中學階段對“落體偏東”現象的公式推導

張 明

(江蘇省盱眙中學 江蘇 淮安 211700)

1 引言

眾所周知，初速度為零，只受重力的運動為自由落體運動，自由落體運動是由靜止開始的勻加速直線運動，方向豎直向下[1].曾有學生向筆者提出，看到有資料書上介紹過自由落體運動并不是豎直向下的，落地點是偏向東的，這是怎么回事呢？ 為什么平時沒有觀察到落體偏東的現象呢？

2 難以觀察的原因

如圖1所示，在北半球緯度為λ的一質點從近地面高為h的地方自由下落，文獻[2]中運用高等數學建立微分方程組，兩次積分后得到軌道方程為

圖1 北半球緯度為λ的經緯線

到達地面時z=0，偏東的距離[2]

(1)

若λ=40°，h=200 m,可算出y≈4.75×10-2m，偏東距離不足5 cm，故難以察覺.

顯然，如果照搬大學教材，中學階段的學生既沒有理論力學知識的相關物理基礎，也不具備相應的數學知識和運算能力，學生肯定是無法接受的.但是學生已經提出了問題，如何能讓學生理解，有所收獲呢？

3 近似為平拋運動

有學生提出平拋運動模型：在距地面一定高度的物體，由于隨地球自轉而具有的線速度，大于地面上物體的線速度.所以該物體下落時必然相對地面有一個偏東的速度，落點自然就會偏東如圖2所示.

圖2 平拋運動模型

物體相對地面向東的水平速度為

v=ω(R+h)cosλ-ωRcosλ=ωhcosλ

(2)

y≈7.5×10-2m

即約為7.5 cm，比式(1)算出結果略大，但兩者數量級相同，因此，看作平拋運動也具有一定的意義，因為中學生對平拋運動是熟悉的，在離地不是太高，計算精度要求不高時，可以作為數量級的估算.

4 用微元法推導

地球繞地軸轉動，是一個轉動參考系.在地球非慣性系中，相對地球運動的物體要受到慣性力——科里奧利力F=-2mω×v的作用，對于落體運動v=gt，物體下落時受到一個水平向東并逐漸增大的力，在北半球緯度為λ產生的加速度大小a=2ωgtcosλ[2,3].式(2)之所以出現偏差，就是因為水平方向不是勻速的，而是從靜止開始有一個逐漸增大的加速度.若將加速度作為已知條件，則落體偏東現象可以歸結為一個中學生可以理解并能解決的問題，即求解一個變加速直線運動.

上式中(1+i)i略去i的一次項小量，則

(1+i)i≈i2

可得

利用數學公式

則

略去小量可得

(3)

與式(1)相同.

5 上拋偏西

如果將一個物體豎直向上拋出，同樣由于科里奧利力F=-2mω×v的原因，上升過程有向西的加速度，向西的水平速度逐漸增加，而下降過程有向東的加速度，向西減速運動，落地點實際偏西.基于同樣的方法可以推導出定量的結果，這里就不贅述了.

中學階段，作為背景知識，多了解不僅可以拓寬視野，對高考也不無裨益，試舉例：

【例題】(2018年高考北京理綜第20題)根據高中所學知識可知，做自由落體運動的小球，將落在正下方位置.但實際上，赤道上方200 m處無初速下落的小球將落在正下方位置偏東約6 cm處，這一現象可解釋為，除重力外，由于地球自轉，下落過程小球還受到一個水平向東的“力”，該“力”與豎直方向的速度大小成正比，現將小球從赤道地面豎直上拋，考慮對稱性，上升過程該“力”水平向西，則小球( )

A．到最高點時，水平方向的加速度和速度均為零

B．到最高點時，水平方向的加速度和速度均不為零

C．落地點在拋出點東側

D．落地點在拋出點西側

基于題目的已知條件，可以分析出D為正確選項.

目前高考題越來越靈活、新穎，背景知識也越來越廣闊.對于很多平時善于思考、勇于拓展和學習相關課外知識、努力提升綜合能力的學生，在高考中面對以課本上沒有出現過的知識為背景的試題時，無論見過與否，有了平時的歷練和素養，會更快、更容易地做出結果.

6 結束語

在北半球，河流右岸的沖刷甚于左岸，右岸相對陡峭；火車鐵軌的右軌所受到的壓力大于左軌，因而磨損相對嚴重[2]；夏秋之際，在我國東南沿海經常出現的臺風，是逆時針流動的氣旋.南半球的情況剛好相反.這些現象與落體偏東現象，背后都是科里奧利力在起作用.

在中學階段，了解科里奧利力的意義不僅僅是為了掌握多少知識，更重要的是拓展學生科學視野,激發學習興趣，培養勇于探索的科學精神.