用“思維”讓學生“看見”圖形
——兼評《認識線段》教學設計

文|潘小福（特級教師）

幾何學概念的基礎是圖形，圖形相對于數量而言似乎更為直觀，因此在幾何圖形的概念教學中，我們一直存在一個認知偏差，總認為幾何學概念更容易感知對象，相對于代數而言更容易抽象。事實上，事物越是直觀，越是與日常生活聯系密切，抽象就越難。因此，在認識圖形的教學過程中，尤其是低年級學生，需要通過豐富的實踐和操作活動，積極引導學生開展抽象、想象、描述等數學思維活動，才能用“思維”讓學生“看見”圖形。

一、現象與本質的思考

復旦大學王德峰教授在一次“西方的知識是怎么來的”主題講座中，舉了“水結成冰”的例子，“水”和“冰”都可以通過感官知覺到，而“結成”是無法直接感知的，需要通過思維才能形成概念，并成為經驗。由“水結成冰”引發了我們關于幾何學概念教學的現象與本質的思考與探討。

關于幾何學概念的抽象問題，數學歷史發展中有著“唯實論”和“唯名論”的爭論。柏拉圖認為通過肉眼看到的圖形是一般意義上存在的圖形的影子，一般意義上的圖形是真正存在的，這種存在要通過“思想”才能“看”到。作為柏拉圖的學生，亞里士多德卻認為，一般概念是人從感性的經驗中通過直觀和抽象獲得的，這些一般概念只存在于我們的主觀意識之中，而不是看得見摸得著的客觀存在。“唯實論”“唯名論”的爭論曠日持久，各有價值。但是從幾何學概念的教學角度而言，都要關注現象與本質，讓學生從感性經驗出發，然后通過數學的方法，經歷思維的過程，獲得更為一般的幾何學概念。

歷來，小學數學教材也正是這樣進行編寫的。以蘇教版教材為例。圖1為一年級下冊《認識圖形（二）》的教材，先讓學生玩積木，積累起充分的感性經驗，再讓學生把長方體上的面畫下來，形成對圖形的直觀感知，為了讓學生初步形成長方形的概念，必須借助于數學的抽象，引發學生數學思維：從長方體上畫下的面都是長方形嗎？從長方體不同的面上畫出的長方形是不一樣的，但都可以用怎樣的圖形來表示？長方形還可以有不一樣的嗎？幫助學生跳出“影子”或“客觀存在”，由現象至本質，初步認識到“長方形”是“一般概念”，不是某一具體的存在，是“思想”的“產物”。

圖1

類似的，蘇教版二年級上冊“厘米和米”單元第一課時《認識線段》的教材（如圖2），也是通過“拉一拉”“找一找”“折一折”“畫一畫”等一系列活動，從感性的經驗中感悟、體驗線段的本質屬性，形成線段的一般概念。特別是“折一折”的活動，把線段置于平面圖形中，還原線段作為構成平面圖形要素的本來面目，引導學生正確把握線段的概念恰到好處。

圖2

二、內容到目標的解析

基于小學生的年齡特點及認知規律，以“思”“見”圖的要求是逐步遞進的，“思”的方法，“見”的程度都是分階段達成的，不是一次性完成的。因此，每一幾何學概念的編排都是螺旋式的，教學目標都是階段遞進，其內在存在著特定的結構性與邏輯遞進性。

內容編排螺旋上升。小學階段教學幾何學的概念，都會根據學生的年齡特點，采用螺旋上升的方式分成幾段教學，讓認識逐步深化。例如，蘇教版教材對幾何學概念的編排有著獨有的體系，先是直觀認識立體圖形，整體感知立體圖形的形狀，識別這些圖形，形成初步的表象，并初步感知平面圖形和曲面圖形的區別；然后再通過在立體圖形上找平面圖形的方式，直觀認識平面圖形，整體感知，形成初步表象，初步感知直邊圖形和曲邊圖形的區別；在此基礎上，直觀認識“線段”和“角”，通過構成圖形的要素——“邊”和“角”，認識平面圖形；在認識圖形的特征時，先認識長、正方形的特征，繼而深入認識“線段、直線、射線”“角”“垂直與平行”，再認識平行四邊形、三角形、梯形、圓的特征，并把軸對稱圖形、旋轉與平移、圖形的放大與縮小穿插其中，形成對平面圖形的完整認知。這樣的編排不追求一下子讓學生全部“看清”圖形，而是在學生的最近發展區內，開展適切的思維活動，恰當地“見”到圖形。

教學目標階段遞進。循著螺旋上升的教學內容的編排，相應的教學目標也是分學段邏輯遞進的。第一學段的教學目標主要是“辨認”立體圖形或平面圖形，“初步認識”長方形和正方形的特征，“了解”直角、銳角和鈍角。第二學段的教學目標主要是“認識”三角形、平行四邊形、梯形和圓，“認識”長方體、正方體、圓柱和圓錐，“知道”平角與周角，“了解”平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關系。按照《數學課程標準（2011年版）》的設計，作為結果目標的行為動詞，“了解”“知道”和“初步認識”是同類詞，是指“從具體實例中知道或舉例說明對象的有關特征；根據對象的特征，從具體情境中辨認或者舉例說明對象”。“認識”和“理解”是同義詞，是指“描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關對象之間的區別與聯系”。第一學段，學生對圖形的認識主要定位于結合具體實例，能夠辨認或舉例說明，即對圖形形成整體的、直觀的認識。第二學段，學生對圖形的認識不僅能夠描述圖形的特征，還要能夠闡述圖形之間的區別與聯系，形成相應的認知結構，即對圖形形成分析的、抽象的甚至關聯的認識。

