一道二次復合函數單調性的錯解剖析

張克鑫

【內容摘要】函數問題貫穿整個高中數學學習的始末，數學教材內容幾乎都離不開函數的剖析，其中復合函數由于更為復雜的函數結構，能有效地對學生的數學邏輯思維能力進行考察，因而成為高考試題的必考要點。本文舉例論述了二次復合函數學生們常犯的錯誤，并對錯誤的原因進行了深入剖析。

【關鍵詞】二次復合函數單調性錯解剖析

二次復合函數能夠有效考查考生對二次函數理解和應用能力，因此，對這部分內容的考查已經成為每年的必考題型。學生想要獲得更高的數學成績，必須深刻理解并掌握有關的理論知識。但是二次復合函數結構相對復雜，且函數結構可以自由組合，具備很大的隨機性，因此想要完全掌握具有一定難度，而且還容易走進解題誤區。

一、復合函數的相關概述

復合函數指的是兩個函數經由自變量x這個因素，可以將其中一個函數y變換為用x來表示的函數，那么這種函數就稱之為兩個函數的復合函數，通常用y=f（A），A=g（x）的形式來表現。復合函數在求解的環節中經常會用到導數的理論，函數y=f（A），A=g（x）的導數和復合函數y=f[g（x）]的求導，兩者之間的關系可以用表達式y'=f'[g（x）]·g'（x）來表示，y對A的導數與A對x的導數的乘積和y對x的導數和最終得出的數值是一致的。復合函數可以理解成函數的組合，通過簡易搭配與組合，將函數復合為相對復雜的結構[1]。復合函數組織結構具備很大隨機性，因為許多簡單函數稍加組合變換就能形成新的復合結構。

復合函數單調性剖析的常規步驟如下：

①首先求出復合函數定義域的區間范圍。

②其次把復合函數拆分成我們熟悉的結構形式。

③對拆分后的函數結構進行逐個剖析和探究。

④把中間量的取值區間變換成自變量x的取值區間。

⑤最后計算得出復合函數的單調性。

二、二次復合函數有關定義域的剖析

通過教師的講授我們可以知曉，二次函數單調性是在其定義域范圍之內才是有意義的。想要判斷其單調性需要先求出定義域的區間，也就是函數的自變量x的區間領域[2]。下面列舉的幾種比較常見的二次函數表達式及其定義域的求解方法，我們要讓學生理解并記牢。

（1）形如y=ax2+bx+c（a≠0）為二次函數一般表達式，定義域區間范圍是（-∞，+∞）。函數對稱軸的計算公式為x=-b/2a，將二次函數定義域分為（-∞，-b/2a）和（-b/2a，+∞）單調區間。

（2）函數y=x+k/x（k>0）這個表達式中，其定義域區間是（-∞，0）U（0，+∞）。x=±k是在其定義域內劃分單調區間的自變量，將其定義域分為（-∞，-k），（-k，0），（0，k），（k，+∞）單調區間。

（3）形如y=kx+b（k≠0），y=kx（k≠0）[特別說明：y=k/x（k≠0）的定義域是（-∞，0）U（0，+∞）但該函數的單調區間應該是（-∞，0），（0，+∞）或者（-∞，0）和（0，+∞）以確保滿足單調性的定義。]，y=x等，沒有自變量x能夠劃分其定義域為單調區間，原因在于這些函數的單調區間就是其定義域范圍。

三、復合函數單調性的判定方法

假設存在y=f（e），e∈（m，n），e=g（x），x∈（a，b）。

①假如y=f（e）在（m，n）區間為遞減函數，那么y=f[g（x）]的增減性與g（x）的增減性是不同的。

②假如y=f（e）在（m，n）區間為遞增函數，那么y=f[g（x）]的增減性與g（x）的增減性是一致的。

③假如g（x）在（a，b）區間呈現單調遞增趨勢，并且在該區間上任意選擇x1和x2，并且使得x1

④假如g（x）在（a，b）區間呈現單調遞增趨勢，并且在區間上任意選擇x1和x2，并且保證x1

通過上述剖析，判斷二次復合函數的單調性，應該依托其拆分后的簡易函數來分析，經過對分解后的函數進行單調性的判斷，從而求得二次復合函數的整體單調性。高中時期學習的函數都是簡單初等函數，雖說函數類型多種多樣，但通過認真學習掌握每種函數的精髓并不難[3]。在遇到復合函數的時候，仔細思考如何拆分更容易解題，一般高中數學的二次復合函數都能拆為兩種簡易函數。因此，在做題中遇見結構復雜的復合函數，看看是不是有什么隱藏條件沒有發現，出題人往往會把隱含條件設置得很隱晦，能有效對學生的知識應用能力進行考查。

四、舉例剖析二次復合函數單調性的錯誤解法

舉個例子：已知復合函數y=（x2-3）2+1，分析該復合函數的單調性。

錯誤解法①：易得函數f（x）=（x2-3）2+1在區間（3，+∞）呈現單調遞增趨勢，在區間（-∞，3）呈現單調遞減趨勢。易知g（x）=x2在（-∞，0）區間呈現單調遞減趨勢，在區間（0，+∞）出現單調遞增趨勢。解出復合函數f[g（x）]在區間（3，+∞），（-∞，0）呈現單調遞增趨勢，在區間（0，3）呈現單調遞減趨勢。

