SMHDE模型的態參數在未來(z<0)的演化會趨近于ΛCDM模型；兩種不同相互作用下的態參數均實現了對Phantom界限(wde=-1)的穿越，且耦合參數b2取值越大，越早實現穿越.從態參數的演化圖像也可以看出，兩種不同相互作用下的SMHDE模型在未來均不會發生大劈裂.進一步，再縱向對比Q1和Q2條件下SMHDE模型減速參數q演化曲線的特點.由圖不難看出，兩種不同相互作用下的減速參數q都隨著耦合參數b2的增大而減小，且宇宙是由減速膨脹(q>0)演變為加速膨脹(q<0)，但兩種不同相互作用下的減速參數q在未來都發生了高度簡并，這說明了在未來(z<0)兩種不同相互作用形式下的SMHDE模型都對耦合參數b2不敏感.

圖1 當無黏滯性時，耦合參數b2對Ω、wde以及q演化軌跡的影響

2 具有黏滯性的Sharma-Mittal全息暗能量模型

Khalatnikov和Befinsky最早將黏滯性與宇宙學相結合，并由此提出了具有黏滯性的宇宙學[31].當考慮黏滯性時，宇宙的有效壓強將變為

(21)

其中,pde表示無黏滯性時的壓強，ζ表示體黏滯系數.不難發現當ζ=0時就可退回到無黏滯性的情況.

2.1 僅暗能量具有黏滯性的SMHDE模型的宇宙學演化

當僅考慮暗能量具有黏滯性時，選取

(22)

其中,ν稱為黏滯系數.于是方程(9)變為

(23)

可得到

(24)

(25)

(26)

其中，“′”代表對lna的導數，Ξ依舊定義為Ξ=Gπc2H2(πδ/H2+1)R/δ-(2Ωde-1)(πδ+H2).容易發現僅當暗能量具有黏滯性時，體黏滯系數ζ并不會影響減速參數和密度參數的演化，而只會影響態參數的演化.所以本節不再贅述減速參數和密度參數的演化特點，而只專注于態參數的演化.具體地

(1)當i=1，即相互作用項為Q1=3b2Hρde時

(27)

(2)當i=2，即相互作用項為Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時

(28)

圖2描述僅考慮暗能量具有黏滯性，且相互作用項取為Q1=3b2Hρde及Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時，黏滯系數ν對SMHDE模型態參數演化軌跡的影響.由圖可以看到，只有當黏滯系數ν=0和ν=0.06時，SMHDE模型的態參數在兩種不同相互作用形式下才均可實現Phantom界限的穿越，且黏滯系數ν的數值越大，越晚實現穿越.而黏滯系數值為ν=0.12時，只有Q1下的wde才能穿越-1，但當取黏滯系數為ν=0.18時，兩種不同相互作用形式下的wde均無法穿越Phantom界限.當耦合參數b2=0.15、黏滯系數ν=0且相互作用項為Q1=3b2Hρde時的wde最早穿越Phantom界限，此時的穿越紅移為zc=0.83；當耦合參數b2=0.15、黏滯系數ν=0.12且相互作用項為Q1=3b2Hρde時的wde最晚穿越-1，此時的穿越紅移為zc=0.31.

圖2 僅考慮暗能量具有黏滯性，且固定耦合參數b2=0.15時，黏滯系數ν對wde演化軌跡的影響

2.2 僅暗物質具有黏滯性的SMHDE模型的宇宙學演化

當僅考慮暗物質具有黏滯性時，其Friedmann方程并不會改變，但其連續性方程變為

(29)

(30)

此時密度參數、態參數和減速參數可分別表示為

(31)

(32)

(33)

不難看出，僅暗物質具有黏滯性時，相互作用項Qi以及體黏滯系數ζ則會影響到相互作用的SMHDE模型的宇宙學演化.根據Hernandez-Almada等人的研究[32]，此時假設

(34)

為與上述區別起見，這里用μ代表此情況下的黏滯系數.

(1)當i=1，即相互作用項為Q1=3b2Hρde時

(35)

(36)

(37)

(2)當i=2，即相互作用項為Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時

(38)

(39)

(40)

圖3為僅考慮暗物質具有黏滯性,且相互作用項取為Q1=3b2Hρde和Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時，SMHDE模型中黏滯系數μ對各宇宙學量演化軌跡的影響.兩種不同相互作用形式下的SMHDE模型密度參數演化圖像均顯示出：在高紅移區域，暗能量密度參數隨著黏滯系數μ的增大而減小；在低紅移區域，暗能量密度參數卻隨著黏滯系數μ的增大而增大.從過去(z>0)到未來(z<0)，暗能量密度參數在逐漸變大，這說明宇宙正逐漸演變為由暗能量主導.從兩種不同相互作用形式下SMHDE模型的態參數wde圖像中可以看到，不同黏滯系數μ的值對這兩種相互作用形式下的態參數wde都表現為在過去影響較大、在未來影響較小的特點，且它們都可以穿越Phantom界限.從態參數演化圖像可以得出，宇宙在未來不會發生大劈裂.從圖中也可以看出，黏滯系數μ對Q2條件下減速參數q的影響，要明顯比Q1的小.但兩種情況下的減速參數q都隨著紅移z單調遞增，這顯示出宇宙是從減速膨脹轉變為加速膨脹，且由圖可知，黏滯系數μ越大便越早實現這種轉變.

