五年級(jí)學(xué)生非形式化幾何推理能力的研究

文|趙晨

當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)重視學(xué)生推理能力的發(fā)展，而幾何作為培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要部分，理應(yīng)受到相應(yīng)的重視。目前國(guó)內(nèi)外一些研究顯示，很多小學(xué)生的范希爾幾何思維水平尚未達(dá)到非形式化推理水平，但是就一些國(guó)際數(shù)學(xué)測(cè)試研究的結(jié)果以及一線教師的經(jīng)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，我國(guó)中小學(xué)生在數(shù)學(xué)成就方面都呈現(xiàn)出了較高的水平，那么在幾何非形式化推理水平上我國(guó)的小學(xué)生到底達(dá)到什么程度呢？很少有學(xué)者單獨(dú)對(duì)其做深入的探究，因此本研究試圖在了解我國(guó)小學(xué)生幾何思維水平總體發(fā)展情況的基礎(chǔ)上，探究小學(xué)生在范希爾幾何思維第三水平即非形式化推理水平上的具體表現(xiàn)。

一、理論基礎(chǔ)

范希爾夫婦在20世紀(jì)50年代末提出了幾何思維水平的相關(guān)理論，他們將幾何思維由低到高劃分為如下五個(gè)水平：視覺(jué)、分析、非形式化推理、形式化演繹和嚴(yán)密性水平。范希爾理論，對(duì)于后來(lái)幾何思維水平的研究有著廣泛影響。

小學(xué)階段的學(xué)生一般處于前三個(gè)水平，即水平1——視覺(jué)水平：能依據(jù)外觀辨認(rèn)并操作各種形狀的圖形與幾何構(gòu)圖要素；水平2——分析水平：能依據(jù)圖形的組成要素和這些要素之間的關(guān)系去分析圖形，依據(jù)經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)建立某類圖形的特性，并用這些特性解決問(wèn)題；水平3——非形式化推理水平：能形成并使用定義提出非正式的推論，整理先前發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)，并跟著做演繹推論且提出演繹推論。

二、研究方法

1.研究對(duì)象。

本研究以上海市虹口區(qū)一所公立小學(xué)五年級(jí)的全體學(xué)生為研究對(duì)象，共施測(cè)四個(gè)班總計(jì)135名學(xué)生，其中有效樣本為133份，有效率為98.52%。數(shù)據(jù)分析僅針對(duì)133份有效樣本。

2.研究工具。

測(cè)試工具分為兩部分，第一部分為“Usiskin幾何測(cè)試題”，考查五年級(jí)學(xué)生在范希爾幾何思維前三個(gè)水平上的表現(xiàn)；第二部分為自編的“非形式化幾何推理測(cè)試卷”，著重了解五年級(jí)學(xué)生在范希爾幾何思維第三水平上的幾何推理能力。

“Usiskin幾何測(cè)試題”采用美國(guó)芝加哥大學(xué)教授Usiskin在其開展的“中學(xué)幾何課堂學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和成就”項(xiàng)目中依據(jù)范希爾理論編制的“范希爾幾何測(cè)驗(yàn)”工具，該測(cè)試直到現(xiàn)在仍然被廣泛應(yīng)用。相關(guān)研究發(fā)現(xiàn)，Usiskin等人編制的測(cè)試題不僅適用于高中生幾何思維水平的測(cè)評(píng)研究，其低水平部分的題目對(duì)于初中生甚至小學(xué)高年級(jí)學(xué)生的幾何思維水平測(cè)評(píng)研究也具有重要價(jià)值。因此本研究選取該測(cè)試前三個(gè)水平的題目，且剔除2道涉及五年級(jí)學(xué)生尚未學(xué)習(xí)過(guò)的幾何概念的題目，最終保留水平1題目中5題，水平2和水平3各4題，共計(jì)13題。該測(cè)試題的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為：如果學(xué)生在某一水平及所有低于這一水平的每一水平上，都正確回答了該水平5個(gè)問(wèn)題中的3個(gè)或以上，則認(rèn)為學(xué)生達(dá)到了這一水平。本研究中水平2、水平3分別只有4題，但在評(píng)價(jià)時(shí)仍以答對(duì)3題及以上為通過(guò)該水平，即后兩個(gè)水平的通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)調(diào)整為答對(duì)“四分之三”及以上。

