例講高中數學思想在解題中的應用

張瑋萍

【內容摘要】數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識。高中數學涉及很多的數學思想主要有函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、整體思想等，用于解答數學習題，能夠少走彎路，提高解題正確率。授課中應注重為學生逐一講解這些數學思想，總結這些思想適用的數學題型。與此同時，針對不同的數學思想，與學生一起剖析經典的例題，以達到鍛煉學生思維，提升其舉一反三能力。

【關鍵詞】高中數學思想解題應用例講

高中數學習題類型復雜多變，解題的思路方法不盡相同，尤其在解題的過程中注重相關數學思想的應用，可獲得事半功倍的解題效果。為提高學生對數學思想的重要性認識，自覺認真的學習、總結高中階段相關的數學思想，并能具體問題具體分析，應注重為學生做好相關數學思想在解題中的應用示范。

一、函數與方程思想的應用例講

函數與方程是高中數學的重要知識點，兩者有著千絲萬縷的聯系。解題的過程中通過函數與方程之間的靈活轉換，可有效地突破相關習題。教學中應注重與學生一起總結函數與方程之間的契合點，使學生更好地把握兩者之間轉化的相關細節。如涉及方程、零點問題，可將方程拆分成兩個常見函數，其中兩個函數圖象交點的橫坐標為方程的根，函數圖象交點個數為零點個數，為函數與方程思想的應用做好鋪墊。不僅如此，授課中還應為學生系統的講解高中階段的常見函數，使其牢固掌握常見函數的相關性質、常見函數之間的聯系，如指數函數圖象和對數函數圖象關于y=x對稱，使學生能夠根據題干創設的情境將方程迅速地拆分成相關函數，通過函數與方程思想的應用，進行函數與方程的轉化，盡快地求出數學問題的正確結果。另外，為使學生明白如何運用函數與方程思想解題，使其在應用中少走彎路，應結合相關教學內容精心篩選相關習題，與學生一起剖析破題思路，詳細的板書解題過程。如在講解對數函數知識時，可講解如下例題：

二、數形結合思想的應用例講

數與形有著密切的聯系，數與形之間轉化的思想，即為數形結合思想。數形結合思想在高中數學中占有重要地位，不僅是日常教學工作的重要內容，而且是高考的熱門考點。解題中應用數形結合思想能夠更加直觀地挖掘隱含條件，實現習題的順利突破。高中數學授課中為確保學生能夠在解題中正確的應用數形結合思想，在講解相關知識時應注重從數與形兩個角度給予學生啟發，更好地提升其數形結合思想。如在講解函數、不等式、向量、復數等知識時既要注重講解“數”之間的規律，更好的鍛煉學生的運算能力，又要注重從圖形的角度分析相關知識，如在求解向量最值時將其轉化為對應的圖形，可有效地降低運算復雜度，提高解題正確率。不僅如此，為使學生能夠正確的畫出相關的圖形，從圖形中盡可能多地找到與解題相關的隱含知識，授課中應做好相關例題的講解，尤其注重在課堂上與學生互動，幫助其更好的突破數形結合思想應用的難點，增強其運用數形結合思想解題的自信。如在講解函數知識時向學生展示如下例題：

三、分類討論思想的應用例講

分類討論思想是高中數學各類測試中的常考知識。根據分類討論思想在解題中的應用情況可了解學生在考慮問題時是否全面、是否有條理。教學中可通過列舉生活中的事例，使學生明白在分析數學問題時為何要進行分類討論。當然不同的高中數學習題分類討論的依據是不同的，教學中為使學生能夠準確地掌握分類討論的依據，應注重給予學生學習上的點撥，使學生明白何時進行分類討論，怎樣進行分類討論。如可引導學生回顧所學的絕對值不等式、二次函數知識，使其認識到當無法準確地判斷某一情況時，可將其分成若干可能，而后分別考慮各種可能。從中不難看出找到討論的分界點是開展分類討論活動的重中之重，決定著最終結果的正確與否。課堂上為使學生積累確定分類討論界限的相關技巧，做到討論的不重不漏，講解例題時應由淺入深，逐步給予學生引導與啟發，尤其專門給學生預留空白的時間，要求學生相互討論，做好分類討論思想應用的總結，通過與其他學生相互交流聽課心得，更好地把握分類討論的精髓。如課堂上為學生講解如下例題后，要求學生總結、交流：

四、整體思想的應用例講

整體思想指在分析數學問題時將某個復雜的公式或某個部分看成一個整體加以處理，以達到更好地揭示其內在規律，簡化計算的目的。整體思想在解題中的具體體現主要有設而不求、換元法等。授課中為使學生親身體會整體思想在解題中的便利，把握運用整體思想解題的關鍵，應注重結合自身教學實踐，做好相關例題的篩選與精講，尤其注重緊跟例題的講解組織學生開展針對性的訓練活動，使其趁熱打鐵，進一步加深其對整體思想的印象與理解，明白何時運用整體思想，怎樣運用整體思想。如在解決圓錐曲線相關習題時，運用整體思想，借助根與系數之間的關系，可避免復雜的運算。如下題：

五、總結

授課中為使學生牢固掌握高中階段的常見數學思想，并實現在解題中靈活應用的目標，應要求學生做好聽課總結，對例題分門別類，掌握不同題型的出題規律以及解題中應用的數學思想，反思在聽課中暴露出的學習中的不足，要求其結合自身的學習實際，在課下通過篩選相關的習題加以針對性的訓練，真正的把握相關數學思想的精髓，能夠在解題中以不變應萬變。

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（作者單位：甘肅省慶陽第一中學）