圖3 僅考慮暗物質有黏滯性，且b2=0.15時，黏滯系數μ對Ω、wde以及q演化規律的影響

表1還列出了無黏滯性和僅考慮暗物質具有黏滯性時，相互作用SMHDE模型在Q1和Q2條件下的轉換紅移zT.因僅考慮暗能量具有黏滯性時，黏滯系數并不影響減速參數q的演化，所以表格中無此情況下的轉換紅移.由表中數據不難得到，當不考慮黏滯性且暗能量和暗物質之間無相互作用(b2=0)時，宇宙最晚實現從減速膨脹到加速膨脹的轉變，此時的轉換紅移為zT=0.57.當僅考慮暗物質具有黏滯性且參數b2=0.15、μ=6時，Q1條件下的SMHDE模型最早轉變為加速膨脹狀態，此時的轉換紅移為zT=1.57.

表1 當無黏滯性和僅考慮暗物質具有黏滯性(取b2=0.15)時，相互作用SMHDE模型的不同轉換紅移

3 幾何診斷

3.1 Statefinder幾何診斷

為了區分不同的暗能量模型，Sahni曾提出一種模型獨立的幾何診斷方法，稱為Statefinder診斷[33].在平直的FRW宇宙下，Statefinder幾何診斷的參數定義如下

(41)

(42)

(43)

(44)

于是，能導出不同情況下參數r和s的表達式如下：

不考慮黏滯性：

(1)當i=1，即相互作用項為Q1=3b2Hρde時

(45)

(46)

(2)當i=2，即相互作用項為Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時

(47)

(48)

僅考慮暗能量具有黏滯性:

(1)當i=1，即相互作用項為Q1=3b2Hρde時

(49)

(50)

(2)當i=2，即相互作用項為Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時

(51)

(52)

僅考慮暗物質具有黏滯性:

(1)當i=1，即相互作用項為Q1=3b2Hρde時

(53)

(54)

(2)當i=2，即相互作用項為Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm)時

(55)

(56)

在圖4中，分別畫出了在兩種不同相互作用形式下，不考慮黏滯性、僅暗能量具有黏滯性和僅暗物質具有黏滯性時，Statefinder幾何診斷參數r和s的演化圖像.圖中紅點表示它們的今天值，紅色箭頭代表演化的方向，黑色星星表示的是ΛCDM模型的固定點(r=1，s=0).具體地，當無黏滯性時，探究了耦合參數b2的值對Statefinder幾何診斷的影響；當考慮黏滯性時，固定耦合參數b2=0.15，分別畫出了相對應的黏滯系數對Statefinder幾何診斷的影響.從圖像中我們可以看到，取不同黏滯系數值時Statefinder幾何診斷的演化曲線有明顯差異，這表明該模型對黏滯系數很敏感，并且所有的Statefinder幾何診斷演化軌跡都經過了ΛCDM模型固定點(r=1，s=0).可見，Statefinder幾何診斷能很好地將SMHDE模型與ΛCDM模型區分開來.

3.2 Om幾何診斷

除了Statefinder幾何診斷之外，還存在一種不依賴物質的密度而只依賴膨脹率的幾何診斷方法——Om診斷[34].Om診斷的定義為

(57)

其中，h(x)=H(x)/H0，x=1+z.H(x)是哈勃參數，H0表示哈勃參數的今天值.對于ΛCDM模型來說，Om(x)=Ωdm0，它是一個不隨時間變化的常數，故可以利用這種方法把不同的暗能量模型區分開來.

圖5中，分別畫出了在兩種不同相互作用形式下，無黏滯性、僅暗能量具有黏滯性和僅暗物質具有黏滯性時，Om幾何診斷的演化圖像.在無黏滯性時，描繪出耦合參數b2對Om幾何診斷演化軌跡的影響；當考慮黏滯性時，固定耦合參數b2=0.15，分別畫出了不同黏滯系數的值對Om幾何診斷演化圖像的影響.由圖可以明顯看到，當無黏滯性時，兩種不同相互作用形式下的Om值都隨耦合參數b2的增大而減小.而僅考慮暗能量具有黏滯性時，兩種不同相互作用形式下的Om值都隨耦合參數b2的增大而增大.當僅考慮暗物質具有黏滯性時，黏滯系數對Om幾何診斷演化圖像的影響，要明顯比不考慮黏滯性以及僅考慮暗能量具有黏滯性的小.

圖5 在無黏滯性、僅暗能量具有黏滯性和僅暗物質具有黏滯性3種情況下Om幾何診斷的演化軌跡

4 結 論

本文深入研究了具有黏滯性的相互作用Sharma-Mittal全息暗能量(SMHDE)模型的相關問題.具體地，空間均勻且各向同性的平直宇宙僅由Sharma-Mittal全息暗能量和暗物質構成，且它們之間存在相互作用.本文選取它們之間的相互作用項為Q1=3b2Hρde和Q2=3b2Hρdeρdm/(ρde+ρdm).在此基礎上，首先討論了無黏滯性、僅暗能量具有黏滯性和僅暗物質具有黏滯性三種情況下，各宇宙學量的演化.研究發現，當無黏滯性時，耦合參數b2對各宇宙學量演化的影響在Q2條件下比Q1的小，其具體表現為在未來(z<0)Q2條件下的各宇宙學量均對耦合參數不敏感.當僅考慮暗能量具有黏滯性時，通過固定耦合參數b2=0.15，發現黏滯系數ν并不會影響密度參數和減速參數，而只會影響態參數wde的演化，且wde的值隨著黏滯系數ν的增大而增大.當僅考慮暗物質具有黏滯性時，同樣固定耦合參數b2=0.15，然而此時的黏滯系數μ對密度參數、減速參數和態參數的演化都會產生影響.進一步，對具有黏滯性的相互作用SMHDE模型進行了Statefinder幾何診斷和Om幾何診斷.從它們各自的演化圖像可以看到，這兩種診斷方法不僅能很好地將SMHDE模型與ΛCDM模型區分開，而且可以明顯看到耦合參數和黏滯系數對此模型的影響.