“非形式化幾何推理測(cè)試題”的編制主要基于Fuys等人對(duì)范希爾幾何思維理論前三個(gè)水平的具體細(xì)化，參考前人的研究框架、題目編制方法等，并結(jié)合小學(xué)“圖形與幾何”內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行編制。該測(cè)試題由7道大題共計(jì)16道小題組成，題型有選擇、填空等，且部分題目需要學(xué)生加以解釋說(shuō)明。這一做法相比于設(shè)置單選題來(lái)說(shuō)，雖然增加了統(tǒng)計(jì)的工作量，但是筆者希望通過(guò)學(xué)生的回答解釋更多地了解其推理過(guò)程及真實(shí)想法。如果學(xué)生在該測(cè)試題中答對(duì)60%及以上，則認(rèn)為其達(dá)到非形式化推理水平，否則視為未達(dá)到。

3.工具信度。

自Usiskin等人開始研究，“Usiskin幾何測(cè)試題”已經(jīng)在前人的諸多研究中被采用，其信度得到了多方證實(shí)。本研究結(jié)合國(guó)內(nèi)研究者的翻譯結(jié)果對(duì)英文原題進(jìn)行再次翻譯調(diào)整，并根據(jù)小學(xué)生幾何思維情況保留了其中13道題，也具有良好的信度。而自編的“非形式化幾何推理測(cè)試題”Cronbach系數(shù)為0.821，說(shuō)明此測(cè)試卷具有較高的信度。

三、測(cè)試結(jié)果分析

1.五年級(jí)學(xué)生幾何思維水平總體分布情況。

利用加權(quán)記分分配學(xué)生幾何思維水平，得到133份樣本的加權(quán)得分情況如表1所示。其中，大多數(shù)學(xué)生加權(quán)得分為1分和3分，即這部分學(xué)生幾何思維水平分別屬于水平1（視覺(jué)）和水平2（分析），分別占比36.09%、30.08%。近四分之一的學(xué)生加權(quán)得分為7分，即其幾何思維水平達(dá)到水平3（非形式化推理）。另有4.51%的學(xué)生加權(quán)得分為5分，即通過(guò)水平1和水平3但未通過(guò)水平2，該部分樣本屬于“跳躍”情形。

表1 各水平加權(quán)得分情況

由表1可見(jiàn)，幾何思維達(dá)到水平2和水平3的總?cè)藬?shù)占比54.89%，也就是說(shuō)，超過(guò)半數(shù)的學(xué)生幾何思維水平在水平2及以上；并且有近四分之一的學(xué)生達(dá)到了水平3；但仍有部分學(xué)生幾何思維水平處于水平1及以下。由此可見(jiàn)五年級(jí)學(xué)生在幾何思維水平分布情況上兩極分化比較嚴(yán)重。

通過(guò)單一樣本t檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)四個(gè)班級(jí)均接受檢定值2而不接受檢定值3，因此總體來(lái)看，本研究中五年級(jí)學(xué)生的幾何思維水平達(dá)到水平2未達(dá)到水平3。

2.非形式化幾何推理測(cè)試的結(jié)果分析。

學(xué)生在“非形式化幾何推理測(cè)試題”中得分情況與“Usiskin幾何測(cè)試題”第三水平題目的得分情況呈現(xiàn)出較強(qiáng)的相關(guān)性，皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.692**，P=.000。

所有樣本在這16道小題中的總體正確率為42.76%，未達(dá)到設(shè)定的通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)60%，也就是說(shuō)五年級(jí)學(xué)生的幾何思維水平總體上未達(dá)到非形式化推理水平。

圖1 “非形式化幾何推理測(cè)試”各題正確率

四、研究結(jié)論與建議

1.研究結(jié)論。

總體看來(lái)，五年級(jí)學(xué)生幾何思維水平達(dá)到了水平2（分析水平），未達(dá)到水平3（非形式化推理水平），且兩極分化比較嚴(yán)重。從“非形式化推理測(cè)試題”的測(cè)試中，我們發(fā)現(xiàn)五年級(jí)學(xué)生的非形式化幾何推理能力尚顯不足。主要問(wèn)題如下：