基于此，對二年級上冊“認識線段”的教學，要從整體上理清教材的編排，要依據學段把握“直觀認識”的教學目標。蘇教版教材對“線段的認識”是分兩次編排的，一次是在二年級上冊“厘米和米”單元，第二次是在四年級上冊“垂線與平行線”單元。二年級時，通過豐富的“做數學”活動，在充分的直接經驗的基礎上，形成“直直的”“有兩個端點”的認識，并據此能夠“辨認”出線段來，特別是初步理解到線段是構成其他平面圖形的要素，要能初步脫離具體事物“想象”出線段；而到四年級時，不再借助直觀感知經驗，通過線段的端點向一邊或兩邊無限延長，引出射線、直線，借助數學的思維，理解幾何概念之間的聯系。只有整體把握了教材的編排和教學目標，才能在二年級時準確定位目標，運用恰當的學習方式讓學生“思”得起來，也才能“見”得合理。

三、經歷至思維的升華

以“思”“見”圖，“思”就是要培養學生對幾何學概念的抽象、歸納能力，這種能力不是與生俱來的，必須要系統培養，只有這樣，才能真“見”到幾何學概念的本質，而不是只看到它們的“影子”，造成認知上的偏差，也影響幾何學概念認知結構的形成。因此，在小學階段要重視學生經歷“做數學”的過程，通過數學操作、數學體驗及數學實驗活動，讓學生對幾何學概念形成豐富的感知經驗，但不能僅此而已，還要引發想象、比較、推理等數學思維，在動手動腦“做數學”的過程中以積極的“思維”去主動“看見”圖形。

以二年級上冊《認識線段》一課為例，從“看見”圖形的角度，有這樣三層目標：第一層是判斷畫出的線是不是線段（根據是不是直直的來判斷）；第二層是數出已知的平面圖形中由幾條線段圍成；第三層是數一數圖形中有幾條線段，并因此對圖形進行命名或分類。畢竟是二年級的學生，從“思維”的角度而言，還只能從直觀例子中抽象出“直直的”“有刻畫長度的端點”，因此，通過拉一拉、找一找、折一折、畫一畫等具體動作思維進行簡單的抽象、歸納，讓學生“看見”線段，形成適切的線段的認知。

以王妍和王麗娟兩位教師的《認識線段》教學設計為例。我們可以看到兩位教師是如何讓學生經歷“做數學”的過程，實現經歷到思維的升華。

王妍老師在教學中有這樣幾個層次：第一層，通過拉、找、想，形成表象。以比較兩條隨意擺放在桌上的線的長短作為學習的開端，組織學生進行“拉一拉”的活動，形成“線段是直直的”的表象，這是可以感知的經驗；繼而從表象出發，先引導學生從數學課本的封面上“找一找”，并從正確“比劃”的角度，幫助學生認識線段的“兩個端點”，在此基礎上，通過“激光筆投射”“水滴的滴落”想象線段，雖然“看不見”，但可以“想象”，這一有創意的活動為學生今后形成對“線段”概念的科學認知種下“慧根”。第二層，通過數、折、比，深化認知。教師把線段置于平面圖形之中，回歸線段是構成平面圖形的要素的本質，通過數一數知道正方形是由四條線段圍成的平面圖形，并通過“折一折”“比一比”來深入認識線段，理解線段“有長有短”。第三層，通過畫一畫，多元表征。在充分的實踐和操作活動之后，開展“畫一畫”活動，把實踐和操作的經驗，進行歸納抽象，把通過“思維”“看見”的圖形用圖表征出來，并通過方向、長短的變式多元化表征，幫助學生抽象成線段的概念。整節課，既有充分的操作、實踐活動，更有恰到好處的思維活動，有效地幫助學生形成“一般的概念”。

王麗娟老師的教學設計也有三個層次。第一層，試畫圖形，整體入手。從畫平面圖形開始，先讓學生感知到線段是構成圖形的要素。第二層，拉、找線段，初步感知。這一層是結合實踐體驗活動初步認識線段，通過“拉一拉”“找一找”活動，用感知積累起線段是“直直的”的直接經驗。第三層，畫畫想想，深入建構。這一層王老師重點放在了“畫線段”上，這是低年級學生很適合的幾何圖形抽象的有效方式，是把建立起來的感知經驗，經過數學思維，用自己喜歡的方式表征出來，并通過與班級同學的互動交流，形成完整的概念。王老師在這一環節上，特別地跟進了三個層次的問題探索：第一，你是怎么畫的？沿著直直的邊畫；第二，這些線段有什么相同點？都是直直的；第三，這些線段又有什么不同點？有直、有橫、有斜，方向不同；有長有短，長度不同。學生畫畫想想，多視角的思考表征，讓學生思維由單一走向縱深。最后規范畫法：畫出兩個端點。在教師針對性的引領之下，學生手腦并用，以做促思，對線段的認識從經驗感知逐步上升至理性思維，進而建構數學概念。

兩位教師的教學設計雖有不同，但都重視在充分感知、建立直接經驗的基礎上，融入抽象、想象、多元表征等思維活動，凸顯以“思”“見”圖意旨，有效建立起圖形的基本要素———“線段”這一概念。