錯解②：已知y=f[g（x）]=（x2-3）2+1，令y=（A-3）2+1，則A=x2。易知A=x2在區間（-∞，0）呈現單調遞減趨勢，在區間（0，+∞）呈現單調遞增趨勢。得出y=（A-3）2+1在區間（3，+∞）呈現單調遞增趨勢，在區間（-∞，0）呈現單調遞增趨勢。解得復合函數在區間（3，+∞），（-∞，0）呈現單調遞增趨勢，在區間（0，3）單調減。

剖析：錯誤解法①沒有解答出正確的單調區間，說明對f（x）與g（x）之間的復合關系沒有掌握到位，只是單純搬運判定方式，這是知識理解不準確、不到位造成的。

錯誤解法②雖然知曉將y=f[g（x）]=（A-3）2+1用A=x2這種換元法來代替，不過僅僅分析了二次函數對稱軸，還是沒有明白二次復合函數的內核[4]。因為y=f[g（x）]的對稱軸并不是回答的結果，基于此分析的單調性必然出現錯誤。

正解一：已知y=f[g（x）]=（x2-3）2+1，假設f（A）=（A-2）2+1，A=x2-1。

（1）f（A）在A≥2時呈現遞增趨勢，這種情況下復合函數與A=x2-1保持一致增減性，對A≥2進行求解，解出x≥3或x≤-3兩種結果。因此x在區間[3，+∞）時，A=x2-1單調遞增，此時復合函數呈現單調遞增趨勢。x在區間（-∞，-3）時，A=x2-1單調遞減，這時復合函數呈現單調遞減趨勢。

（2）f（A）在A≤2時呈現遞減趨勢，這種情況下復合函數與A=x2-1的增減性不一致。對A≤2進行求解，解得-3≤x≤3這個結果。x在[-3，0]時，A=x2-1單調遞減，此時復合函數呈現單調遞增趨勢。x在[0，3]時，A=x2-1單調遞增，此時復合函數呈現單調遞減趨勢[5]。

正解二：已知y=f[g（x）]=（x2-3）2+1，假設f（A）=（A-3）2+1，A=x2。

（1）f（A）在A≥3時呈現遞增趨勢，這種情況下復合函數與A=x2的增減性保持一致。對A≥3進行求解，解得x≥3或x≤-3兩個結果。x在[3，+∞）時，A=x2單調遞增，此刻復合函數呈現遞增趨勢[6]。x在（-∞，-3]時，A=x2單調遞減，這時復合函數呈現遞減趨勢。

（2）f（A）在A≤3時呈現遞減趨勢，這種情況下復合函數與A=x2保持不一致增減性。對A≤3進行求解，得出-3≤x≤3這個結果。x在[0，3]時A=x2單調遞增，這時復合函數呈現遞減趨勢。x在[-3，0]時A=x2單調遞減，此刻復合函數呈現遞增趨勢[7]。

正解三：已知y=f[g（x）]=（x2-3）2+1=x4-6x2+10，求導，得y'=4x3-12x=4x（x-3）（x+3）。根據x的取值情況由此列出下表：

在解決有關二次復合函數的問題時，由于求導法也能解出函數的根，根據根的數值大小，然后可以將定義域拆分成好幾部分，通過對每一部分的函數單調性進行分析，看看導數在對應區間的正負情況，從而一一列出對應的圖表。圖表法與導數結合，也是解決有關二次復合函數的有效方法，解題步驟更加簡潔[8]。

結語

復合函數的結構之所以復雜，原因在于它是由兩個或者多個函數組合起來的。因此，想要剖析二次復合函數的單調性，不能僅僅依托拆分后的單個函數結構來剖析，也不能死板的套用公式來做題。必須深刻理解并掌握二次復合函數的核心內核，做到真正明白復合函數的實際意義，這樣才能最大限度地避免做題的時候走進誤區。求二次復合函數單調區間時一定要認真挖掘試題的隱含條件，這些往往都隱藏在相關的知識內容體系中，以一種暗線的形式存在，需要構建完備的函數知識網絡。

【參考文獻】

[1]苗建成.一道二次復合函數單調性的錯解剖析[J].中學數學研究，2006（1）：45-46.

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[3]陸似華.學生學習函數的常見錯誤及其成因分析[D].蘇州大學，2010.

[4]袁慶.高中生函數學習的困難分析及教學應對策略研究[D].西華師范大學，2017.

[5]陳影，濮安山.復合函數問題典型錯解剖析[J].數理化學習（高中版），2016（4）：3-5.

[6]陸云麗.高一學生函數解題錯誤矯正個案研究[D].云南師范大學，2018.

[7]唐佳.高中生三角函數學習中認知錯誤及糾正的案例分析[D].天津師范大學，2015.

[8]古麗扎爾·艾合買提.維語言學習環境中函數解題錯誤的調查與分析[D].新疆師范大學，2016.

（作者單位：靖遠縣第四中學）