（1）圖形包含關(guān)系理解有偏差。

相較于其他推理題目而言，五年級(jí)學(xué)生在圖形包含關(guān)系的推理上展現(xiàn)出了較強(qiáng)的推理能力，但部分學(xué)生在圖形包含關(guān)系的理解上依然存在很多誤區(qū)。

很多學(xué)生對(duì)于圖形之間包含關(guān)系的辨認(rèn)，不是基于對(duì)圖形性質(zhì)的非形式化推理，而是基于記憶。因而出現(xiàn)了認(rèn)為長(zhǎng)方形是“特殊的平行四邊形”但不是“平行四邊形”的情況，又或者是產(chǎn)生了記憶錯(cuò)誤，弄反圖形之間的包含關(guān)系。這說(shuō)明很多學(xué)生沒(méi)有真正理解長(zhǎng)方形具有的“特殊”性質(zhì)的意義。

而對(duì)于能夠非形式化地推理出圖形之間包含關(guān)系的學(xué)生來(lái)說(shuō)，也常常會(huì)出現(xiàn)忽視和遺忘包含關(guān)系的情況。當(dāng)沒(méi)有專門提問(wèn)兩者關(guān)系，而是將其變成隱含條件時(shí)，學(xué)生就會(huì)反應(yīng)不過(guò)來(lái)，忽視包含關(guān)系的存在。

（2）難以意識(shí)到圖形性質(zhì)間的包含關(guān)系。

信息素養(yǎng)主要指?jìng)€(gè)體利用信息技術(shù)及技能搜索、獲取、鑒別、分析、利用信息的能力，是當(dāng)今信息社會(huì)必備的技能之一。“一帶一路”致力于打造人類命運(yùn)共同體，但各國(guó)文化、政治、法律等差異較大，要求參與建設(shè)者必須具備一定的信息素養(yǎng)能力，了解、熟悉、掌握相關(guān)的經(jīng)濟(jì)、政治、文化信息，才能在項(xiàng)目、活動(dòng)開展過(guò)程中不走歧路、合作共贏。

五年級(jí)學(xué)生基本能夠辨認(rèn)出常見(jiàn)圖形的各組性質(zhì)，但大部分學(xué)生不能辨認(rèn)出定義一個(gè)圖形所需要的最少性質(zhì)，一方面是由于意識(shí)不到圖形性質(zhì)之間的包含關(guān)系，另一方面是因?yàn)殡y以檢驗(yàn)各組性質(zhì)對(duì)于某類圖形是否充分。

（3）對(duì)某些專有名詞缺乏足夠理解。

五年級(jí)學(xué)生對(duì)于一些幾何專有名詞比如“對(duì)角線、對(duì)角”等的基本定義不是很清楚，對(duì)“對(duì)角線相等”“對(duì)角相等”等性質(zhì)的理解不夠透徹。很多學(xué)生對(duì)“一組對(duì)邊長(zhǎng)度相等，另一組對(duì)邊長(zhǎng)度也相等”這種分開敘述的方式難以接受，對(duì)圖形性質(zhì)的理解尚有不足。

（4）不善于使用圖示等進(jìn)行推理。

很多五年級(jí)學(xué)生不會(huì)利用或者想不到可以利用示例圖形、圖示或其他材料來(lái)進(jìn)行分析和推理，難以根據(jù)圖示的提示做非形式化的推理演繹，更不用說(shuō)自己給出推理論證或是給出多種解釋來(lái)證明某些性質(zhì)。

（5）幾何表達(dá)能力欠佳。

五年級(jí)學(xué)生在非形式化推理方面顯示出的一些不足，與其幾何表達(dá)能力不足有一定關(guān)系。比如，在對(duì)圖形性質(zhì)的描述上，很多學(xué)生不能夠用合適的幾何語(yǔ)言去描述圖形的性質(zhì)，所以無(wú)法完成非形式化的推理，因此即使能夠做出正確判斷，也無(wú)法給出合理解釋。同樣地，在辨別幾何命題及其逆命題之間的區(qū)別時(shí)，雖然很多學(xué)生能夠非形式化地感受到兩者的不同，但也存在不知道如何用語(yǔ)言去描述其中區(qū)別的問(wèn)題。

