一種基于截斷多項式的三角域V-系統構造

王相海, 劉乙萱, 曲思潔, 李 煒, 宋傳鳴

(1.遼寧師范大學 計算機與信息技術學院,遼寧 大連 116029; 2.遼寧師范大學 數學學院,遼寧 大連 116029)

U-系統和V-系統[1-4]作為非連續正交函數，既可包含連續可微的多項式，也可以包含各階導數出現間斷的函數[5]，從而為有效的表示連續及非連續信號奠定了基礎[6-7].作為V-系統的重要分支，盡管三角域上V-系統的構造要復雜一些，但其對于將頻譜分析方法引入計算幾何，實現幾何對象的頻譜分析和應用具有特殊的意義.自從文獻[8]將V-系統推廣到三角域上以來，人們對三角域上V-系統的構造和應用進行了研究.目前,該類型V-系統的構造主要通過兩種方式實現，一種是基于生成元的構造方法[8]，另一種是通過構建線性無關函數組來實現[9-10]. 總體而言，三角域V-系統還處于發展階段,有很多問題有待深入研究.本文提出一種基于截斷多項式的三角域V-系統構造方法，依據三角域自相似剖分結構，從截斷多項式和分片Legendre多項式出發，構造三角域V-系統的生成元，給出了所構造V-系統的解析表達式，同時對其性質進行了研究.

1 相關知識

V-系統是L2[0,1]空間上的一類正交完備函數系[8，11].k次V-系統是分組分類構造的，主要由基本函數和生成元兩部分構成,包括k+1個尺度函數和k+1個小波函數.

定義1[11](V-系統生成元)區間[0,1]上函數集合fi(x),i=0,1,2,…,k，如果滿足如下條件：

(1)fi(x)是以x=1/2為結點的分段k次多項式，且fi(x)在x=1/2處為Ci-1連續，約定C-1連續為間斷;

(2)〈fi(x),fj(x)〉=δij,i,j∈{0，1,2,…,k},其中，

(3)〈fi(x),xj〉=0,i,j∈{0,1,2,…,k}.

fi(x),i=0,1,2,…,k,為區間[0,1]上的k次V-系統的生成元，也稱為V-系統的小波函數.

為了簡化計算，本文選取以(0,0)(1,0)和(0,2)3點為頂點所圍成的三角域(記為Δ)為V-系統的定義域，在Δ上定義函數內積為

(1)

對Δ作如圖1所示的自相似的剖分：

圖1 三角域的自相似剖分及記號

定義2(截斷多項式)引入記號(·)+=max{0,(·)}和(·)-=min{0,(·)}[4],定義截斷多項式函數dm,n(x,y)為

(2)

容易證明函數dm,n(x,y)具有以下性質：

(1)dm,n(-x,y)=(-1)m+1dm,n(x,y)；

(2)dm,n(x,-y)=(-1)n+1dm,n(x,y)；

(3)dm,n(-x,-y)=(-1)m+n+2dm,n(x,y).

對于式(2),當x,y∈Δ時可以化簡為

dm,n(x,y)=xmyn，m,n=0,1,2,….

(3)

2 基于截斷多項式的三角域V-系統構造

2.1 構造方法

由Legendre多項式的Rodrigul公式[12]，定義三角域上(即x,y∈Δ)的二元Legendre多項式：

(4)

三角域上的k次V-系統按下列分組分類構造：

第一組：由定義在未做任何剖分三角域上的下列(k+1)(k+2)/2個基本函數構成：

dm,n(x,y)=xmyn，m+n=0,1,2,…,k.

(5)

按照內積(參見式(1))對其進行Gram-Schmidt規范正交化后作為基本函數，其下角標的排列按如下原則：①角標和(即m+n)遞增;②在角標和相等的情況下，第一個角標即m遞減.

第二組：在1級剖分下的3(k+1)(k+2)/2個生成元按照定義通過二元Legendre多項式生成，其下角標的排列也滿足上述兩原則.

(6)

(7)

其中，l=3,4,5,…,α=1,2,3,…，2l-2,β=1,2,3,…,α,l=3,4,5,i=1,2,…,(k+1)(k+2)/2.

2.2 1次V-系統的構造

下面以k=1說明上述三角域V-系統的構造過程.

第一組基本函數:通過對dm,n(x,y)=xmyn,(m,n=0,1)規范正交化獲得:

(8)

第二組生成元：通過對分片的二元Legendre多項式規范正交化獲得：

(1)分片的二元Legendre多項式

(2)規范正交化

圖2 1次V-系統基本函數與生成元之間的層次關系

3 所構造三角域V-系統的特性分析

定理1對于給定的非負整數k，所構建三角域k次V-系統的生成元必存在.

在生成元定義的三個條件中，條件(2)和條件(3)可以通過Gram-Schmidt正交化單位化滿足.故只需證明存在以Δ的1級分割線為分線段的分片二元k次多項式fi(x,y),i=0,1,2,…,3(k+1)(k+2)/2,即存在上述分片二元k次多項式使其構造以函數在三角域Δ的1級分割線lj,j=1,2,3(參見圖3)上的Ci(i=1,2,…,k)連續為依據.

圖3 三角域的1級分割線

事實上，二元Legendre多項式Pn,m(x,y)(見式(4))，當m+n=k時，按照前面標記法中下角標滿足的條件，可以得到(k+1)(k+2)/2個不同的函數，為滿足以1級分線作為分線段的二元函數，可令其在Δ1，1,Δ2，1,Δ2，3中某一個子三角域上為Pn,m(x,y),其余子三角域上為0,記為f(x,y),其個數為3×(k+1)(k+2)/2,所以對于給定的非負整數k，三角域上的k次V-系統的生成元必存在.

定理2所構造的k次V-系統是三角域上的規范正交的函數系.

其中,〈g,g〉為內積(參見式(1)).

(9)

(10)

分以下幾種情況討論：

(1)當m=n,p=q,i=j時，即對于同一組同一類的任意兩個相同的函數，此時有：

(2)當m=n,p=q,i≠j，即對于同一組同一類的任意兩個不同的函數，此時有：

(3)當m=n,p≠q，即對于同一組不同類的任意兩個不同的函數，此時有：

(4)當m≠n,即在不同組的任意兩個不同的函數,此時有：

定理3若函數f(x,y)是定義在三角域上的以剖分線為分線段的分片k次多項式，則f(x,y)可以由三角域上的k次V-系統的有限項精確表達.

證對于任意正整數n，則定義在Δ的n級三角剖分域上的全體二元k次分片多項式組成4n×(k+1)(k+2)/2維線性空間.而k次V系統前n+1組函數總數為

由定理2知k次V-系統前n+1組函數可以成為線性空間的一組基底.

又因為函數f(x,y)是定義在三角域上的以剖分線為分線段的分片的k次多項式,故其可由k次V-系統前n+1組函數線性表出，即f(x,y)可以由k次V-系統中有限項函數的線性組合精確表達.

定理4三角域Δ上的k次V-系統具有多分辨性.

證設

則有

令Vj+1=Vj⊕Wj,則有

綜上及k次V-系統的構造過程使得三角域Δ上的k次V系統滿足多分辨分析的條件，從而使得所構造的三角域Δ上的k次V-統具有多分辨性.

4 結束語

本文在已有理論的基礎上構造了一種基于截斷多項式的三角域k次V-系統，從截斷多項式和分片的二元的Legendre多項式出發構造三角域V-系統的生成元,且以三角域上的1次V-系統為例對具體過程進行了說明，同時對三角域V-系統生成元的存在性、規范正交性、再生性和多分辨性進行了論證.