2.教學(xué)建議。

（1）抓住基本幾何概念，多加辨別思考。

從學(xué)生在測(cè)試卷里暴露的錯(cuò)誤中可以發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在進(jìn)行非形式化幾何推理的時(shí)候，對(duì)于一些幾何專有名詞比如“對(duì)角線、對(duì)角”等的基本定義并不是很清楚。因此，筆者建議教師在教學(xué)中關(guān)注這部分的基礎(chǔ)教學(xué)，學(xué)生只有真正理解了這些基本幾何術(shù)語(yǔ)的含義，才能在學(xué)習(xí)更靈活的幾何內(nèi)容時(shí)不產(chǎn)生混淆。

在測(cè)試中筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對(duì)于各種三角形和四邊形包含關(guān)系的理解并不十分明確。很多學(xué)生對(duì)于圖形之間包含關(guān)系的辨認(rèn)，可能不是基于對(duì)圖形性質(zhì)的理解，而是基于記憶，所以在非常規(guī)的題型中，容易產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，筆者建議教師在教學(xué)幾何內(nèi)容時(shí)，要想辦法幫學(xué)生理清相關(guān)概念，辨別圖形及其性質(zhì)之間的同與異，從而讓學(xué)生在辨析的過(guò)程中真正理解幾何圖形的性質(zhì)。另外可以通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生畫包含圖的方式，讓學(xué)生建立起幾何圖形之間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，從而更好地理解特殊圖形具有的“特殊”性質(zhì)的含義。

（2）引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、感知幾何圖形。

小學(xué)階段學(xué)生的思維處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡的階段。對(duì)于小學(xué)階段的學(xué)生而言，適時(shí)地通過(guò)動(dòng)手操作來(lái)學(xué)習(xí)和鞏固幾何知識(shí)，往往能產(chǎn)生更好的學(xué)習(xí)效果。

在測(cè)試中筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生不會(huì)利用或者想不到可以利用題目中給出的示例圖形來(lái)進(jìn)行分析和推理。因此，在日常的幾何教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)實(shí)物模型、幾何圖形進(jìn)行觀察、測(cè)量、折疊等實(shí)踐活動(dòng)，充分比較和掌握各種幾何圖形的基本性質(zhì)、基本特征，并讓學(xué)生意識(shí)到觀察、操作等方法的作用。對(duì)于小學(xué)高年級(jí)學(xué)生，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、操作等方式，進(jìn)行比較、分析、猜想、推理，提升學(xué)生非形式化推理的能力。

（3）加強(qiáng)互動(dòng)交流，提高幾何語(yǔ)言表達(dá)能力。

五年級(jí)學(xué)生在非形式化推理方面顯示出的一些不足，與其幾何表達(dá)能力不足有一定關(guān)系。因此，筆者建議教師在日常教學(xué)中，要多給學(xué)生表達(dá)的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生用正確的幾何語(yǔ)言去分析和解釋，并適時(shí)地糾正學(xué)生的幾何語(yǔ)言表達(dá)。

另外，范希爾理論指出，每一個(gè)幾何思維水平都有其專屬的階段性語(yǔ)言符號(hào)，在某一水平使用的特定語(yǔ)言符號(hào)，到了下一水平就可能要調(diào)整為另一種語(yǔ)言符號(hào)，比如一個(gè)圖形可能有多種命名，正方形也可稱為長(zhǎng)方形、平行四邊形，可見(jiàn)在幾何語(yǔ)言的調(diào)整中也能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形包含關(guān)系的理解。因此在教學(xué)中，教師要及時(shí)根據(jù)學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展情況，適時(shí)調(diào)整幾何語(yǔ)言符號(hào)的表達(dá)，從而促進(jìn)學(xué)生幾何推理能力的提升。